hPz2 HQ3-hR=:Oi

la transformée en // sera

Aq n^ -\- Aj «* -+- A2 « -f- A3 = o,

SECTION 1. CHAPITRE III. l4l

en posant, pour abréger,

Ao = h'^ —Va' //« -h Qa'* b' — Ra'»,

A, rz: ^' [— Ub' -\- P [ab' + W ) — Qrt«']

a' [Vbb' — Q (rt^' H- W ) -h 3Raa'],

A, = - i5» [ — 3 /^^' -4- P ( rt^' -h *«' ) — Qafl ] — a[P6// — Q(rtft'-h^a') H-3Raa'],

A,:- ~-^»M- Pa«>*— Qrt*6-|-Rrt\

Déterminons maintenant les arbitraires a et ^' de manière que Ton ait

comme on ne peut admettre que ab* — ba' soit nul, puisqu'alors m ne dépendrait pas de Zy les deux équations précédentes se réduiront à

— Ibb' -\-V [ab' -^ba') — Qaa' =z o, ^1,1,' —q{ab'-h^ba')-{-3Kaa'—0;

si on les résout par rapport à ii' et ai' -f- ia', on trouvera

^^^3PR — Q« b b' PQ — 9R â ^ — "" P«— 3Q ' a'^W ~ " P*— 3Q '

en conséquence, - et —7 sont les racines de Téquationdu deuxième degré

(P«~ 3Q) f*— (PQ — 9R) ^-4- (Q'— 3PR) = 0

Désignons par t et t' les racines de cette équation et pary*(z) le premier membre de Téquation proposée; les quantités a et a restant indéterminées , nous ferons a' -= az=. — 1 ; la transformée en u se réduit alors à

i4^ cocBS d'alcèbke SCPÉKIECKK.

ses trois racines seront exprimées par la ibrmule

et celles de la proposée seront données par la suivante :

Cette formule peut être ramenée à une expression plus simple, mais nous n'insisterons pas sur ce sujet, qui sera plus tard Tobjet d'une étude approfondie; il nous suffit ici d'avoir montré comment la transformation linéaire peut conduire à la résolution générale des équations du troisième degré. Ajoutons que la même transformation fournit aussi la résolution générale des équations du quatrième degré y car elle permet de faire disparaître la première et la troisième puissance de l'inconnue, au moyen d'une équation du troisième degré. La proposée se trouve alors remplacée par une transformée que l'on sait résoudre, puisque celle-ci peut être abaissée au deuxième degré.

SECTION 1. CHAPITRE IV. l43