p (cos« -h /sin w), on aura
/(s)ir:Cop'"[cos(//2w -h a© ) "H /sin(/7i« -h ao)]-4-. .1 + C^-,p [cos (w -f-a;„,) -h /sin (« -h a;„-i)] -I- C;„ ( cos tL^ H- / sin a,„ ) ;
en faisant, comme précédemment,
il viendra
1> -.. C„p"' cos (/ww -\- «0 ) -r . . . -1- C;;,i pcos(« 4- a;„«, ) H- C„ co$«. Q -Cop"*sin(/ww-h-ao)-f-... -hC;„,psin(» -h a^i) H-CeSin»»
et, en désignant par Q' la dérivée de Q par rapport à p, on aura ainsi
(3) Q'- -wCop"'"-'sin(/ww4-ao)-h . . . ^- C;„-iSin(w-4-a««i). (Quelle que soit la valeur de o), on peut faire
(4) Tiitù -h ao - ■- K 1- m%y
K étant un entier et mz étant un angle compris entre
Si K est un nombre impair 2À'-f- i, les formules (a) et (3) deviendront
(— i)^'p :^-Cop'"sin/«£-h...,
( - ll^Q ;-Cop'"COS/7/fi H- . . .,
(— i)^Q' 4- /wCop"'~*cos/n«4- ....
SECTION I. — CHAPITRE III. iSl
ir
Soit 0 un angle positif déterminé, inférieur à y— et
aussi petit d^ailleurs que Ton voudra; on pourra assigner une quantité positive r telle, que dans chacun des polynômes
zt Co p'^sinm Ô -f- C, p'"-» -{- . . . -H C;;,-, p -+- C;„, d=Cop"*cosm9-{-C, p'"-*-h . . . -hCm-ip-^Cm. =h/7iCop'"-*cos/7tG + (m— -ijC, p'^-'-f- . . . -hCm-t
le module du premier terme soit supérieur à la somme des termes suivants, pour toutes les valeurs de o supérieures à r; nous supposerons que la valeur choisie pour p soit supérieure à cette limite.
Cela posé, e étant compris entre — -; — et -h -z — ? si cet
angle tombe en dehors des limites — 0 et -f- 0, la valeur absolue de sinwe sera supérieure à sin /7i0, et, en conséquence, le module du premier terme du second membre, dans la première formule (5), surpassera le module de la somme des termes suivants ; donc P ne peut s'annuler que si c est compris entre — 0 et H- B. Mais, pour les valeurs de e comprises entre — 0 et -f-9, le premier terme du second membre, dans chacune des deux dernières formules (5), est supérieur au module de la somme des termes qui suivent; par conséquent ( — 0*Q et ( — i)*Q' sont positifs. Alors le polynôme ( — i)^P décroît constamment (n° 52) quand c croît de — 0 à -H 0; ce polynôme a d'ailleurs le signe H- pour e = — 0, et il a le signe — pour e = -f- 0; donc il s'annule une fois', et une fois seulement, quand t croît de — 0 à -f- 0. On voit aussi que ( — i)*P passe en s'annulant du positif au né-
P gatif, et, comme ( — i)*Q reste positif, le rapport -
s'annule une fois en passant du positif au négatif.
l32 COURS D*ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
Si K est un nombre pair a/r, la première des formules (5) devra être remplacée par
(— l)*P — -|-Cop'"cos/W£-h . ..;
on a évidemment coswe^sinm0, et, en conséquence, la fonction P ne s'annule pas quand e varie de —
TT
Maintenant, si Ton veut décrire la circonférence entière de rayon p, il sera nécessaire et suffisant de donner à rentier K, dans la formule (4), 4^^* valeurs consécutives quelconques, par exemple o, i, 2, 3, . . ., (4''' — ')• ^ chacune des im valeurs impaires de K répondra une valeur de e comprise entre — 0 et -H 0, pour laquelle le
rapport - s^annulcra en passant du positif au négatif. On
a donc, pour le cercle considéré, A = a m, et, comme le rayon p peut être choisi aussi grand que Ton voudra, on voit que :
Une équation du degré m a précisément m racines.
Transformation des équations.
57. Le problème général dont il s'agit ici consiste à déduire d'une équation donnée,
une nouvelle équation dont les racines aient avec celles de la première une relation donnée. Le cas le plus simple est celui où chaque racine u de l'équation demandée est exprimable par une Jonction rationnelle donnée d'une racine z de la proposée, c'est-à-dire par une fonction égale au quotient de deux fonctions entières f{^)t^{^)'
SECTION I. CHAPITRE lïl. l33
On a alors
Si Téquation proposée est du degré m, elle aura m racines Zo, z^, . . . , Zm^\y et il en résultera, pour w, m valeurs correspondantes uq» Wi, ...» Wm-i » d'où Ton peut conclure que l'équation en u doit être, comme la proposée, du degré m. Nous reviendrons, dans la deuxième Section de cet ouvrage, sur l'importante question de la transformation des équations; ici nous nous bornerons à examiner le cas particulier où les polynômes cf ( z ) et 4* ( ^ ) sont du premier degré; la formule (2) devient alors
i^\ az-hb
^ ' a z-h If
a, bj a' y b' étant des constantes doni^ées. On tire de la formule (3)
et, en substituant cette valeur de z dans Téqualion (i), on obtient l'équation demandée, savoir :
il ne reste plus qu'à chasser les dénominateurs, pour mettre cette équation sous la forme
F(m) désignant une fonction entière de u.
Il faut remarquer que la transformation exprimée par la formule (3) peut être réalisée en exécutant successivement plusieurs transformations plus simples qui se présentent très- fréquemment dans l'Algèbre. En effet,
i34 COURS dVlgèbke supérieure.
si a' n'est pas nul, la formule (3) peut être mise sous
la forme
ha' — ah' «'» a
et l'on voit qu'elle résulte de l'élimination de z' z"y z entre les quatre équations
zT
ha' aV
Lorsque a' est nul, la formule (3) résulte de l'élimination de z' entre les deux
Il résulte de là que les trois formules
qui sont comprises dans la formule générale (3), expriment des transformations élémentaires dont la combinaison produit le même effet que la transformation linéaire la plus générale.
58. La transformation u=: az di pour objet de former une équation dont les racines soient égales à celles de la
SECTION I. — CHAPITRE III. l35
proposée multipliées par un nombre donné a; Téqualion proposée éi!intf{z) = o, la transformée sera
(^) = o ou /(;)=o.
en écrivant z au lieu de m.
On peut toujours supposer que le coefficient de la plus haute puissance de z dans ^(z) soit égal à i; alors si, dans Téquation proposée,
/(s) z= o OU z'" -+■ Aiz"'-* H- ... -h A^,z -^ A^=i o,
les coefficients A|, Aj, . • . , A^ sont des nombres commensurables ou des expressions algébriques de forme fractionnaire, la transformation précédente permettra de ramener ces coefficients à la forme entière, en disposant ^convenablementdeTindéterminéea. Effectivement, après avoir chassé les dénominateurs, la transformée devient
et il suffira, pour remplir l'objet demandé, de donner à a une valeur telle, que les produits A^ a^ ne renferment plus de dénominateur.
Il faut remarquer le cas de a = — i ; alors la transformation a pour objet de changer les signes des racines de Téquation proposée,. Pour avoir la transformée en — z de Téquation y(z) = o, il suffit de changer les signes de tous les termes de degrés impairs ou, si l'on veut, les signes de tous les termes de degrés pairs. En faisant le premier changement, si l'équation est de degré pair, et le deuxième, si l'équation est de degré impair, le premier terme sera toujours le même dans la proposée et dans la transformée.
59. La deuxième des transformations élémentaires dont il a été parlé plus haut, savoir w =r -j a pour objet
i36 COURS d'algèbre supérieure.
de former une équation dont les racines soient les inverses des racines de la proposée. Si celle-ci est
(i) Ao î'" H- A, «"*-* -h . . . A;n, « -h A;„ = o,
la transformée s'obtiendra en remplaçant z par - ? ou, si
Ton veut, par-; faisons ce changement, multiplions en-
suite par z'", et ordonnons par rapport aux puissances descendantes de z, il viendra
(2) A;„3'"-h A^n-jz'"-*-!-. . . -f-A,3H- Ao=o.
C'est ici l'occasion de présenter une remarque importante relativement aux racines qui peuvent devenir infinies. Supposons que les coefficients
^Oi -^1» -^1? • . -1 A
dépendent d'une quantité t susceptible de recevoir diverses valeurs, et que, pour la valeur 1-=. ^q, les modules des n derniers coefficients deviennent nuls. Alors, parmi les m racines de l'équation (i), il y en a /i qui se réduisent à zéro pour t = toj et par conséquent les modules de leurs inverses deviennent infinis f donc, quand t tend vers Ja limite fo> les modules de n des m racines de l'équation (2) tendent vers l'infini; à la limite, cette équation (2) se réduit au degré m — «, et elle n'a plus que m — n racines finies.
60. Il peut arriver que les équations (i) et (2) du numéro précédent coïncident. Dans ce cas, l'équation proposée est dite réciproque ; l'inverse d'une racine quelconque est aussi une racine.
D'après ce qui précède, siy(::) r= o est une équation
SECTION I. CHAPITRE III. l3j
réciproque du degré m, on aura identiquement
X étant un facteur indépendant de z. Faisant 2=4-1, puis z = — I , il vient
Siy(i) ety( — 1) ne sont pas nuls, c'est-à-dire ûf[z) n'est divisible par aucun des binômes z -f- i , -2 — i , on voit que > == i et que le degré m de Téquation est un nombre pair 2fx. L'identité
inontre que l'on a alors
en sorte que les coefficients de deux termes également éloignés des extrêmes sont égaux et de même signe.
Supposons maintenant que F(z) = o soit une équation réciproque pouvant admettre les racines -\-i et — i, et soit
(3) Y[z] = [z-i)P[z-^iYf[z),
f{z) n'étant pas divisible par z d= 1; il est évident que l'équation y(z) = o est réciproque, et en conséquence le premier membrey(z) a la forme indiquée par la formule (2). Maintenant, à cause des formules (1) et (3), on a l'identité
il en résulte que, si p est pair, les coefficients des termes également distants des extrêmes dans F(z) sont encore
i38 COURS d'algèbre supérieure.
égaux et de même signe. Mais, lorsque p est impair, les coefficients des termes également distants des extrêmes sont égaux et de signes contraires; dans ce dernier cas, lorsque q est impair, Téquation proposée est de degré pair, et le terme du milieu doit avoir un coefficient nul.
61 . Les équations réciproques sont susceptibles d'abaissement, c'est-à-dire que leur résolution peut se ramener à la résolution d'équations de degré moindre. Gomme on peut toujours supposer qu'une équation réciproque ait été débarrassée des racines -4- i et — i qu'elle peut avoir, elle sera nécessairement d'un degré pair a^x, et l'on pourra lui donner la forme
Cela posé, si l'on fait
et généralement
puis que l'on multiplie V„i =zz"^* -+- -^^3Ypara:= s-f--? on trouvera
OU
On a
Vj ~~ JT, V(, "-~ 2,
et, en faisant usage de la formule précédente, on pourra exprimer successivement Vo, V3, V^, . . . par des fonctions de Ji'j il est évident que V„ sera une fonction en-
licre de x du degré /i. On trouve
D'après cela, Téqualion proposée pourra être ramenée à une équation du degré (x en x, et les racines z de la proposée seront données par la formule générale
5* — j-z -h I -^ 0, d'où z=-d=i/-7 '•
