DES ÉQUATIONS SIMULTANÉES ET DE L'ÉLIMINATION

De l'élimination.

6-4. Après avoir exposé les propriétés générales des fonctions entières d'une variable et des équations à une seule inconnue, nous devons parler des fonctions entières de plusieurs variables el des équations algébriques simultanées.

Une fonction entière de plusieurs imriahles est \\n polynôme entier et rationnel relativement à chacune des variables, et Ton nomme équation algébrique toute équation qui peut être ramenée à la forme V = o, V désignant une fonction entière.

Un système de n équations algébriques admet, en général, comme on le verra, un nombre limité de solutions, quand le nombre des inconnues est égal à n. Mais, si ce dernier nombre est seulement n — i , les équations proposées n'admettront point de solution, à moins qu'unecertaine équation de condition ne soit satisfaite : les procédés par lesquels on parvient à former cette équation de condition constituent ce qu'on nomme Y élimination, et l'équation obtenue est dite équation finale.

Supposons que l'on ait n équations algébriques entre n inconnues

et que ces n équations soient satisfaites par les valeurs

i44 COURS d'algèbre supérieure.

simultanées

regardons z comme une quantité connue , les équations proposées ne renfermeront plus que n — i inconnues; elles admettront d'ailleurs un système de solutions communes si Ton donne à r la valeur de a ; donc Téquation finale en z obtenue par Télimination de ^i, Zj, . . . yZn^i entre les proposées devra admettre la racine a. D'après cela, on peut dire que rdi/ nation finale qui résulte de l'élimina'tion de n — i inconnues Z|, ^îj, . . . , z„^t entre n équa^ lions, contenant en outre l'inconnue z, a pour racines les div^erses valeurs de z qui concourent, ax^ec des valeurs coni^enahlcs des autres inconnues] à former les systèmes de solutions des éq\iations proposées.

Il faut remarquer que l'élimination n'a pas d'autre objet que la formation de l'équation finale; la résolution d'un système d'équations simultanées constitue un problème distinct. A la vérité, pour traiter ce dernier problème, on peut et l'on doit môme en général faire usage de l'élimination ; mais on conçoit aussi que l'on puisse aborder la solution par d'autres voies.

Sur le nombre des termes que peut contenir une fonction

entière d* un degré donné.

65. Considérons d'abord une fonction homogène et entière des n -I- i variables

2|, «2, S3t • • • » 2/n ^/l-Hl

et du degré m. Si celte fonction est la plus générale de son degré, elle renfermera tous les ternies qui, abstraction faite d'un coefficient constant, seront de la forme

*i *'a * • • */i *Vi-n '

SECTION I. CHAPITRE IV. l45

la somme des exposants «i , «2, . . . , (x„^i étant égale à m. Le nombre total des termes dont il s'agit est précisément celui des combinaisons complètes m km des n -h i lettres ^1 , Za, . . . , Zft^t f combinaisons dans lesquelles une même lettre peut figurer plusieurs fois. On sait que le nombre de ces combinaisons complètes est égal au nombre des combinaisons simples de /i -f- m lettres m à m, et voici d'ailleurs comment on peut établir Tégalité de ces deux nombres. Supposons que l'on ait écrit toutes les combinaisons complètes des w -4- 1 lettres ^|,Z2, . . .,z,i^i,màm, (le manière que dans chacune d'elles l'inditfie d'une lettre ne soit jamais supérieur à l'indice de la lettre suivante ; désignons par A l'ensemble de toutes ces combinaisons. Supposons que Ton ait formé en même temps toutes les combinaisons simples des n-i-m lettres Z| , ^2 ^ . . . , ^/i+m> ^^ à m, de manière que dans chaque combinaison les indices des lettres forment une suite croissante^ et désignons par B l'ensemble de ces combinaisons. Il est évident que si , dans chaque combinaison B, on retranche respectivement les nombres o, i,2,3, . . ., (m — i) des indices des lettres successives, on obtiendra une combinaison A; réciproquement, chaquecombinaison A se changera en une combinaison B, si l'on augmente respectivement les indices des lettres successives des nombres o, i , a, 3, . . . , {m — i ) . D'ailleurs, par Topération dont il vient d'être question, deux combinaisons diiiérentes de l'un des systèmes A et B se changent en deux combinaisons nécessairement distinctes; donc les deux systèmes renferment le même nombre de combinaisons . Il résulte de là qu'une fonction entière et homogène du degré m dépendant de /z -h i variables a, dans le cas le plus général,

(/i-f-i)(/i-4-2)...(/i-hm) 1.2.3.../// termes.

s. — ji^. sup,f !• 10

l^t) COURS d'algèbre SUPÉRîFrUE.

Si, dans celte fonction boinogeDe, on pose z,,^., = i , on obtiendra la fonction entière la plus générale de n variables et du degré m ; le nombre total des termes d'une telle fonction est donc aussi représenté par l'expression précédente.

66. Nous désignerons généralement par le sjmbole N(/i, /w) le nombre des termes contenus dans la fonction entière la plus générale de n variables et du degré m; on aura alors

le second membre de cette formule ne change pas quand on échange entre elles les lettres n et m, car on peut lui donner la forme