n et par suite, en supposant tï ]> i

on

Cette formule a été établie dans Thypo thèse de m positif et de 72 ^ I ; mais, d'après notre définition du symbole N, on reconnaît qu'elle subsiste quand m est nul ou négatif, et quand n est égal à i . Si l'on y remplace m successivement par m, m — i, m — 2, . . . , (m — m^ -t- i), et qu'on ajoute les m^ équations résultantes, il viendra

N //. m] — N [n, m — /Wj 1 =:N [n — i , m) -+• N (/* — 1 , m — i ) -h- . ..

formule qui subsiste évidemment, quel que soit le nombre entier mi supposé positif.

Si l'on pose

(4) A,„, N-zf, m) — W(/i. /7î^ — N(/i, m — m,),

la formule précédente pourra s'écrire comme il suit :

i48 couBs d'algèbre supérieure.

le signe \ du second membre indiquant qu^il faut donner

successivement à fX| les valeurs o, i, 2, . . ., (/Wi — i) dans l'expression N ( w — i , /// — Uj ), et faire ensuite la somme des résultats.

Soient /Mo, ma, ... , m^ des nombres positifs quelconques, et posons encore

Si Ton suppose que A' ne soit pas supérieur à /i, on aura, en appliquant successivement k fois le théorème exprimé par la formule (5),

le signe \ exprimant qu'il faut faire la somme de toutes

les valeurs que prend N [n — k, m — ui — |t;.2 — . . . — u^), quand on emploie successivement tous les systèmes de valeurs nulles ou positives des indéterminées ^1 , ^2> • • • Pa-, tels que Ton ait

Le nombre des termes contenus dans le second membre de la formule (7) est ainsi égal au produit nit m^.^.mk. Si le nombre /r est égal à w, chacun des termes dont nous venons de parler se réduira à 1 ou à o. Supposons qu'ils se réduisent tous à i, la formule (7) donnera

(8) A,„^ A,„,,, . . .A,„, iV(//, m] —m^m^. . ./w„.

Mais, pour que cette formule (8) subsiste, il faut que la quantité m — pi — p^ — ••• — /^/n qui figure sous le

SECTION I. — CHAPITRE IV. l49

signe \ dans la formule (7), ne soit jamais négative, et

la condition pour qu'il en soit ainsi est

{<)) /?!:= ou > (mj — i) H- [m^ — I j 4- . . .-h (/Wrt — i).

Si cette condition n'est pas satisfaite, comme les indéterminées lx^y fX2,... varient de o à /Wi — i, de o à m2 — I , . . . , respectivement, la somme fx 1 -h jûo -t- . • . -Hp/i prendra au moins une fois chacune des m •+• i valeurs 0, 1 , 2, . . . , 7/i; donc, dans le second membre de la formule (7), où Ton suppose A=n, il y a plus de m termes égaux à 1 , et Ton a alors

67. J'établirai encore ici une inégalité qui nous sera utile dans ce qui va suivre, et que l'on conclut très-facilement des formules ( 4) et (6). Le nombre que représente le symbole N n'étant jamais négatif, il en est de même des expressions dont la valeur est fournie par la formule (7) ; alors les formules (4) et (6) nous donnent

Ainsi on aura généralement

en changeant m en m — m^, et en écrivant dans le second

membre

au lieu de N (/i, m — frih)t on aura

Cela posé, on a l'identité

N(/i, m — mj) =N(/i, m) — A,;,,N(/i, m\ et en donnant à A les valeurs a, 3, . . . , A, dans Tinégalito

l5o COL'RS D*ALG£BRE SUPÉRlEURfi.

que nous venons d'obtenir, il vient

]V;/î,/w — W2)>A,„,N(«, w) — A,„, A;„,N(/i, m), N(/?.m — W3)>A,„,A;„,N(/i, m] — ^^^à,„^^,„^lS(n, m), »

Si 1 on ajoute ces inégalités avec l'égalité qui les précède, on aura

N(/i, /^' — '^'i) "^ N(//, /72 — /Wj) -+-. . .-4- N(/î, m — wx)

ce qui est le résultai que nous avions en vue. Il faut remarquer que le signe ^ n'exclut pas ici l'égalité.

Du nombre fies termes d'une Jonction entière, qui ne sont jHis divisibles par des puissances données des variables,

68. Soit V une fonction entière et complète du degré m des n variables

'*« » » * ^ '"/Il

et cherchons combien il y a, dans le polynôme V, de termes qui ne sont divisibles par aucun des monômes

mi, ^//2> •••> "U étant des exposants entiers quelconques dont le nombre A est égal ou inférieur à n.

Si m^ est inférieur à //?, la partie de V qui est divisible par r'''*est égale au produit de ce monôme par une fonc-, tion entière du degré m — m^, laquelle doit être un polynôme complet, car autrement la fonction V ne serait pas complète ; donc le nombre des termes de V qui sont

divisibles par z'"^ est

et ce résultat subsiste quand mi est supérieur à w, puiscju'alors Tcxpression précédente est nulle. Il résulte de là que le nombre des termes de V qui ne sont pas divisibles par z"l* est

ou, d'après notre notation,

Représentons, pour un moment, parpî!» (/z, m) le nombre des termes de V qui ne sont divisibles par aucun des monômes

la partie de V qui est divisible par z^'^ est le produit de z^ par une fonction entière du degré m — m^, et dans cette fonction il y a i)^ («, m — m^t) termes qui ne sont divisibles par aucun des monômes z'^*, . . . , :7i^f'; ce nombre exprime aussi combien il y a, dans V, de termes qui ne sont pas divisibles par les mêmes monômes, mais qui le sont par z^^. Il résulte de là que le nombre des termes de V qui ne sont divisibles par aucun des monômes

est égal à

ou, si Ton veut, à

Mais nous avons vu qu'il y a, dans la fonction V, ^/»i N (/i m] ternies non divisibles par s'fS doue il y en a

l52 COURS D* ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

Am^^rn^ ^ {n, m) qui ne sont divisibles ni parz^i ni par ^7' ; pareillement Am^ A^, Am, N (/i, m) est le nombre des termes non divisibles parTun des trois monômes z^», cj'% 3 3'% et ainsi de suite , en sorte que TexpressioD

représente le nombre des termes de la fonction V qui iradnicllent pour diviseur aucun des monômes

lirducfion d'une /onction entière de plusieurs quaniHés assujetties à satisfaire à un pcueil nombre d'équations données.

(»9. Soient

(l) V, :=0, V, = 0 Va=:0

A équations algébriques des degrés respectifs W| ,m2 , . . . ym^ entre les variables

dont le nombre n est au moins égal à k.

Nous supposerons non-seulement que ces équations soient complètes, mais encore que les coefficients de cliacune d'elles demeurent indéterminés, en sorte qu'il ne puisse exister entre eux aucune relation. Cela posé, nous établirons la proposition suivante :

Soit S une fonction entière quelconque des variables Zi^ Z'i'i ' * "> il sera toujours possible de tirer des équations (1) les valeurs des puissances

qui Mtronl ainsi exprimées par des fonctions entières ne

contenant z^jZ^,, . . yZk qu'avec des exposants inférieurs à /7i| y 77i2« • . • ^ nik respectivement. En outre, par la substitution de ces valeurs, on pourra Jaire disparaître de la fonction S tous les termes divisibles par l'un des monômes ( 2 ) .

Cette proposition est évidente quand le nombre k est égal à Tunité; dans ce cas le système (i) se réduit à une seule équation de laquelle on pourra tirer la valeur de ^7' î la substitution de cette valeur abaissera le degré de S ; si ce degré reste supérieur à mi , de nouvelles substitutions pourront évidemment le réduire au-dessous de m^ . Au surplus, la réduction peut être opérée immédiatement en divisant S par V| ; si Ton désigne par — T| le quotient de cette division et par S' le reste qui est de degré inférieur à m^, on aura

en sorte que, pour atteindre le but proposé, il sufGra d^ajouter à S le produit T|V|.

Lorsque le nombre k est supérieur à i , si les degrés nit, ni2y ..y ^^A des équations (i) sont égaux entre eux, on voit tout de suite que l'on pourra résoudre ces équations

par rapport à z^', 37S • • • ^ ^a* y puisque nous leur supposons la plus grande généralité possible ; mais on aperçoit moins facilement, même dans ce cas particulier, la marche qu'il faut suivre pour faire disparaître de la fonction S les termes divisibles par l'un des monômes (2). Le procédé est pourtant le même que dans le cas de /r = i ; mais il faut l'appliquer d'une manière convenable, afin qu'aucune des substitutions qu'on exécute ne fasse reparaître des termes déjà disparus pal* des substitutions précédentes. Quels quesoientlenombre/retlesdegrésmi , Wa, . . . , m/, je dis qu'on peut trouver des polynômes ï|, Ta, . . . , ï^

l54 COtIBS d'algèbre SUPÉniEURC.

tels que la somme

ne renferme plus aucun terme divisible par l'un des monômes (2); j'ajoute qu'en général ces polynômes ne seront pas complètement déterminés et qu'ils pourront en conséquence être choisis de plusieurs manières différentes. En eflét, désignons par m le degré de la fonction S et prenons pour T|, Ta,..., T^ les fonctions entières les plus générales des degrés respectifs

chacune de ces fonctions devant toutefois être réduite à zéro, lorsque le nombre qui doit exprimer son degré est négatif.

Le nombre des coefficients arbitraires contenus dans le premier membre de la formule ( 3 ) sera évidemment

( 4 ) N ( w, m — A/2, ) 4- N ( /?, 772 — mj ) -f- . . . -4- N ( /?, m — m^) ;

d'ailleurs ce premier membre est un polynôme complet du degré m qui renferme N («, m) termes, et parmi ceux-ci il y en a (n° 68)

qui ne sont divisibles par aucun des monômes (2). Le nombre des termes de l'expression (3) qui sont divisibles par l'un des monômes (2), termes que nous voulons faire disparaître, est donc

Or on a vu au n** 67 que le nombre (4) n'est jamais inférieur au nombre (5); donc les arbitraires contenues dans la formule (3) seront toujours en nombre suffisant pour Tévanouissemcnt de tous les termes divisibles par l'un des monômes (i).

SECTI0:M I. — CHAPITUE îv. lo:)

La fonction S est quelconque ; si on la réduit successivement aux monômes(2), on voit, parce qui précède, que chacun de ces monômes sera exprimable par une fonction entière quine contiendra les variables Zi , 2:2, . . . ,^a qu'avec des exposants inférieurs à /;/|, mo,...,^)^ respectivement.

Elimination de n — i inconnues entre n équations algébriques, — Tliéorème de Bezout relatif au degré de l'équation finale,

70. C'est en partant des considérations qui précèdent que Bezout est parvenu à établir, comme nous allons l'expliquer, le principe fondamental de la théorie de l'élimination.

Soient

(1) V, =rO, V, = 0, ..., V„=:0

n équations algébriques des degrés mi, ruo,. .•. , nin respectivement et contenant n inconnues

nous supposerons, comme au n" 69, que chacune des équations proposées est la plus .générale possible, et qu'il n'existe aucune relation entre les coefficients.

Considérons les n — i premières équations (i); d'après ce qui a été dit au n*^ 69, on pourra tirer de ces équations les valeurs de

et ces valeurs seront exprimées par des fonctions entières qui ne renfermeront les inconnues Z|, z-j, ..., ^/i-i qu'avec des exposants inférieurs à m^ f^tay . ., //^«-.i rcspectivemeut.

l56 COURS d'aLGÈBRK JIUPI^.IIIEURE.

Cela posé, soit T„ un polynôme complet d'un degré indéterminé que je représenterai par m — m^,. Si Ton multiplie par T„ la dernière des équations (i) qui est du degré rriny elle deviendra

et je dis qu'on peut réaliser l'élimination des n — i inconnues z^, Z2y . . -, -5/I-.I, par le moyen des arbitraires contenues dans T„ et avec le secours desw — i premières équations (i). Les arbitraires ayant été ainsi déterminées, Téquation (2) deviendra Téquation finale et le nombre m exprimera son degré.

Le premier membre de Téquation (2) est un polynôme complet du degré ^/^, et il renferme, en conséquence, N (/i, m) termes; mais quand, au moyen des n — i premières équations (i), on aura fait disparaître (n^ 69) tous les termes divisibles par Tun des monômes

(3) . zj'", 5;'", ..., *

il n'en restera plus que

par conséquent, pour que l'élimination puisse s'exécuter, il faut que, par le moyen des arbitraires contenues dans T,|, tous ces derniers termes disparaissent, à l'exception des m-4- i qui ne renferment que la seule inconnue :„. Ainsi le nombre des termes qu'il faut faire évanouir est

Le polynôme T„ étant complet et du degré ni — m„j il renferme N [riy m — m„) termes; mais. le nombre des coefficients dont on peut disposer pour l'élimination est beaucoup moindre. En effet, il est évident qu'avant d'effectuer le produit T^x V,,, qui doit former le premier

SECTION I. CHAPITIVE IV. IDJ

membre de Téquation (a), rien n'empêche de faire disparaître de T;, tous les termes divisibles par Tun des monômes (3); il n'y aura d'arbitraires dans T„ que les coeflicients des termes restants dont le nombre est

^//i«-.. • •A/n,'^//i,N;/ï, ffi—m

en sorte que, pour plus de simplicité, on doit supposer tous les autres nuls, puisqu'il est possible de les faire disparaître. Enfin on peut choisir arbitrairement l'un des coefficients du polynôme T;, ainsi réduit, car cela revient à multiplier l'équation (a) par une constante; donc le nombre des arbitraires utiles pour l'élimination est seulement

(5) ^m.-,-- A^^.A^^Nf//, m — m;,) — i.

On voit d'après cela qu'on pourra faire disparaître les inconnues Zj, z^, . . ., Zn^\ de l'équation (a), en résolvant simplement un système d'équations du premier degré entre un pareil nombre d'inconnues, si les expressions (4) et (5) sont égales entre elles. En écrivant que ces expressions sont égales, il vient

or, le second membre de cette formule n'étant pas supérieur à m, il est nécessairement égal au produit /7i| /713. . .m^,, d'après la formule (8) du n° 66; car la condition (9) que suppose cette formule sera évidemment remplie. On a donc

m 1-. /W| 77/2 . . .m„, et Ton peut dès lors énoncer le théorème suivant : Le degré de l'ëq nation Jinale t/ui résulte de ieUnà-

i58 coL'RS d'algèbre supérieure.

nation de n — i inconnues entre n équations à n incon^ nues est égal au produit des degrés de ces équations, lorsque celles-ci sont complètes et que leurs coefficients demeurent indéterminés.

1\ . La démonstration que nous venons de présenter repose sur ce fait, que les coeilicients arbitraires du polynôme Tn sont complètement déterminés par les équations du premier degré auxquelles ils doivent satisfaire. Or, bien que le nombre de ces équations soit égal à celui des arbitraires, et que les équations proposées aient la plus grande généralité possible, on pourrait craindre de se trouver ici dans Tun des cas d^incompatibilité dont rexistence est bien connue; il est facile de montrer qu*il n'en peut être ainsi.

En effet, supposons que les équations proposées se réduisent à i

a étant une constante donnée. Dans ce cas, on a

et la fonction qui réalise l'élimination peut être déterminée a priori. Si, en effet, on pose

m Tz:z nix w* . . . /?!„ , m zzz — 9

le polynôme T„ aura pour valeur

car, en employant cette valeur de ï„, on a

OU, à cause des n — 1 premières équations proposées,

SFXTiON 1. — CHAriTRE IV. I Jq

Il est é%ident que, si l'on applique à ce cas particulier la méthode générale du n** 70, on obtiendra cette même valeur de T« que nous venons de former ; il en résulte que les équations qui déterminent T„ ne peuvent offrir d^impossibillté en général, puisqu'elles n'en présentent pas quand on donne certaines valeurs particulières aux coefficients des équations proposées.

Nous ajouterons encore une remarque fort importante. Le raisonnement du n^ 70 a conduit, par l'élimination de n — I inconnues entre n équations, à une équation finale dont le degré est égal au produit des degrés des équations proposées ; mais on peut se demander si ce degré ne serait pas susceptible de s'abaisser par l'évanouissement de quelques termes, ou s'il, ne serait pas possible, en suivant une voie différente^ de déduire des équations proposées une équation finale de degré moindre. Il est aisé de voir qu'il n'en est rien, tant qu'il s'agit d'équations générales; effectivement, dans l'exemple que nous venons de considérer, on reconnaît a priori que l'équation finale est

et son degré est égal au produit des degrés des proposées. Or ces dernières sont comprises dans les équations générales du n° 70; donc l'équation finale qui en résulte est nécessairement comprise dans l'équation finale qui se rapporte au cas général.

On arrive à la même conclusion en considérant n équations des degrés //if, /W2, . . ., rn„ respectivement, dont chacune soit décomposable en facteurs linéaires de la forme

/7, 3i -4- «i Zj -f- . . . -h «rt 2„ -+- a,

/z,, «2» ••• étant des coefficients indéterminés. Le svstème de ces équations peut évidemment être remplacé par m = m^ m2 . . . m„ systèmes formés de n équations du pre-

l6o COURS D*ALGÈBRE SUVÉBIEURE.

micr degré ; chacun de ceux-ci fournit une équation finale du premier degré, et le produit des m équations finales ainsi obtenues est Téquation finale relative au système proposé.

Dans les deux cas que nous venons de citer, il est évidemment impossible de tirer des équations proposées une équation en z„y

dont le degré soit inférieur à m; donc la même chose est également impossible dans le cas des équations générales.

72. L'analyse que nous venons de développer montre qu'on n'obtiendrait pas la véritable équation finale, dans le cas où le nombre des équations est supérieur à a, si au lieu d'éliminer les inconnues à la fois, comme nous l'avons fait, on voulait procéder par éliminations successives; car supposons le cas des trois équations générales des degrés respectifs rtix, mo, m^ entre les inconnues ^o -2> ^3- Si l'on élimine z^ entre la première équation et chacune des deux autres, on obtiendra deux équations finales des degrés mi ni^ et ni^ rn^y puis l'élimination de 3-2 entre, ces deux dernières fournirait une équation donlledegrépourraits'éleverjusqu'àmJm2m3, tandis que la vraie équation finale est seulement du degré m^ m^ m^. Le cas des équations du premier degré est le seul où Ton puisse procéder par éliminations successives.

Sur In résolution des équations algébriques simultanées.

73. Lorsqu'on sait former l'équation finale qui résulte (le rélimination de w — i inconnues entre n équations données, on peut aussi, d'après une remarque due à Liouvilli», déterminer les valeurs des inconnues éli-

SECTION I. CHAPITUE'IV. l6l

minées qui répondent à chaque racine de l'équation finale. C'est ce que nous allons développer. Reprenons les n équations

des degrés respectifs m^,in2y . . . , w„ entre les inconnues ^1, Za, . . ., z„, et supposons, comme nous Tavons fait jusqu'ici, que ces équations aient la plus grande généralité possible.

Posons

(2 ) « = a, z, -4- a, Sj -f- . . . -I- a„, 3„, -4- z^,

a^yOL^j . . .,««! étant des coefficients indéterminés, et prenons z pour inconnue à la place de Zn \ il faudra, dans les équations (i), remplacer z„ par la valeur

2;, = z — ( ai 3, -f- a, Zj -f- . . . -l-a„, z„, ) ;

cette substitution ne changera pas le degré des équations, et celles-ci deviendront

(3) Ui=o, Uj = o, ..., U„ = o.

Si Ton éliminez,, Z2, . . . , Zn^\ entre les équations (3),

on obtiendra une équation finale en z dont le degré m

sera

m z= /Tij /Tïj . . . m„,

et qui contiendra dans ses différents termes les /i — i indéterminées a,, «2, . . ., ««!• On peut chasser les dénominateurs qui seraient fonctions de a,, «a» • • • cl, en ordonnant le premier membre par rapport à ces indéterminées, l'équation finale en z sera

(4)/(«)-+-[«iFi(^) + «îF,(z)-4-...-+.a„,F„^,(z)]-^...=o.

On retrouvera l'équation finale relative aux équations proposées en attribuant la valeur zéro aux indéterminées S. — jélg. sup,, l, 1 1

i62 COURS d'algèbre supérieure.

a; on a effectivement alors z = z„, et l'équation (4) se réduit à

mais rindétermination des quantités a va nous fournir des résultats plus étendus. Si, dans l'équation (4), on remplace z par sa valeur tirée de la formule (a) et que Ton fasse usage des formules connues

il viendra, en ordonnant par rapport aux a,

( /(z„) + I a, [zj'(z„) + F, [z,]] + . . . ^ ( -Ha„,[z„,/'(z,,)-f-F„,(2;„)]j + ...=0.

Cette équation (6) résulte de la combinaison des équations (i) entre elles, et elle est nécessairement satisfaite, quelles que soient les indéterminées «, par tous les systèmes de valeurs des inconnues susceptibles de vérifier les équations proposées. Si Ton suppose que ces indéterminées soient nulles à l'exception d'une seule a^^, le premier membre de la formule (()) se réduira à un polym^me ordonné suivant les puissances de a^, et il ne pourra être identiquement nul, à moins que les coefficients des diverses puissances de «^ ne soient nuls. Ainsi, en particulier, on aura, outre l'équation (5),

pour toutes les valeurs i, 2, . . ., [n — i) de l'indice fx, ce qui donnera

SECTION I. CHAPITRE IV 1 ï63

Dans le. cas particulier où le premier membre de chacune des équations (i) est un produit de facteurs du premier degré à coefficients indéterminés, Téquation (5) n'a point de racines égales, et par suite elle n'en peut avoir Aiins le cas général. Donc, si Ton remplace z„ par l'une des racines de l'équation finale (5), la dérivée y'(^;,) ne sera pas nulle, et les formules (7) ne deviendront point illusoires, à moins que l'on n'attribue des valeurs déterminées aux coefficients des équations proposées.

74. La méthode précédente conduite d'autres formules qu'il convient de remarquer et qu'on obtient en égalant à zéro les termes que nous n'avons pas considérés dans la formule (6) et qui contiennent en facteur soit une puissance supérieure à la première de l'une des indéterminées «, soit un produit de puissances de plusieurs de ces indéterminées. Par exemple, si l'on représente par Fyt,v(z) le coefficient de a^ocy dans le premier membre de l'équation (4)» les indices jui et v pouvant être égaux, et qu'on égale à zéro les coefficients de «jl et de a^^a^ dans l'équation (6), il viendra

La seconde de ces formules (8) donne cette valeur de Zy,y

^l^/'M-^Ki^n)

Les formules (8) et (9) sont plus compliquées que les formules (7); mais, quand on passe du cas des équations générales à celui des équations particulières, les formules (7) peuvent devenir illusoires, et dans ce cas les formules (8) et (9) les suppléeront. Celles-ci peuvent à

XZi

i64 COURS d'algèbre supérieure.

leur tour devenir illusoires et exiger Femploi d'autres formules qu'on pourrait pareillement tirer de l'équation (6); mais il n'est pas utile d'insister davantage sur ce sujet.

75. Les équations (5) et (7) sont, d'après notre analyse, une conséquence nécessaire des équations proposées; soit V|ii= o l'une quelconque de celles-ci, et désignons par VJ^ le résultat que l'on obtient quand on remplace dans Vj^, z,, 2:2,..., 2/ï< par les valeurs (7). La fonction \'^ sera de la forme

4) (^rt) étant une fonction entière. Effectuons la division de 4>ji ( z„ ) pary ( z^ ) , de manière à obtenir un reste cp,* ( z„) de degré inférieur à m, et désignons par ^^^(z/i) le quotient de celte division, on aura ^

Cela posé, puisque les équations ( y ) résultent des proposées, il en sera* de même de Téquation VJ^ = o, laquelle se réduit à

Or celle-ci ne peut avoir lieu que si (f^[zn) est identiquement nul, car ce polynôme est au plus du degré m — i , et nous savons qu'on ne peut tirer des équations proposées une équation finale en Zn d'un degré inférieur à m. La précédente valeur de V^ se réduit donc à

y/^ jMfnl

d'oiiil résulte que les équations proposées sont satisfaites

SECTION I. — CHAPITRE IV. ï65

par tous les systèmes de valeurs des inconnues tirées des équations (5) et (7); ce qui est la réciproque de la proposition établie au n°74. Ainsi se trouve démontré cet important théorème :

Le nombre des systèmes de solutions communes à plusieurs équations renfermant un pareil nombre d*inconnues est égal au produit des degrés de ces équations, lorsque celles-ci sont complètes et que leurs coefficients demeurent indéterminés.

En particulier, deux lignes des degrés m^ et m^se coupent en m « m 2 points ; trois su? faces des degrés m^ , 77/2 , m^ se coupent en m^ m2ni^ points.

On dit qu'une courbe algébrique plane ou gauche est de Tordre m, lorsqu'elle est rencontrée en m points par un plan quelconque. L'intersection de deux surfaces des degrés m, etm2 est donc en général une courbe de l'ordre /ri| /W2, car le nombre des solutions communes à trois équations des degrés m^ , m^ et i est m, X Jn^ X i . Ainsi l'intersection de deux surfaces du deuxième degré est en général une courbe du quatrième ordre ; mais il peut arriver, dans les cas particuliers, que cette courbe se réduise, soit à une courbe du troisième ordre et à une droite, soit à deux courbes du deuxième ordre, c'est-à-dire à deux coniques.

Remarque sur la méthode d'élimination de Bezout, —

Méthode d'Euler.

76. La méthode d'élimination de Bezout, exposée au n** 70, consiste à multiplier l'une des équations proposées,

par un certain polynôme, et à employer les autres équa-

l66 COURS D^ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

lions pour faire disparaître quelques-uns des termes contenus dans le produit; Télimination s'achève ensuite en disposant convenablement des arbitraires que renferme le polynôme multiplicateur. Mais, d'après ce qu'on a vu au n° 69, cette manière d'opérer revient à ajouter entre elles toutes les équations , après les avoir multipliées par certains facteurs ; donc, si l'on représenté par

l'équation finale qui résulte de l'élimination de z^ , ^av> ^«-« entre les équations (i), on aura identiquement

Tij To,..., T,/ étant des fonctions entières des inconnues convenablement choisies.

77. Dans V Introduction à V Analyse infinitésimale^ Euler a indiqué, pour le cas de deux équations, une méthode qui revient au fond à celle de Bezout. Représentons les deux inconnues par x elj et supposons que les équations soient l'une du degré m, l'autre du degré /i; ces équations ayant été ordonnées par rapport à^, représentons par

Vo = P' j'» -4- Q' 7«-» -f- R' j"-» -h S' j*»-» 4- . . .

leurs premiers membres. La méthode d'Euler consiste à mulliplier respectivement les polynômes Vf et Va par les facteurs indéterminés

M, = P' jr«-i -i- A'j"-* -h B' j«-' -h C j"-* -I- . . . , Ma = P 7'"-* -h A r '"-* -4- B^'«-8 -h C^'"-* -+-...,

à exprimer ensuite que les coefficients des mêmes puissances de r sont égaux dans les produits M|V|, Ma Va, et

à éliminer enfin les m 4- w — 2 indéterminées A, B,...,

A', B',..., entre les m-hn — i équations du premier

degré

PA'-f-QP'=P'A-4-Q'P,

PB' -4- QA' -h RP' =z P'B -h Q' A -h R'P,

PC 4- QB' -4- RA' -h SP' = P'C -h Q' B -h R'A -h S'P,

ainsi obtenues.

Les rn-h n — 2 premières des équations précédentes donnent pour les indéterminées A, B,..., A', B',..., des valeurs fractionnaires auxquelles on peut supposer le même dénominateur A; les facteurs M, et Ma auront donc la forme

T| et T2 étant des fonctions entières de x et jr, et il est évident que notre équation finale sera

78. S'il s'agit, par exemple, d'éliminer^ entre les deux équations du deuxième degré

on sera ramené par le procédé d'Euler à éliminer A et A' entre les trois équations

PA— P'A = (PQ' — QP'), QA' — Q'A= — (RP' — PR'), RA' — R'A=io,

ce que l'on peut faire en ajoutant ces équations après les avoir multipliées respectivement par les facteurs

QR' — RQ', RP' — PR', PQ' — QP' ;

|68 COUBS D^ALGÈBRE SUPÉaiEURE.

il vient ainsi

(PQ' - QP' ) ( QR' - RQ' ) ~ ( RP' — PR')* =" o.

Si Ton tire des équations qui précèdent les valeurs des indéterminées A et A', on en conclura, comme il a élé indiqué plus haut, les polynômes par lesquels il faut multiplier les équations proposées, pour obtenir l'équation finale d'après la méthode de Bezout. Ces polynômes sont respectivement