PQ'-QP') (P>-4-Q')-P'(RP'~PR

et

-+-(PQ' — QP') (Pr + Q) -4-P(RP'-PR').

Remarquons encore que Téquation finale peut îcî s'obtenir immédiatement en résolvant les équations propo-' sées par rapport à^ et à^^, ce qui donne

RF — PR^ , QR^ — RQ^ ^— pQ/ Qp/' y — pQ'Qp' '

et en égalant ensuite la seconde expression au carré de la première.

Cas de trois équations du deuxième degré à trois inconnues.

79. Pour donner un exemple des simplifications que comportent les applications de la méthode de Bezout, nous considérerons le cas de trois équations générales du deuxième degré entre les trois inconnues x,j^yZ, Soient

ia y^ -\- 2 hjz -f- c 3* -h 7.dy -h 2 es -h / = G, a'y^ -ir-^b' yz-r- c' z^ ^ j.d' y -^ le' z-\-f =o, «V -+- 26'' jz-f- c"2» + 1(1" y-\- le^z^f" = O

les équations proposées ordonnées par rapport ky et à j;

dans chacune d'elles les trois premiers coefficients sont des constantes, les deux coefficienls suivants sont des fonctions linéaires de x; enfin le dernier terme est une fonction entière de x du deuxième degré. Nous poserons

(a) 11 = a [b'c" - 6V) -f- a! [h"c — hc") -^ a" [bd - h'c)

et

Y.=c[Vc" - b"c')-\- e'[b"c—bc"] -h e"[ bc' — b' c] , F :=zf[b'c"-b"e ) -^f'[b"c--bc") -\-f"[bc' — b'c] ,

iy'z=zd[c'a'' - <fa')-^€V [c^a — ca" ) -^ d^[ca' — c'a],

(3) { y: = e[c' a!' -cf' a')-\-^ ya — ca^'^-^e" [ca! — d a\ F' = /( c'a" - c^a') -hf [c"a — ca" ) -^/" ica' -c'a),

I>''=zd{a'b"-a"b')-h€t(a''b-ab'')-h€r[ab'-a'b), Z'' = e[a'b" — a"b']'^e'[a"b—ab")-\-e"[ab'—a'b], F" z=f[a'b" — a^b') -+-/'( a'b— ab" ] -^J" ab' — a' b).

Alors, en éliminant successivement deux des quantités j^^,r^, z^ entre les équations (i), on obtiendra les suivantes :

/ H/*-4-2D j-+-îE z-\-F =0,

(4) J 2Hr3-+-2D'j-t-2E'3-+-F'=0,

( Ils* -+-2D'>-+-2E"z-^F" = o,

qui pourront suppléer les proposées ; mais nous leur donnerons une autre forme qui permettra de faciliter les calculs ultérieurs. Si Ton pose, pour abréger l'écrilure,

iK =HF -^2(D'E — DE') -+- (E'» — 4EE'' ), (5)|R'=HF'-i-4{D''E —DE") — 2 (D'E'-2D"E-2DE''), ( R" = HF'' 4- 2 (D^'E' — D' E") -+- ( D'« - 4 DD"),

et que Ton multiplie les équations (4) ps^r H, on pourra

170 COURS d'algèbre sgpérievre*

leur donner la forme suivante :

( (Hrn-E') (Hr-h2D~E'; 4-2E(H3-h2E'' — D') -4-R=< (6 I i{nx-î-V:] (Hz i-D')-HD"E-\-K' = o,

\ [Uz-^D'] (H3 -2E"- D')-+-2D"(II^-4-2D — E')-hR'' =

nous représenterons respectivement par

'^i, Vj, V3

les premiers membres de ces équations (6).

Pour former, d'après la méthode de Bezout, le premier membre de Téquation finale demandée, nous multiplierons la fonction V2 p^^r un polynôme indéterminé To du sixième degré qui ne renferme aucun terme divisible par 7 - ou par z-; les équations V| = o, V3=o seront ensuite employées pour faire disparaître du produit To Vo tous les termes qui contiendront en facteur jr> ou Z'. Construisons, pour cet objet, les formules suivantes :

(Hz-hD')V,— 2E V3 = {IIj-i-E') (Hj-i-2D — E')(Hz4-I

— 4D"E(IIj-f-2D — E') H-R(Hz-rD') — 2R''E,

( II j -4- E') V3— 2D" Vi = ( Hz -+- D') (Hz -+- 2E'' — D') ( H/+1