R";nr4-D') — 2RD
(Hz -+- D') (Hz -4- 2E" — D') V,- [o E (Hz -4- 2E"— D')-4-R]V: =:(Hr-hE')(nrH- oD- E')(Hz-+-D')(Hz-h2E"-D')
— 4 D" E ; H j -I- o D — E' ) ( II z -I- 2 E" - D' )
— 2 RD" ( H r-l- 2D — E') — 2 R"E (Hz -4- 2E" — D') — RR'
en égalant à zéro leurs seconds membres, nous obtiendrons les équations nécessaires pour l'évanouissement des termes que nous aurons à faire disparaître.
Nous donnerons au polynôme Ta la forme suivante :
r T, = 2X ( Hj- -h 2D — E' ) (Hz H- ïE" — D' )
(9) 1 -h2(Y-4-E'X)(Hz-i-2E*' — D')
2 (Z -^ D'X) (Hjr-f- 2D — E' ) -4- U,
X, Y, Z, U désignant^des fonctions entières et indéterminées de x; la première de ces fonctions, X, est du quatrième degré; Y etZ sont du cinquième; enfin U est du sixième degré. Il est presque superflu d'ajouter que c'est uniquement pour les convenances du calcul que nous écrivons Y H- E'X et Z -h D'X au lieu de Y et Z. Comme nous l'avons dit, les formules (7) et (8) seront employées à faire disparaître du produit Ta V2 les termes divisibles par r^ ou par z^; il est facile de voir qu'on produira cet effet en ajoutant au produit Ta Va les seconds membres des trois formules (7) et (8) respectivement multipliés par les facteurs
-4(zh-d'x), -4(Y-f-E'x), -4x,
ce qui revient à ajouter à Ta Va les produits T| V| , T3 V3, dans lesquels les facteurs Tj, T3 ont pour valeurs
; T, z= — 4X(Hz -I- D') (Hz -4- 2E"— D')
\ ^-8D"{Y-^E'X) — 4(Z-i-D'X)(Hs-4-D'),
^ ""' Jt3= — 4X[2E(H34-2E" — D')-+-R]
- 4 ( Y -^ E'X) {Hx + E' ) H- 8E (Z + D'Xj.
Effectivement, si l'on pose (11) e = T,V, +TaV, + T3V„
puis que l'on fasse, pour abréger,
( HP = 4D''R+(2E''-D')R' — 2E'R", ^'^^ I nQ = 4ER^4-(2D-E')R'-2D'R,
et
lH«N=4(D'«-4DD'')R-4-4(D'E'-îîDE'' — 2D"E)R'
'' M -4-4(E'*~4EE'')R"-h(R'«-4RR''),
Texpression (ii) de 0 deviendra
+ 2H (HPX -4- R'Z - aR-'Tjr ^'^^ ^ H-2H(HQX-hR'Y — 2RZ)«
-4- H (2PY H- 2QZ - HNX).
Maintenant, pour que cette expression devienne celle du ' premier membre de Téquation finale demandée, il faut que, parle moyen des polynômes indéterminés, les termes en jz, en r et en z disparaissent de la formule (i4). Comme le terme en yz ne figure que dans Vj, il nous faut poser
et
HPX-+-R'Z — 2R^Y = o, HQX-+-R'Y— 2RZ =o;
Texpression de 0 se réduit alors à
(17 ) e = 2IIPY -4- 2HQZ — H'NX.
On tire des équations (16)
(2PR-4-QR')HX== — (R'5 — 4RR")T, (2QR' -i- PR' ) HX = — (R* — 4RR")Z;
ces formules montrent que le polynôme X est divisible par R'2 — 41^1^''? 4"^ ^st une fonction entière de x du quatrième degré; le quotient de la division est donc une constante que Ton peut choisir à volonté. Nous prendrons pour cette constante Tin verse de la quatrième puissance
SECTION 1. CHAPITRE IV. Ij'ô
de H changée de signe, en sorte que Ton aura
( H*X=r-(R'2~4RR"), (i8) ) H»1r = oPR-uQR',
( H»Z =2QR''-f-PR';
les polynômes X, Y, Z étant connus, la formule (i5) fera connaître U. Enfin, au moyen des formules précédentes, on obtiendra cette expression de 0,
(19) 0=:j[^[N(R'»-4RR') + 4(P'R + PQR'-^Q'H')],
qui fournit la solution de la question proposée.
Les valeurs de P et Q données par les formules (12) renferment en dénominateur la constante H, et la valeur de N tirée de la formule (i3) a le dénominateur H^; mais on peut démontrer que ce dénominateur doit disparaître des expressions de P, Q, N, lesquelles sont ainsi des fonctions entières des coefficients des équations (i). Le dénominateur H^ disparait également de l'expression (19) de 0, et celle-ci devient alors une fonction entière et homogène du douzième degré, relativement aux dix-huit coefficients des équations proposées; mais nous ne démontrerons pas cette proposition qui s'écarte un peu de notre sujet.
80. Il faut remarquer que l'analyse précédente ne donne pas seulement l'équation finale demandée 0 = 0, mais qu'elle fait connaître aussi les valeurs des inconnues y et z qui répondent à chacune des huit racines de cette équation finale. Effectivement, quelles que soient les valeurs ^/i/e.v que l'on attribue aux indéterminées X, Y, Z, U, dans la formule (i4)> l'expression de 0 que Ton obtiendra se réduira nécessairement à zéro, pour tous les systèmes de valeurs x, y, z qui satisfont aux équa-
fi
lions proposées. Or, si Ton fait successivement
VA
la formule ( i4) donnera ces deux valeurs eorrespondantes
de 0 :
0=(R'» — 4RR'')7-h(2PR -+-QR'),
e = ( R» — 4RR" ) 3 -h (2 QR'' 4- PR' ). ({ui l'une et Tautre sont nulles; on a donc
— aPR -f- QR^ 2QR^-4-PR^ '^~"" R'*-4RR"' *"■ R'»— 4RR'''
et Ton peut écrire aussi
X, Y, Z désignant ici les fonctions déterminées par les formules (i8). Il est évident que, si Ton substitue ces valeurs (20) de >- et de z dans les premiers membres des équations (6), ceux-ci se réduiront à des fonctions rationnelles de X dont les numérateurs seront divisibles par 0; au surplus, il est facile de vérifier qu'il en est ainsi, en se servant des formules que nous avons obtenues.
81. Si Ton suppose que x, y y z représentent des coordonnées reclilignes, le problème que nous venons de résoudre coïncidera avec celui qui a pour objet la recherche des points communs à trois surfaces du deuxième degré données.
La discussion des cas particuliers de ce problème met en évidence diverses circonstances intéressantes qu'il n*entre pas dans notre plan d'analyser d'une manière
SECTION I. CHAPITRE IV. Ij5
complète; mais nous indiquerons succinclemcnt les principales, afin de faciliter Tintelligence des considérations générales que nous aurons à présenter ensuite. Les coefficients des équations proposées ne se^ront plus dans ce qui va suivre des constantes indéterminées, et nous examinerons les cas principaux dans lesquels la fonction 0 se réduit identiquement à zéro.
Supposons d'abord qu'il n'existe entre les coefficients aucune relation autre que celles qui sont nécessaires pour la réalisation de Thypothèse où nous nous plaçons. Dans ce cas, la fonction X ne se réduit pas à zéro, et la substitution des valeurs (20) dej et de ::, dans les premiers membres des équations (6), donne des résultats identiquement nuls; cela exige, comme on le reconnaît aisément, que les fonctions rationnelles substituées ky et à :; se réduisent à des fonctions linéaires de x, et, par suite, que Y et Z soient divisibles par X. On voit alors que nos trois surfaces ont une droite commune, savoir, celle qui est représentée par les équations (20); mais elles ont aussi d'autres points communs qu'il est facile de déterminer. Efi'ectivement, les formules (20) ont été obtenues en remarquant que, pour toutes les valeurs de j\ y y z qui satisfont aux équations proposées, les deux fonctions entières
s'annulent. En égalant à zéro le second facteur de l'une et de l'autre expression, on retrouve les équations (ao); mais on voit que l'on a en outre la solution
X = o ou R'*— 4RR''=o,
laquelle fournit les coordonnées x de ceux des points communs aux trois surfaces qui ne se trouvent pas sur la droite commune.
Ainsi, dans le cas qui nous occupe, bien que les équations proposées soient indéterminées, on est conduit à considérer une équation finale qui est, en général, du quatrième degré.
82. Supposons maintenant que les coefGcients des équations proposées soient tels que Ton ait identiquement, non-seulement 0 = o, mais encore X = o ; comme au numéro précédent, nous exclurons toute relation inutile pour la réalisation de nos hypothèses. Les équations
HXj — Y = o, HXs — Z = o,
obtenues au n° 80, montrent que Ton a identiquement Y = o, Z = o ; le cas où les trois fonctions R, R', R'' se réduisent à zéro sera examiné plus tard, et nous l'excluons en ce moment ; alors, Tune au moins des fonctions R et R" étant différente de zéro, nous supposerons que R ne soit pas nulle. Enfin Tidentité X = o nous donne
R'=2XR, R''=X«R,
et nous distinguerons deux cas, suivant que ï> est une constante ou une fonction de x.
Admettons d'abord la première hypothèse. Les identités Y=o, Z=o, 0 = 0 s'accordent à donner
si donc on fait
on aura
P4-XQz=o;
et il viendra, à cause des formules (12),
— XHÇ = 2 D" -+- (2E" — D' ) X — E'X% HÇ = 2EX»-i-(2D-E')À — D',
SECTION I. CHAPITKE IV. Ijy
d'où, par l'élimination de ^,
D^-f- (E''— D' ) X -4- (D — E') X«-h EX»= o;
on voit que ^ est une fonction linéaire de x.
Si Ton continue à représenter par V|, V2, V3 les premiers membres des équations (6), on trouvera, au moyen des formules qui précèdent,
On voit par là que les équations V| = o, ¥3 = 0 sont
satisfaites par toutes les valeurs de Xyj, z qui satisfont
aux deux
V, = o, 2 — >.jK — Ç = o;
la dernière de ces équations est celle d'un plan : donc, les trois surfaces que nous considérons ont une conique commune. Ces surfaces ont aussi deux autres points communs, lesquels appartiennent a la droite représentée parles deux équations
H^ -h E' — 2XE = o, Hz -+- D' — ^ D''= o:
si Ton tire de celles-ci les valeurs de y et de 2: pour les substituer dans les équations (6), on trouvera les résultats
R=:o, R'=:o, R"=zo;
ces équations sont en général du deuxième degré et Tune quelconque d'entre elles peut être regardée comme l'équation finale qui convient au cas particulier que nous examinons.
Le cas où la constante X se réduit à zéro n'introduit aucune particularité nouvelle. Les fonctions R' et R'' sont alors identiquement nulles, et comme nous excluons 6< — Alg, sup.^ I. la
le cas de R = o, Thypothèse 0 = o exige que l'on ail D"= o. Alors les lieux que représentent les deux dernières équations (6) ont un plan commun.
