Supposons que X soit une fonction de x, et posons

r et s étant des fonctions entières premières entre elles.

Comme

on aura

R = As\ R' r=r 9. Ars, R" = Ir*-;

(Toii il suit que le de<i;ré de r ou de s ne peut suq)asser Tunité, et, comme Tune de ces fonctions au moins ne se réduit pas à une constante, la quantité k sera nécessairement indépendante de x.

D'après les résultats obtenus au numéro précédent, on aura

Supposons que s ne se réduise pas à une constante; l'identité précédente prouve que E est divisible par 5; d'ailleurs E est du premier degré : on a donc

a étant une constante. En substituant à E cette valeur et divisant par 5, il vient

D".f* 4- (E"— D' ) ry -h (D — E' -f. ar) ^^ = o;

on voit de même que D — E' -f- ar est divisible par^, et, en désignant par 6 une constante, on aura

D — E == — arH-65j

pais réquation précédente divisée par s deviendra

enfin la fonction E" — D'-f- êrest encore divisible par s et, en désignant par y une nouvelle constante, on aura

puis

En résumé, nos hypothèses nous ont donné les résultats

E =r a^, D — E' = — ar -f- 65,

E"— D'=: — 6r-h75, D''= — yr;

et Ton aurait évidemment obtenu les mêmes formules, si Ton avait supposé r fonction de x, s pouvant être une constante.

Au lieu de la constante /r qui entre en facteur dans les expressions de R, R', R'', nous en introduirons une autre g* déterminée par Téquatioti

^ = (6* — ^ay) — g*j d'où g:=dz^(^^ — 4*7) — ^5 alors les équations (6) de nos trois surfaces deviendront

r-+-E'H-;5'4-6)5][Hr-hE'-2ar-(^-6)5]-f-2a5[U2H-D'-4-(g'-6)r]=iio,

Ces équations sont satisfaites en même temps que les deux suivantes :

Uz-\-D'-h{g — ^)r=o,

dans lesquelles g a Tune ou Tautre des deux valeurs

— ^(^^ — 4«>') — ^*> les surfaces que nous considérons ont donc deux droites communes non situées dans le même plan. On voit aussi que le reste de l'intersection

la.

l8o COURS D^ALGÈBRB SUPÉRIEURE.

de deux des trois surfaces se compose de deux autres droiles; chacune de celle-ci coupe les deux premières droites en deux points qui sont sur la troisième surface, et en conséquence elle ne peut rencontrer cette troi* sième surface en d'autres points.

Ainsi dans le cas dont il s'agit il n'y a plus d'équation finale.

S^*. Considérons enfin le cas où l'on a identiquement R= o, R'= o, R"= o. Les premiers membres des équations (6) deviennent alors

V,= (U7-f-E')(Hj-h?.D — E')-h2E(Hz-HaE'' — D'),

V,= [Hj4-E')(H3-|-D')-4D''E,

V8= (Hz 4- D' ) (H3 -h 2E''— D') -+- 2D*' (Hr 4- 2D— E' ),

et il en résulte

(Hz4-D') Vi — (Hr-4- îD— E')V,— aEV, =o, (H7-4-E') V, — (Hz4-2E'^— D')V,~2D''V, = o.

La droite qui a pour équations

appartient aux deux surfaces V| et V2, et, d'après les identités qui précèdent, le reste de l'intersection de ces deux surfaces appartient à la troisième surface V3. Pareillement, la droite déterminée par les équations

Hz-i-D'=:o, D'"=o

appartient aux surfaces V2 et Vj, et le reste de l'intersection est sur V|. Enfin la droite

Hj-h2D — E'=o, HZ4-2E*' — D' =0

appartient aux surfaces V« et Vj, et le reste de l'intersection appartient à Vj. 11 résulte de là que les trois surfaces considérées ont une courbe du troisième ordre commune*

SECTION I. — CHAPITRE IV. l8l

Les trois droites qui complèlent les intersections des carfaces deux à deux ne se rencontrent pas en général, et en conséquence elles rencontrent la courbe du troisième ordre. Dans le cas qu'on vient d'examiner il n'y a point d'équation finale.

Nous ne pousserons pas plus loin cette discussion, et nous remarquerons en terminant que nous n'avons pu rencontrer le cas où les surfaces données ont une courbe du quatrième ordre commune, parce que nous avons exclu les hypothèses dans lesquelles la constante H se réduit à zéro.

Sur les équations simultanées dans lesquelles les coefficients ont des valeurs particulières déterminées.

85. En ne considérant jusqu'à présent que des systèmes formés d'équations générales dans lesquelles les coefficients sont indéterminés, nous nous sommes affiranchis de toutes les difficultés auxquelles les cas particuliers peuvent donner naissance. Nous allons présenter ici quelques considérations relatives à ces cas particuliers ; mais il n'entre pas dans nos vues d'approfondir en ce moment cette partie importante de la théorie des équations; nous reviendrons sur ce sujet dans la deuxième Section de cet Ouvrage.

Les systèmes formés de plusieurs équations simultanées entre un pareil nombre d'inconnues peuvent être distingués en deux genres, suivant qu'ils admettent un nombre limité ou un nombre illimité de solutions. Dans le premier cas, l'équation finale relative aux équations proposées doitévidcmment être comprise dans l'équation finale qui se rapporte au système composé d'équations générales, en môme nombre que les proposées, et respectivement de mêmes degrés que ccUes-ci. Dans le deuxième cas, il n'y

l83 COURS D* ALGÈBRE SUPÉRIEURE*

a plus, à proprement parler, d^équation finale; cependant il peut arriver que, parmi les solutions des équations proposées, solutions dont le nopibre est, par hypothèse, illimité, il y en ait quelques-unes, en nombre fini, qui se distinguent des autres par une propriété partico- Hère et dont la détermination mérite d'être l'objet d'une recherche spéciale ; cette recherche conduira donc à une équation finale d'une nature particulière. Nous avons rencon tré un exemple de ce cas ( n°* 81 et 82) dans le problème qui a pour objet la recherche des points d'intersection de trois surlaces du deuxième degré qui ont une droite commune ou une conique commune.