Soient, comme au n** 70, (i) Vi=:o, V, = o, ..., V;,= o
n équations générales des degrés mi , 77/2 , . . ., 'w« respectivement entre les n inconnues
et
l'équation finale du degré
m 1= /7ÏJ /7ÏJ . . . /Wu,
obtenue en éliminant 2:<, Z2>--->-/i-<entreleséquatîons(i). On aura identiquement, comme on l'a vu,
(3) /(^,i) = TiV,-+-T,V, + ... + T„V«,
T| , Ta, . . . , T„ étant des fonctions entières des inconnues. On peut toujours faire en sorte que les coefficients de ces polynômes soient des fonctions entières des coefficients des équations (i), et nous admettrons qu'ils aient été ramenés à cette forme, en sorte que/( z„) sera une fonction
SECTION I. — CHAPITRE IV. l83
entière de z„ et des coefficients des équations (i). Rappelons encore que la méthode exposée au n^ 73 donne le moyen de former les m systèmes de solutions des équations (i) qui répondent respectivement aux m racines de l'équation (2).
Cela poséy donnons aux coefficients
A, B, Gf . • .
des équations (i) les valeurs particulières
A(«), B(«), C(^), ..., et soient
(4) v<," = o, v;"=o vW=o
ce qucdeviennent alors les équations (i). Désignons aussi pary<®^(5„), IV^... les valeurs que prennent, dans la même hypothèse, les polynômes /(z„), T|,...; Téqualion (2) deviendra
et Ton aura
(6) /(«) (3„) = TJ^^VJ'^ 4- T^^V^'^-h. . .-4- T^'^V^;^
Supposons d'abord que le premier membre de l'équation ( 5 ) ne se réduise pas identiquement à zéro. Il est évident, par la formule (6), que les seules valeurs finies de l'inconnue Zn qui puissent, avec des valeurs convenables desautres inconnues, constituer dessystèmes de solutions pour les équations (4), sont les racines de l'équation (5), et celle-ci sera l'équation finale relative au cas particulier que nous considérons.
Dans le passage des équations générales aux équations particulières le degré de l'équation finale peut s'abaisser par l'évanouissementde quelques-uns des premiers termes
l84 GODR8 d'algèbre SUPÉRIEURB.
de la fonction /(z;,); si ce degré se réduit à m — /ùt, l'équation finale ( 2 ) a /ui racines qui deviennent infinies quand on fait tendre les coefficients A, B,..., vers les
limites Af®\ B^^^ Il est essentiel de tenir compte de
ces racines infinies et de ne point abaisser au-dessous de m le nombre des systèmes de solutions des équations proposées. Ces m systèmes de solutions nous sont donnés par les formules des n***73 et 74; les formules (7) du n** 73 suffisent toujours quand l'équation finale (5) n'a pas de racines égales ; autrement il faut avoir recours aux formules (8), (9) , . . . (n°74). Le cas où l'équation finale acquiert des racines égales mérite d'arrêter notre attention ; parmi les m systèmes de solutions des équations (4), il s'en trouve alors plusieurs qui fournissent la même valeur pour l'inconnue z„. Il peut même arriver que h de ces systèmes coïncident entièrement, et, dans ce cas, ils constituent, pour les équations proposées (4), ce qu'on nomme une solution multiple d^ ordre h.
L'équation finale relative aux équations générales (i) nous donne ainsi la véritable équation finale qui se rapporte aux équations particulières (4); mais, quand on veut obtenir celle-ci par une voie directe, il est essentiel de maintenir à chaque racine le degré de multiplicité qui lui convient.
87. Supposons maintenant que la {onclion f[z„) se réduise identiquement à zéro quand on fait A= A^®', B=B^°\ — Nous poserons
A^*^, B^*^, C^*^... étant, ainsi quee, des constantes indéterminées, en sorte que la généralité des équations (1) ne sera point altérée. En faisant cette substitution dans les polynômes V>t et T^ et en ordonnant ensuite les résul-
éEGTION I. — CHAPITRE IV. 1 85
tais par rapport aux puissances croissantes de e, on aura et
V^*^ et T^**^ étant des polynômes indépendants de e. La fonction y (z;,) prendra donc la forme
Par hypothèse, leterme/(<>^ (z„) est nul; quelques-uns des coefficients des puissances de e peuvent aussi se réduire à zéro, mais ils ne peuvent pas tous s'évanouir, car l'expression précédente de/[zn) se rapporte toujours à un système d'équations générales. Désignons pary^s*' {z„) le premier des coefficients qui sont différents de zéro, on aura alors identiquement
et l'expression dey( z,, ) deviendra
en conséquence, l'équation finale relative au système général (i) prendra la forme
Maintenant, pour passer des équations générales aux équations particulières (4), il suffit de faire tendre e vers zéro, et à la limite l'équation finale se réduira à
L'analyse qui précède nous conduit donc toujours à une équation limite, soit que les équations proposées admettent des solutions en nombre limité, soit que ces
i86 COURS d'algebue supérieure.
équations constituent un système indéterminé, et admettent en conséquence une infinité de solutions.
Lorsque le premier cas a lieu, il y a pour les équations proposées une certaine équation finale
qui est indépendante des quantités arbitraires A^*^, B^**, C^*^... et dont le premier membre est évidemment un diviseur dcy^**^ {^/î)î ^"^ ^ donc
<ï>(z;,) étant une fonction entière de z^ et des arbitraires A^*^B(«^
Lorsque les équations proposées admettent une infinité de solutions, il n'y a plus d'équation finale; Féquation limite
correspond à ce qu'on nomme, dans la Géométrie, une enveloppe. Elle fournit les valeurs limiles qui conviennent à Tinconnue Zn't dans le cas d'un système variable (jue Ton l'ait tendre, suivant une loi quelconque, vers un système composé d'équations indéterminées.
88. Les considérations que nous venons de présenter peuvent se résumer par les propositions suivantes :
Le degré de l' èq nation finale qui résulte de VéUmi" nation de n — i inconnues entre n équations algébriques quelconques à n inconnues est au plus égal au produit des degrés de ces équations.
Dans le passage d'un système d' équations générales à un système d'équations particulières respectivement de mêmes degrés, le degré de l'équation finale peut s' abaisser, soit par l^ évanouissement de quelques termes, soit par la suppression d'un facteur.
SECTION I. CHAPITHE IV. 187
Il serait facile d'établir par notre analyse que Téquatîon finale relative aux équations (4) peut toujours se mettre sous la forme
Si, S2,...,Sfl étant des fonctions entières. La détermination directe de ces polynômes multiplicateurs, dans les différents cas qui peuvent se présenter, est le problème que Bczout s'est proposé de résoudre, et dont le développement forme Tobjet de la Tliéorie des équations algébriques, que nous lui devons. La solution n'est pas exempte de difficultés, et l'application de la théorie est fort laborieuse ; aussi nous n'entrerons à ce sujet dans aucun détail, et nous renverrons à la Section suivante, où l'on trouvera l'exposition d'une nouvelle méthode d'élimination.
Il ne sera pas inutile, en terminant, de présenter un exemple siilfiple dans lequel le degré de l'équation finale s'abaisse par la suppression d'un facteur. Je choisirai, à cet effet, le cas de deux équations du deuxième degré que nous avons déjà considéré au n°78. Les inconnues étant X et j-, soient
deux équations générales du deuxième degré ; P et P sont des constantes, Qet Q' sont des fonctions linéaires de X, R et R' sont des fonctions entières du deuxième degré. Les facteurs T^, T2, par lesquels il faut multiplier respectivement V| et Va, ont ici pour valeurs
, . l T, = -(PQ'-QP')(P>-4-Q')-P'(RP'-PR'), ^^^ I T, = 4-(PQ'-QP')(P7 -4-Q) 4-P(RP'-PR').
l88 COURS D^ALGkBRB SUPÉRIEURB.
et le premier membre de réquation finale est
(3) T, V, + T, V, = (PQ' - QP') (QR' - RQ) — (RP' — PR')«.
Ce premier membre se réduit à zéro, ainsi que les polynômes 1\ et T2, lorsqu'on suppose P = o, P'= o. Posons, conformément a ce qui a été dit précédemment,
les formules (2) et (3) donneront
7 =+ (p(ï-p'ii)q + t[(pQ'-p'q]px + p{p'ti-pii^%
et
îi V, + ^ V, = (;, Q'-;,'Q ) ( QR'- RQ' ) - . (// R -pJk' )«.
Faisons tendre maintenant e vers zéro et désignons par y['\ V['\ T['\ T^*\ les limites de Vi, Va, î? et ^S on aura
t;^^=-(/^Q'-/^'Q)Q', t<'^— 4-(/>Q'-yQ)Q,
et
T;»^v;°^ + t^^V^°^=r(/.Q'-yQ)(QR'-RQ').
Si l'on remplace danscette dernière formule T^,*^ et Ti*^ par leurs valeurs, les deux membres contiendront le facteur/?Q' — /;'Q, et en supprimant ce facteur il viendra
Q' v|°^ -f- Q V;'^ = QU'— UQ' ;
réquation finale se réduit donc à
QR' — UQ' = o,
SECTION I. CilAPlTKE IV. 189
et, comme on le voit, elle s'est abaissée au troisième degré par la suppression d'un facteur.
Si l'on suppose que xetj^ représentent des coordonnées rectilîgnes, les équations proposées seront celles de deux coniques. L'équation finale que nous venons d'obtenir fera connaître les abscisses de trois des points d'intersection, mais les deux coniques doivent être regardées comme ayant un quatrième point commun situé à Tinfini; l'ordonnée j^ de ce quatrième point est infinie, mais l'abscisse x est complètement indéterminée.
L'existence de solutions indéterminées se manifeste même chez les équations du premier degré. Effective ment, les deux équations
ay -4- 6 j* -h c = G, a' y -\- h* x -\- c' •=. o
représentent deux droites qui deviennent parallèles lorsqu'on suppose a = o, fl'=o. L'ordonnée du point d'intersection est alors infinie, mais l'abscisse est indéterminée.
Théorème relatif au degré de multiplicité des solutions de deux équations simultanées à deux inconnues.
89. Il existe, à l'égard des solutions multiples d'un système d'équations simultanées, un théorème analogue à celui qui concerne les racines multiples des équations à une inconnue. Nous allons établir ici ce théorème en nous bornant au cas de deux équations à deux inconnues x et y.
Soient
deux équations des degrés meln respectivement et auxquelles nous supposons la plus grande généralité possible. Pour donner à ces équations la solution :c = a:o, j=ro> il suffira d'assujettir les arbitraires contenues dans^et F
190 COURS d'algèbee supériedee.
aux deux conditions
Gela étant, ordonnons /{oc^y), F(j:, /) par rapport à X — Xq etj — jo> puis posons
il est évident que les premiers membres des équations (1) prendront la forme
cp^(f ), 4>v(f ) étant des fonctions entières de i, la première du degré [â etla seconde du degré v ; dans ce qui va suivre, les indices fi cl v pourront surpasser m et n respectivement, mais dans ce cas on fera (f^(f) = o, 4>v(f) =1 o. Désignons par
une fonction entière arbitraire, d'un degré quelconque 5, des deux variables x dj, et que nous ordonnons de la même manière que les fonctions^et F. On aura identiquement
en posant, pour abréger,
Tj = *,(<)- [«Jo ( 0 ?.(')■+- °i ( 0 ?«( 0 + «"î ( 0 <Pi (01.
T^ = *^(f)-[oo(OT^{^)+°i(')?i-i(') + ----t-°K-i(')Ti(')J.
et si l'on dispose des arbitraires contenues dans les fonc-
SECTION I. — chapithe IV. 191
tionsyet F, ainsi que de celles contenues dans ^p, de manière que Ton ait identiquement
(5) Ti = o, T, = o, ..., T^i=o,
la formule (4) deviendra
Cela posé, supposons qu'on veuille donner aux équations proposées la solution a: = a: <,j^=><; il suffira que le second membre de la première formule (3) et celui de la formule (6) se réduisent à zéro pourj: = j:i et
; ces valeurs de x et de t devront donc satis-
X\ — Vq •''1 — •'^0
faire aux deux équations
ç, (/)f (.r.ro)y, («)-h. . . — O, Ta- h- ['^ — .^0 ) Ta^i-i -+-...== O.
Mais, si Ton fait varier Xj et y ^ de manière que ces quantités tendent vers les limites Xo et j'o» les deux conditions imposées aux arbitraires se réduiront à une seule à la limite, car il suffira que les deux équations
soient satisfaites par la même valeur de t ; cette valeur sera égale à la limite vers laquelle tend le rapport — — ^
.Tj JTq
quand j^i etx< tendent versjo et Xq. Gomme la première des équations précédentes est du premier degré, la condition dont nous venons de parler équivaut à celle de la divisibilité de T^par ^%[t)\ enfin, parce que T^t renferme le terme cta-j (0 ?< (^) et que les conditions (5) laissent tJA.i {t) indéterminée, on peut supposer cette fonction choisie de manière que Ton ait identiquement
On voit donc que, si Ton dispose des quantités quires-
loii couns d'algèbre supérieure.
Iciïl arbitraires de manière à satisfaire à réquation (7), OM augmentera d'une unité (n° 86) le degré de multiplicité de la solution (xo, J'o)-
11 résulte delà que les formules (5) donnent les conditions nécessaires et suffisantes pour que le degré de multiplicité de la solution (xcj'o) soit égal à k; ces mêmes formules expriment qu'il existe une fonction ^ (x, j^) telle, que l'équation (6) ait lieu identiquement. Il faut remarquer que le polynôme Ta n'est pas divisible parçi(t), à moins que le degré de multiplicité de la solution (xo,^o) ne soit supérieur à A' ; en outre il est évident qu'en disposant de la fonction indéterminée cta i(^), on pourra réduire Ta à une constante différente de zéro.
Remplaçons^par sa valeur* —t la formule (6) de-
viendra
(8) F(x,r)-/(^.r) + (.'^>.r)=x(-^^jK
;((x,j") étant, d'après ce que nous venons de dire, un polynôme de la forme
OÙ G et G^^ q désignent des coefficients constants et où le
signe \ embrasse un nombre limité de termes dans
chacun desquels le degré p-h (/ est supérieur à k.
Nous emploierons les caractéristiques D,, D^ pour représenter les dérivées de nos polynômes prises par rapport kxelkj respectivement; ainsiD,F(j:,j^'^), D^ F (x, j^) désigneront les dérivées deF(a7,j-) relativement à x et kj. Cela posé, si dans l'identité (8) on remplace x par x 4- //, et qu'on égale les coefficients de la première puissance de h dans les deux membres, il viendra
SECTION I. — CHAPITRE IV. IpS
on aura aussi, en opérant de la même manière à l'égard de r,
Nous poserons
(12) F,(x,-^)=Dy/(x,^).D;,F(^,r)~D^/(^,j).DyF(^,j) et nous ferons en même temps, pour abréger récriture,
Zi(-»^ir)=I>y/{^»j)-i>xX(-»^'r)— I^x/l-^.Jj.DyXl-^trJ- Alors, en ajoutant entre elles les équations (lo)et(i ï) respectivement multipliées par-|-D^y(a:,j') et — D;cy^(j^>J')» on trouvera
Les termes du premier degré en x — Xq etj^^ — Yq dans f{xyj) ont pour somme [x — Xo) ^i («), et la dérivée de celle somme par rapport kj est égale au coefficient g" de t dans <j>i(0> coefficient que toute notre analyse suppose différent de zéro. Il en résulte que ;^| (x, r) contiendra le terme 1\gQ[x — Xo)*~* avec d'autres termes qui seront tous d'un degré supérieur à k — i par rapport kx — Xo et y — jq ; cette fonction j^< {^yj) aura donc la forme
(i4) xi('»r)=H(^-^o)'"~*+^H;„^(^-^oK(r-ro)^
H et Hp,y étant des constantes, et la somme ^4-^ étant supérieure à A" — i .
Les formules (i3) et(i4) montrent que [xq^Jq) est une solution multiple d'ordre h — i pour les équations simultanées
Ce résultat subsistera lorsqu'on donnera des valeurs particulières aux quantités qui restent arbitraires dans F et dansy*, lors même que ces valeurs feraient disparaître t de S. — Mg. sup,, I. ' 1 3
194 COURS d'algèbke supérieure.
c^i (f ), pourvu cependant que cfj (t) ne se réduise pas à zéro. On évitera effectivement ce cas si Ton reprend Tanalyse qui précède, après y avoir changé les lettres x etj Tune dans l'autre.
Mais, si f i (t) se réduit identiquement à zéro, la conclusion précédente ne peut pas être maintenue ; dans ce cas, les deux équations
admettent la solution x = Xoyj=yo'
Comme rien ne distingue les équations (i) l'une de l'autre, on peut énoncer le théorème suivant que nous avions en vue :
Théorème. — Soient f{x^ ^) = o, F ( j:, y) -= o deux équations simultanées y et Fj (x^y) la différence ldyf{x,y) D,F(x,j)-D^/(x,^)D^F(x,^). Si les équations proposées admettent la solution x = Xo, y=zyQ as^ec un degré de multiplicité k, les équations Fi{x,j) =0, f (x,j) =o admettront la même solution ai^ec un degré de multiplicité précisément égal à h — I, à moins que cette solution n'appartienne aux deux équations Dxf {x y j)= o, Dy/{x, y) = o. Pareillement les équationsFi{Xjj) = o, F{x,j) =o admettront la solution x = Xo, y =jo auec le degré de multiplicité k — i, à moins que les deux équations DxF(j:, j^) =o, DyF (^Xj y) = o n'aient cette même solution.
On voit que, dans tous les cas, une solution multiple des équations/(x, j)= o, F{x,y) = o satisfait nécessairement à l'équation
Dy/(a:,j).D^F(^,r)-D,/(ar,jr).DyF(ar,7) = o.
90. La proposition que nous venons d'établir comprend le théorème qui se rapporte aux racines multiples des
SECTION I. — CHAPITRE IT. ipS
équations à une seule inconnue; car, si on l'applique . aux deux équations f(x) =: o, j^ = o, dont la première a k racines égales à Xoy elle indiquera que l'équation f{x) = o a Ar — i racines égales à oro- Mais le nouveau théorème n'a pas une étendue aussî grande que le premier, car nous avons exclu le cas d'une solution multiple qui satisferait aux quatre équations obtenues en égalant à zéro les dérivées relatives à x et à j des premiers membres des équations proposées. Ce cas est celui dans lequel la solution que l'on considère est une solution multiple de chacune des équations prises séparément. En effet, si Ton pose, comme au n" 89,
et que la {oncûonf^Xyy) du degré m puisse se mettre sous la forme
Oh {^) étant d'un degré égal à A^, parmi les racines de l'équation
il y en aura Ar qui tendront vers des limites finies quand on fera tendre x vers Xo, d'où il résulte que A" solutions de l'équation f{xjj) = o viendront se confondre à la limite avec la solution (xo, Jo)- Si l'on suppose que x ely représentent des coordonnées rectilignes on pourra dire que le point (xo, J'o ) est un point multiple d'ordre A" pour la courbe représentée par l'équation y (x,j^') = o.
Nous avons cru utile de faire cette indication, mais nous n'entrerons point dans l'examen des détails du cas singulier dont il vient d'ctre question. Remarquons seulement que, si deux équations
«dmetlcnt la solution (xq, Jo) avec le degré de multiplicité A y mais que cette solution soit simple pour chaque équation prise séparément, on pourra remplacer Tune des équations par une autre pour laquelle la solution (•To* Jo) ait le degré de multiplicité h. Il est évident, en effet, qu'à la dernière des deux précédentes équations on peut substituer la suivante :
qui remplira la condition requise si l'on détermine la fonction ^p(x,j) comme on Ta expliqué au numéro précédent.
application de la théorie du plus grand commun diviseur à la recherche des solutions communes à deux équations à deux inconnues,
91 . La théorie du plus grand commun diviseur fournit une méthode très-simple pour ramener la résolution de deux équations à deux inconnues à celle d'un ou de plusieurs systèmes dans lesquels l'une des équations ne renferme qu'une seule inconnue. Nous allons exposer ici cette méthode.
Soient
deux équations algébriques entre les inconnues x et y. Si les polynômes V< et V^ sont décomposables en facteurs, de manière que Ton ait
il est évident que la recherche des solutions du système (i) se ramènera à celle des solutions des fiv systèmes
les indices supérieurs i et y pouvant recevoir les valeurs I , a, . . . , fx et 1 , 2, . . . , V respectivement.
Si les équations qui composent Tun des systèmes (2) rentrent l'une dans l'autre, ce système sera indéterminé et la même chose aura lieu à l'égard du système proposé.
Si les équations (2) ne renferment l'une et l'autre qu'une seule inconnue, x par exemple, elles seront incompatibles et elles ne fourniront aucune solution des équations proposées, à moins que leurs premiers membres n'aient un diviseur commun. Alors, si Ton prend Tune des valeurs de x qui annulent ce diviseur commun, avec une valeur arbitraire dejy on satisfera évidemment aux équatfons (i); ce cas est compris dans le précédent.
Si les équations ( 2 ) renferment seulement, l'une l'inconnue X, l'autre l'inconnue y y chacune d'elles aura autant de racines qu'il y a d'unités dans son degré, et en combinant successivement chaque racine x avec chaque racine j^, on obtiendra tous les systèmes de solutions des équations (2).
Enfin, si, l'une des équations (2) renfermant les deux inconnues, l'autre n'en contient qu'une seule, x par exemple, celle-ci admettra une ou plusieurs racines, et la première équation fournira une ou plusieurs valeurs de y correspondant à chaque racine x. La recherche des solutions des équations simultanées (2) n'offre donc alors que les difficultés du problème de la résolution d'une équation à une inconnue.
En général, avant de procéder à la recherche des solutions des équations proposées (i), il conviendra de débarrasser leurs premiers membres des facteurs fonctions de X ou fonctions dej" que ces polynômes peuvent admettre. On appliquera à cet effet la méthode du 'n° 47 ; par exemple, pour avoir les facteurs de V| qui ne dépendent que de x, on ordonnera ce polynôme par rap-
port à y y ensuite on cherchera le plus grand commun diviseur de deux des coefficients, puis le plus grand commun diviseur entre ce premier plus grand commun diviseur et un troisième coefficient, et ainsi de suite. Cette opération ayant été exécutée, on sera ramené, d'après ce qui précède, au cas de deux équations dont les premiers membres n'ont aucun diviseur fonction d'une seule inconnue.
92. On- est naturellement conduit, comme on va le voir, à appliquer la méthode du plus grand commun diviseur dans la recherche des solutions communes à deux équations.
Soient
les équations proposées entre les inconnues x et^. Conformément à ce qui a été dit au numéro précédent, nous admettrons que les polynômes V< et Vj n'ont aucun diviseur commun ; ces polynômes ayant été ordonnés par rapport aux puissances décroissantes de^, supposons que le degré de Vj par rapport à j ne soit pas inférieur au degré de Va. Divisons V< par V2, et désignons par Qi le quotient, par V3 le reste de la division ; on aura
Si la division n'a introduit aucun dénominateur fonction de x, Q< et V3 seront des fonctions entières; par suite, les valeurs simultanées de x et de j' qui annulent Vj donneront
et, en conséquence, le système proposé (i) admettra les mêmes solutions que le système formé des équations
qui est évidemment plus simple.
SECTION I. CHAPITHE IV. I99
Supposons, d'après cela, que Ton opère sur les polynômes V| et V2, comme s'il était question de chercher leur plus grand commun diviseur; on sera conduit à une suite d'égalités telles que
V3, V4, . . . V;, sont des fonctions entières dej^ dont les degrés formeront une suite décroissante, et la dernière fonction V^ est indépendante de y. Si aucune des divisions qu'on vient d'exécuter n'a introduit de diviseurs fonctions de x, en sorte' que Qi, Qa, . . . , Q,, soient des fonctions entières de x et de j-, ainsi queVs, V4, • • •> V;,, il est évident que les solutions du système (i) seront les mêmes que celles du système
dans lequel l'une des équations ne renferme que l'inconnue Xy et celle-ci sera l'équation finale qui résulte de rélimination de j entre les proposées.
Mais, le plus souvent, la recherche du plus grand commun diviseur des polynômes Vj et Vj introduit des dénominateurs fonctions de x; dans ce cas, les conclusions précédentes ne subsistent pas. Si, par exemple, la division de V| par Va introduit de tels dénominateurs,
N le quotient Qi sera de la forme =-» N et D étant des fonctions entières ; on aura
Vi=:V,-^-V„
et l'égalité V| =¥3 n'aura plus lieu nécessairement pour les valeurs de j: et j* qui annulent V2, parce que le dé-
aoo COURS d'algèbre supérieure.
Dominateur D peut alors se réduire aussi à zéro. Toutefois, on évitera les dénominateurs fonctions de x, si, avant de commencer la division, on multiplie le polynôme V| par une fonction entière X de x, convenablement choisie ; on aura alors
XVt=V,Qt4-V3.
Les solutions des équations Vi = o, V2 = o sont comprises parmi celles des équations Va =* o, V3 = o; mais ces dernières admettent en outre les solutions des équations X = o, V2 = o; donc, quand on remplacera le système (i) par le système (2), on ne supprimera aucune des véritables solutions, mais on pourra en introduire qui soient étrangères à la question.
Il était important d'éviter ces solutions étrangères introduites par la méthode du plus grand commun diviseur. Labatie a fait connaître en 1882 un théorème que nous allons exposer et qui remplit cet objet de la manière la plus heureuse.
Théorème de Labatie.
93. Soient V| et V2 deux fonctions entières de x et de y qui n^ ont pas de diviseur commun et qui ne renferment aucun facteur indépendant de y; ordonnons V| ef V2 par rapport à y et opérons sur ces polynômes comme s'il était question de chercher leur plus grand commun diviseur, en ajant soin : i^ de multiplier cliaque dividende par une fonction entière de x, choisie de manière à éviter les dénominateurs fonctions de cette inconnue; 2? de débarrasser chaque reste des facteurs indépendants de y qu'il peut avoir, avant de le prendre pour diviseur.
Soient M,, £^2» " • t Un les multiplicateurs ainsi em-
SECTIOIf I. CHAPITRE IV. 20I
plojrés, Qi, Qa, . . . , Q„ les quotients obtenus dans les divisions successives, ei Vs i^i , V4 1^2, . . . , Vw+i Vn^\> ^n l^^ restes de ces divisions; le dernier reste Vn est indépendant dey, et y dans ceux qui le précèdent, p'o ^'2> • • • ? ^/i-i désignent des /acteurs Jonctions de x seule, de manière que V3, V4, . . . , Vn^.1 ne renferment aucun facteur indépendant dey.
Soient encore rf| le plus grand commun diviseur de
Ui et de Viy d^ celui de -V^ et de v^, d^ celui de -\-r^
et de v^j . . . , dn celui de -j^, ' ' ' ' ^ et de Vn*
Cela posé, on obtiendra toutes les solutions cornmunes des deux équations
sans aucune solution étrangère, en prenant les solutions de chacun des n systèmes
imïa
On a les égalités
«lV,=:V,Q,-hV3i't,
"/i— 1 ^n—l ^^ V„ Qrt i -h V;,4.i t'n— il
qui seront toutes comprises dans la suivante :
«j* V,4 = Vjt^.! Qjfc -4- Vj^^j Pji,
si l'on attribue à fx toutes les valeurs i , 2, . . . , /i el que Ton prenne V„^2 égale à Tunité.
2oa COURS d'algèbre supérieure.
Les multiplicateurs u^ peuvent être choisis de manière que u^ et i^^ n'aient aucun diviseur commun; par exemple, si le plus grand commun diviseur dt de Uj et de j^i ne se réduit pas à l'unité, le produit Vj Qi sera divisible par rf|, d'après la première des égalités (3), et ce produit s'annulera si l'on prend pour x l'une des racines de l'équation ci, = o; mais le polynôme Vj ne peut être nul, puisqu'il n'a aucun diviseur indépendant dejr; donc il faut que Qi s'annule, et en conséquence Qi est divisible par df , quel que soitj^. Il résulte de là qu'au lieu
du multiplicateur Uf on aurait pu choisir -r^ ; dans les applications du théorème de Labatie, il conviendra toujours d'adopter les multiplicateurs les plus simples ; cependant la démonstration que nous allons présenter ne suppose point que l'on ait pris cette précaution.
Si, entre les |:x — i premières des égalités (3), on élimine Va, Vs, . . ., Vp,, il est évident que le produit Wi U2 . . . "^1 V| se trouvera exprimé par la somme des polynômes V^, V^,, multipliés chacun par une fonction entière, et il est facile de voir que, si l'on divise par df rfa . . . i/^i l'égalité ainsi obtenue, elle prendra la forme
G^, et Gj,, désignant des fonctions entières. D'abord, pour/jL= 2, celte formule devient
et elle coïncidera avec la première des égalités (3), si l'on divise celle-ci par d^ et que Ton pose
(5) Go = i, G. = J;;
SECTION l. — CHAPITKE IV. ao3
cette valeur de G| est entière, car, ainsi que nous l'avons montré plus haut, Qi est divisible par rf|. D'après cela, pour établir la formule (4), il suffit de montrer que, si elle a lieu pour une valeur de fi, elle subsiste encore pour la même valeur augmentée de i. A cet effet, multiplions
la formule (4) par y et remplaçons ensuite Uj^Vj^ par sa
valeur tirée des égalités (3), savoir
si l'on pose, pour abréger,
(6) G^ =r ^y^^- -+- ^L'1»L*V zl1 ,
il viendra
** r/^ fi^id^
par hypothèse, Gj»i est une fonction entière; donc, à cause de la précédente égalité, le produit G,^ V,^^., est pareillement une fonction entière, ce qui exige que G^le soit aussi, puisque V,,^, n'a pas de facteurs indépendants de^. La formule précédente se déduit de la formule (4) en remplaçant ^i par|tx-H i : donc notre assertion se trouve justifiée. En même temps, on voit que les fonctions G2, G3,. . . serontdonnéessuccessivementpar la formule (6), en partant des valeurs connues de Gq et de G|.
Le polynôme Va est lié aux fonctions V^ et V^^.j par une relation analogue à la formule (4)* On a effectivement
H^-1 et H,^2 désignant des fonctions entières. Cette
ao4 COURS d'algèbre supérieure.
formule se déduit de la formule (4) en changeant dans celle-ci V| en Va et en remplaçant la lettre G par H; donc le raisonnement qui a servi pour établir la formule (4) prouve que, si notre nouvelle assertion s'applique à une valeur de fx, elle subsiste pour la même valeur augmentée de i. Le même raisonnement montre encore que Ton a
Or la formule (7) se réduit à une identité, pour fx = 2, si Ton fait
donc elle est générale, et en partant des valeurs (9) de Ho et de H|, la formule (8) déterminera toutes les fonctions entières H^^.
En retranchant les égalités (6) et (8) Tune de l'autre, après les avoir multipliées respectivement par H^^j cl Gp^i, on obtient
G^iH,i, — H^ Gj*i = — - — — ( G^i Hj^j — Hji^i G^^-, ) ;
remplaçons |tx successivement par 2, 3, . . . , fi et multiplions entre elles lesfx — i égalités résultantes, il viendra
G.I... - EI,G.. = ( - 0- (G.H. - H.Go) ^jj^^^ ^^^ ou, à cause des formules (5) et (9), (10) G,lI^,-H,G^,(-iK--^-^.^^^^— ^^.
Enfm, si Ton retranche les formules (4) et (7) Tune de l'autre, après avoir multiplié la première par H^i
SECTION I. — CHAPITRE IV. ao5
et la seconde par G,^i, il viendra
— — ( Cr,fc| Hn ï G|i j 11(4-1 ; "|i-*-i "1 5 et, ayant égard à la formule (lo), on aura simplement
(.1) IV,V.-G,,V,:z.(-.)^-i-^...-pV,^,;
en particulier pour (x = w -+- i , on a
Les formules (4)> (7)» (n) et (12), que nous venons de tirer des égalités (3), fournissent immédiatement la démonstration du théorème de Labatie.
En effet, les fonctions J J " J~^ et -— * n'ayant au-
cun diviseur commun, les formules (4) et (7) montrent que les valeurs de x et de j qui annulent V^^ et
-j-^ annulent nécessairement V| et V^; donc, en pre-
mier lieu, toutes les solutions des dwers systèmes (2) sont des solutions des équations (i).
En second lieu, si des valeurs simultanées de x et Aey annulent V| et Vj, la valeur de x annulera, d'après la
formule (12), Tune au moins des fonctions —? — » ...,—. ^ dx d^ d^
Si la première de ces fonctions s'annule, les valeurs de x et de j^ que nous considérons seront des solutions du premier système (2); supposons généralement que
■^ soit la première fonction qui s'annule; alors la ford^
mule (11) montre que Vj^-i doit s'annuler, et en consé-
ao(5 COURS d'algèbre supérieure.
quence les valeurs de a: et de ^ qui, par hypothèse, satisfont aux équations (i), satisferont également à celui des systèmes (2) qui occupe le /x**"* rang. Donc : toutes Us solutions des équations (i) satisfont à l'un au moins des systèmes (2), ce qui achève la démonstration du théorème énoncé.
Remarques. — Le théorème de Labatie donne les diverses solutions des équations proposées, avec le degré de multiplicité qui leur convient; mais cette proposition nouvelle ne me parait pas avoir une importance assez grande pour que je m'arrête à en présenter la démonstration.
94. Le théorème qui précède se rapporte exclusivement aux solutions finies et déterçiinées des équations proposées. Pour avoir les systèmes de solutions déterminées dans lesquelles la valeur de j est infinie, il suflit d'ordonner les équations par rapport aux puissances décroissantes de y, et de chercher le plus grand commun diviseur entre les coefficients du premier terme de Tune et de Tautre équation. On égalera ce plus grand conmiuo diviseur à zéro, et les racines de l'équation obtenue seront les valeurs cherchées de x.
On procédera d'une manière semblable pour trouver les solutions dans lesquelles la valeur de x est infinie.
Application de l'élimination à la transformation des
équations.
95. Le problème que l'on a en vue, dans la transformation des équations, peut être énoncé de la manière suivante :
Etant donnée une équation f{z) = o du degré m, dont les racines sont représentées par z ^ , z^, . . • , Zmyfor-
mer une équation F (u) = o dont chaque racine u s'ex^ prime par une fonction rationnelle donnée ^[z^jZ^y.yZ^ de (i racines de la proposée.
Il est évident que la solution de ce problème s'obtiendra en éliminant les [i quantités z^, Z2y > > > ,z^^ entre lesjuL + 1 équations
/(2l)=0, /(z,)r=0, ..., /{Zy,)=zO, U =:y (Zj, »,, . . . , Z^).
En traitant la question à ce point de vue, chacune des racines Zt, z^j . . » , z^ est considérée comme ayant m valeurs différentes, et, par suite, u doit avoir en général m^ valeurs distinctes; Téquation finale en u sera donc du degré ni^. Il en résulte que, si Ton s'impose la condition que les quantités z^j z^j > • > y z^ soient distinctes, sauf le cas où la proposée aurait des racines égales, on obtiendra une transformée qui sera compliquée de solu- . tions étrangères à la question. On peut cependant, dans chaque cas, diriger le calcul de l'élimination de manière à éviter ces solutions étrangères, mais le plus souvent il est préférable de résoudre le problème de la transformation par une autre méthode qui sera exposée dans la Section II. Nous nous bornerons ici à présenter deux exemples.
96. Problème I. — Etant donnée une équation f[z) = odu degré m, former une équation F (m) = o dont les racines soient les sommes prises deux à deux des racines de la première équation.
Désignons par z et par Z| une racine quelconque de réquationy(z) = o. D'après ce qui a été dit plus haut, l'équation en u sera le résultat de l'élimination de z et Z| entre
2o8 COURS d'algèbre SUPÉRIEURE.
OU le résultat de rélimination de z entre les deux
Mais ce système peut lui-même être remplacé par le suivant,
dans lequel la deuxième équation a pour premier membre le produit de deux fonctions entières, savoir
et u — iz.
Il s'ensuit que Téqualion finale en u, relative aux deux équationsqui précèdent, sera le produit des deux équations finales qui se rapportent respectivement aux deux systèmes
et
L'équation qui résulte de l'élimination de u entre les équations de ce dernier système est
et elle a pour racines les doubles z -f-z, Z| -f- Z|, • . . des racines de l'équation proposée.
Comme on a
on voit que l'équation demandée s'obtiendra par rélimination de u entre les deux équations
(3)/(.)=o,/'(z)+îi^V'i^)-^...+ ^^;-|-^/"W=o;
SECTION I. CHAPITHE IV. 209
quant au degré de cette équation, on voit a priori qu'il doit élre égal au nombre des combinaisons de m choses
deux à deux, c'est-à-dire égal à — -•
S'il s'agit de Téquation du deuxième degré
• /(z) =:z»+/>sH- ^ =0,
on aura
La deuxième des équations (3) se réduit à
et, comme elle ne renferme pas z, elle n'est autre que l'équation demandée ; ce résultat est évident.
Dans le cas du troisième degré, la méthode générale est susceptible de simplification; car, soit l'équation
f[z) =:^*-h^z'-t-<73-4-r=ro,
et désignons par z, z^j z^ les trois racines. Si l'on fait Z\ -h ^2 = "> on aura z = — u — py et, par suite,
celle équation est précisément la transformée demandée.
97.' Problème IL — Etant donnée une équation f[z)=^odu degré m^ former une équation F(w) = o, dont les racines soient les différences deux à deux des racines de la proposée.
Désignons comme précédemment par z et par z^ une racine quelconque de l'équation y (z) = o; l'équation en H s'obtiendra en éliminant z et z^ entre
ou, en éliminant z entre les deux
/(«) = o, /(tt-4-z)=o.
S., Âlg. Slip, — !.. x4
2 70 COURS D*ALGÈBRE SUPéRIBURE*
Ce système peut être remplacé par le suivant :
/(z)=o. /(«4-z)-/(z) = o, lequel se décompose en deux autres , savoir :
Les systèmes de solutions du système (s) sont formés d^une quelconque des racines z de la proposée et d'une valeur nulle de u\ quant aux équations (i), elles peuvent être écrites sous la forme
elles donneront pour équation finale la transformée F (m) = o que Ton cherche, et celle-ci n'aura de racines nulles que si la proposée a des racines égales.
On reconnaît a priori que le degré de Téquation demandée est égal au nombre des arrangements de m choses deux à deux, c'est-à-dire égal à m [m — i) ; en outre, il est évident que les m[m — i) racines de cette équation formeront des couples tels que 2 — z^ =1*1, Z| — z-=. — u^ de deux racines égales et de signes contraires, en sorte que
son premier membre sera le produit de — facteurs
de la forme a* — w|, et il ne renfermera que des puissances paires de m. L'équation F (i/) = o s'abaissera donc
au degré — en posant a* = i/; l'équation en 1/ est
dite V équation aux carrés des différences des racines de la proposée.
SECTION I. CHÀPITKE IV. 211
Exemple. — Appliquons ce qui précède à Téquation du troisième degré
p Si Ton remplace z par z — x » et que Ton pose .( n® 62)
P« ^ aP» PQ ^
cette équation se réduira à
Les racines de Téquation (2) sont égales à celles de Téquation (i) augmentées d^une même quantité; donc, pour Tune et l'autre équation, l'équation aux différences est la même. On obtiendra celle-ci en éliminant z entre l'équation ( 2 ) et l'équation
(3) 3z* + Zuz 4- («' -\-p) = c.
Le moyen le plus simple de faire cette élimination consiste à retrancher les équations ( 2) et (3) l'une de l'autre après avoir multiplié la première par 3 et la seconde par Zy ce. qui donne
(4) 3uz*-\-[u^ — 2/?)z — 3^ = 0;
à tirer des équations (3) et (4) les valeurs de z et z^ savoir :
u^ -h pu -\- 3q , M* — pu^ ■+- 97// — 2/>'
^"^ 2 (11» -4-/?) ~~ 6(tt»-i-/?) '
et à égaler la seconde expression au carré de la première. Posant ensuite
on obtiendra l'équation aux carrés des différences demandée, qui est
i^ -h 6pv^ — 3/?'^ -f- (4/^' -+- 27^*) = o.
212 COCES d'aLCÈBEE SUPÉEIErEE.
R FM ARQUE. — SoiiJ^[z) UDC foDctioD entière de r, à
coeiBcients réels ; si l'on pose z = x -h^' ^ — i el que Ton fasse
9 et <p étant des fonctions réelles, on aura aussi
(^ela étant, si Ton considère les équations simultanées
et que Ton élimine successivement entre elles les inconnues X et^y il est évident que Téquation finale en x ne sera autre chose que Téquation aux demi-sommes des racines de la proposée, tandis que Téquation finale enj- sera
Téquation aux quotients par 2 y/ — i des différences des mêmes racines. Effectivement, les deux équations qui précèdent équivalent aux deux suivantes :
/(■^-i-rv'— 0 = 0» /(* — rv — 0 = 0,
qui expriment que x-hjy^ — i et x — j- ^ — i sont des racines def[z) = o.
Sur la recherche des dwiseurs des fonctions entières
d^une variable.
98. Toute fonction entière /*(-?) d'une variable z est le produit de facteurs linéaires de la forme z — Z| ; la recherche de ces facteurs linéaires équivaut à la résolution de l'équation y(z) = o, car la condition pour que z — Z| soit un diviseur de/ (z) est f[Zi) = o. Si la foncliony(5) est du degré m, elle admettra évidemment autant de diviseurs du degré /ui que Ton peut former de
SECTION I. CHAPITRE IV. 2l3
combinaisons avec les m facteurs linéaires pris jul à /i; ce nombre de combinaisons est égal à
m (m — i)...(w — fA-4-i) 31= ^ = •
Pour trouver les diviseurs dont il s'agit, on effectuera la division de la fonctiony(z) par un polynôme cy (z) du degré fji, dans lequel les coeffîcients soient indéterminés, et Ton égalera à zéro le reste du degré ^^. — i que Ton aura obtenu; on formera ainsi fx équations qui serviront à déterminer les yi coefficients du polynôme 9(2). Si Ton veut avoir Téquation de laquelle dépend l'un de ses coeffîcientSy il faudra procéder à l'élimination de tous les autres, et l'on trouvera une équation finale dont le degré devra être égal à M. A chacune des M racines de cette équation finale correspondra un diviseur de degré /x du polynômey(r), en sorte que les valeurs des coefficients éliminés devront être déterminées complètement par le moyen des équations de condition.
Lorsqu'on a /i = i ou fji= m — i , le nombre M est égal à m; mais dans tout autre cas on a M^w, en sorte qu'en général la recherche des diviseurs d'un degré différent de I ou de m — i dépend d'une équation dont le degré est supérieur à celui de la proposée.
Au lieu de procéder comme nous venons de l'indiquer, on peut écrire que le polynôme Aonné f[z) est le produit de deux polynômes ^{z), ^{z) des degrés ^ et m — [l respectivement, etdans lesquels tous les coefficients soient indéterminés; on formera ainsi m équations de condition entre les m coefficients indéterminés, et l'on obtiendra ensuite, par l'élimination, l'équation de laquelle dépend l'un des coefficients du polynôme ^{z].
Soit le diviseur
ç(2) = zi*4- ajZ»*-* H- a, si*-* -H ... -h a,fc i z -+-
ai 4 COURS d'algèbke supérieure.
il est évident que — «i est la somme de (a racines de Téquation y(z)= o; donc l'équation finale de laquelle dépend — ai coïncidera avec Téquation aux sommes des racines deJ'[z) = Oy prises fx à fx. Ainsi, en particulier, pour avoir Téquation aux sommes des racines deux à deux d'une équationy(z) = o, il suffira d'exprimer que z^ — uz-^-q est un diviseur de/{z); on trouvera ainsi deux équations de condition entre u et ^, et par l'élimi- ' nation de q on conclura l'équation demandée.
99. Bien que la recherche des diviseurs du deuxième degré d'un polynôme y (z) dépende toujours d'une équation de degré supérieur au degré dey(r), il existe un cas remarquable dans lequel cette équation s'abaisse et devient ainsi plus facile à résoudre que l'équation /(^r) = o. Le cas dont je parle est celui où le polynôme /(r) est du quatrième degré. . .
Soit
/( z) = z* -f- Pa» -f- Q2* -4- R« 4- S,
et désignons par
un diviseur de/[z), La quantité p dépendra d'une équation du sixième degré; mais je dis que, si l'on fait disparaître le deuxième terme de celte équation, le quatrième et le sixième disparaîtront aussi, en sorte que l'équation transformée ne renfermera que des puissances paires de la nouvelle inconnue /?', et qu'elle s'abaissera au troisième degré en posant p'^ = i/.
En effet, désignons par Z|, z^, z^, z^ les quatre racines de l'équation y (z) = o. Les six racines de l'équation eap seront
— «1 — Zj, Zj — Zj, Zj — Z4,
— Zj Z|, — Zji — Z4, Z3 — Z4,
ai5
et leur somme sera égale à — 3(zi -hZ2-hZi-\'Z^)y c'està-dire égale à-f-3P. Pour faire disparaître le terme du cinquième degré dans Téquation en p^ il faut donc poser
-F 4-/7= - (Z, -t-Zj +Z3 -f- Z4) -h/?.
Les six valeurs de p' seront donc
— — Z| — f" Zj — " Zj "t" z^
— — Zi — f" Z» -f" Z<i — Zi
-f~ Zj -^ Z] *"~ Zj "t~ z^
-f- Zj — Zj -f- Z3 — Z4
Z2 Zj Z4
et Ton voit que ces valeurs sont égales deux à deux et de signes contraires, comme nous Tavions annoncé.
Ce qui précède conduit à une conséquence importante, ainsi qu'on le verra dans la suite de cet Ouvrage.
Sur l'abaissement des équations.
100. Une équation y ( r: ) = o est susceptible d'abaissement lorsqu'elle ne renferme que des puissances de z dont l'exposant est divisible par un même nombre n; effectivement, si le degré est désigné par mn, l'équation
31 s COtlHS d'algèbre SUPÉRIEURC.
5*Alvàîssora au degré m en posant z" = .r ; nous avons vu ^jius^i comment on peut toujours abaisser le degré des ëqualions réciproques. Enfin on produira rabaissement U'uiio équation toutes les fois que Ton parviendra, par une voie quelconque, à décomposer son premier membre en doux facteurs. Cela arrivera, par exemple, si l'on sait que l'équation f[z)z=o a des racines communes avec uno autre équation F ( c ) = o, à moins qu'elle n'ait toutes :iOS racines communes avec celle-ci.
Nous sommes ici conduit à présenter une définition qui a une grande importance dans l'Algèbre.
Défin iTiON. — Une fonction entière f[ z) est dite irréductible lorsqu'elle n'admet aucun diviseur rationnel.
Une équation est dite irréductible quand son premier membre est une fonction irréductible.
Mais il nous reste à expliquer ici ce que nous entendons par dii^iseur rationnel, et en général par quantité rationnelle.
Si les coefficients de la fonction/(z) sont des nombres rationnels, un diviseur rationnel est simplement celui dans lequel tous les coefficients sont des nombres rationnels.
Pour embrasser tous les cas, supposons que les coefficients de f{z) soient des fonctions rationnelles de quantités quelconques y qu'on regarde comme connues; nous nommerons diviseur rationnel de f[z) tout diviseur, fonction entière de r, dont les coefficients sont des fonctions rationnelles des quantités connues. Généralement, toute fonction rationnelle des quantités connues sera dite une quantité rationnelle, Yy^casie cas d'une fonction dont les coefficients demeurent indéterminés, les quantités connues ne sont autre chose que les coefficients eux-mêmes.
SECTION I. CHAPÎTKE IV. ai7
La défînition qui précède s'étend d'elle-même à une fonction entière de plusieurs variables.
Il faut remarquer qu'une fonction entière ou une équation peut être réductible ou irréductible, suivant la nature des quantités regardées comme connues. Par exemple, Téquation z^ — 2 = 0 est irréductible, tant qu'on ne regarde comme quantités connues que les nombres rationnels; mais, si parmi ces quantités on fait figurer les racines carrées des nombres rationnels, l'équation se réduira, car son premier membre se décomposera dans
les deux facteurs z — ^a et z -f- ^2 .
Théorème. — Sif{z) = o est une équation irréductible, F(z) une fonction rationnelle, et que Inéquation F (z) = o admette une racine Zt de/{z) = Oy elle admettra aussi toutes les autres.
Soit, en effet,
<f et vj; désignant des fonctions entières; la racine Z| sera, par hypothèse, commune aux équations
et cela exige que le polynôme <f(z) soit divisible par f{z), car autrement il y aurait un diviseur commun à ces polynômes, et réquationy(3) = o ne serait pas irréductible. Soit donc
on aura
et, par conséquent, l'équation F [z) = o admettra toutes les racines AeJ[z) =. o.
11$ COl]RS D* ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
toi. Il est quelquefois possible d^abaisser une équalion iloiit deux racines sont liées entre elles par une rt'lalion donnée, et la voie de Télimination peut être employée à cet effet.
Soit effectivement
une équation du degré m, dontz, Z|, . . . , z^g^^ désignent les m racines, et supposons que Ton ait entre deux de ces racines la relation
dans laquelle ç désigne une fonction entière. On pourra éliminerai entre cette équation et l'équation
et Ton obtiendra ainsi Téquation finale en z,
Si l'équation proposée est irréductible, la fonction ¥ (z) sera divisible par ^(z) d'après le théorème du u° 100, et l'équation précédente ne sera d'aucun usage. Mais, si l'équation proposée est réductible, il pourra arriver que quelques-unes des racines de l'équation (i) n'appartiennent point à l'équation (2); dans ce cas, les polynômes y (z) et F (-s) auront un plus grand commun diviseur (p [z) différent de y( s), et l'on pourra en conséquence décomposer la fonction y(z) en deux facteurs, l'un et l'autre rationnels, dans le sens qui a été indiqué au numéro précédent.
Supposons, par exemple, que l'équation
ait deux racines z etz, dont la somme soit égale à une quantité donnée a. On cherchera le plus grand commun
diviseur fp [z) des polynômes f(z) et f(a — z), et Ton décomposera dinsi f(z) en deux facteurs. S'il n'y a que deux racines z et z^ qui soient liées par la relation z-hZi == a, le polynôme ^(r) sera évidemment du second degré; il sera d'un degré supérieur à a, s'il existe plusieurs couples de racines telles, que la somme des racines de chaque couple soit égale à a; enfin il sera du premier degré, si l'équation proposée a une racine égale à
- a, et qu'il n'existe point de couples de racines dont la
somme soit égale à a. Il peut arriver que la fonction /{z) soit irréductible; dans ce cas, l'équation proposée ne change pas quand on change z en a — z, et je dis qu'elle est susceptible d'abaissement. En effet, posons
et
on aura
donc l'équation transformée
ne changera pas par le changement de 2^ en — u. Si l'on supprime les racines nulles que cette équation peut avoir, elle ne renfermera plus que des puissances paires de u et on l'abaissera en posant u- = v.
Le cas d'une équation f{z) = o, dont deux racines sont liées par la relation 2^1 := a, donne lieu à une discussion toute semblable.
220 COURS d'algèbre SUPÉRIKURE.
Il ne sera pas inutile de présenlcr, en terminant, l'exemple d'une équation irréductible dont deux racines soient liées entre elles par une relation simple. L^équation
f[z) =rz' -l-z' — 2Z — I l=0,
qui a pour racines les doubles des cosinus des arcs — ?
— , __: , est dans ce cas ; z, z^ et z^ désignant les trois
racines, on a
et si Ton forme les expressions de y(zi), /(s*), on trouvera
Nous nous sommes borné au cas où l'on a une relation entre deux racines de l'équation proposée. Si l'on avait, entre /ut racines, fx étant >> 2, la relation
y (s, Zj, Z^y ... -, 2!j|,|) = O,
on pourrait éliminer jx — i racines en faisant intervenir [i — 1 des jx équations
et il en résulterait diverses équations finales qui auraient nécessairement des racines communes avec la proposée. Mais, comme dans le cas particulier que nous avons examiné précédemment, ces équations ne seront d'aucim usage si l'équation proposée est irréductible.
SECTIOIf I. CHAPITRE V. 221
