PROPRIÉTÉS DES RACINES DE UUNITÉ
Propriétés des racines de V équation binôme z'" = i . Des racines primitis^es et de leur nombre.
102. Nous compléterons la théorie générale contenue dans les deux Chapitres précédents, en exposant ici les propriétés des racines de Puni té, dont nous ferons un fréquent usage dans la suite de cet Ouvrage.
Théorème I. — Les racines communes à deux équa^ tiens binômes, telles que
sont également racines de l'équation
oii 0 désigne le plus grand commun diviseur des nombrcs m etn.
Supposons, en effet, que Ton ait à la fois
a'" = i et a'* = i;
soit m^ny et désignons par q le quotient, par r le reste de la division de m par /i, en sorte que m = nq-hr\ on aura
Mais, à cause de a" = i , on a aussi a"^ = i ; donc
D\)ii Ton conclut que, si r, r', r''', . . . , 0 sont les restes auxquels conduit la recherche du plus' grand commun diviseur des entiers m et n, on aura
et, par conséquent, toute racine commune, a, aux deux équations proposées, est aussi racine de
Il est évident d'ailleurs que, réciproquement, les racines de cette dernière équation appartiennent aux deux équations proposées.
On peut aussi démontrer le précédent théorème en déterminant le plus grand commun diviseur des binômes 2'" — ly z" — I ( n° 47 ) ; on reconnaît immédiatement que ce plus grand commun diviseur est z* — i .
Il résulte de là que, si m et n sont premiers entre eux, les deux équations
n'ont d'autre racine commune que l'unité, et que, si m est un nombre premier, l'équation
n'a de racine commune autre que l'unité avec aucune équation de même forme et de degré moindre. ^
Théorème II. — Si a désigne une racine quelconque de l'équation binôme
toute puissance de a sera aussi racine de la même équa--
tion.
L'équation
entraîne, en eflet,
ety par conséquent, tous les termes de la série
sont racines de Téquation proposée.
A cause de a*" =-: i , on a aussi
d^où il suit que la série précédente contient au plus, comme cela doit être, m quantités distinctes, savoir :
a, a', a', . . ., a'""*, a"* ou I.
Lorsque m est un nombre premier et que a n'est pas égal à l'unité, les m termes de la série précédente sont diflFérents; car si l'on avait, par exemple,
// et /ï-f- /l' étant inférieurs à m, on aurait, en divisant par a"'.
ce qui ne peut être, puisque l'équation z^=zi n'a aucune racine commune' autre que l'unité avec z" = i . Il en résulte cette proposition :
Théorème III. — Si m est un nombre premier, et que a soit une racine quelconque de l'équation
autre que l* unité, les m racines de cette équation seront représentées par
Cette proposition n'a plus lieu quand m est un nombre
224 covns d'algèbre supérieure.
composé y et qu'on prend pour a une racine quelconque de
mais elle aura lieu évidemment, d'après ce qui précède, si Ton prend pour a une racine qui n'appartienne en même temps à aucune équation z'* = i de degré n inférieur à m.
Cela posé, nous appellerons racines primitives de l'équation binôme
celles des racines de cette équation qui n'appartiennent à aucune équation de degré moindre et de même forme, telle que
Si m est premier, toute racine de z'"= i, autre que i, est une racine primitive; et, dans tous les cas, chaque racine primitive jouit de la propriété de pouvoir donner toutes les racines par ses diverses puissances.
i03. Nous allons démontrer actuellement qu'il existe des racines primitives pour toute équation binôme, de degré non premier, et nous déterminerons en même temps le nombre de ces racines.
Considérons d'abord le cas où le degré de l'équation binôme
est une puissance d'un nombre premier /?, et soit toute racine non primitive de l'équation doit appartenir à une équation telle que
OÙ B désigne un diviseur de p^ : mais tout diviseur de p^f autre que p^ lui-môme, doit diviser p^~'^ ; donc les racines de l'équation précédente, et, par suite, toutes les racines non primitives de la proposée, doivent appartenir à Téq nation
D'ailleurs toutes les racines de cette dernière appartiennent évidemment à la proposée: le nombre des racines non primitives de celle-ci est donc />>*""*, et, par conséquent, celui des racines primitives est
P'*- — p^^\ ou /'^ ( I )•) ou mil I •
Nous allons faire connaître la manière dont sont formées les racines primitives de Téquation
(1) z"^=J. ^ Soient 6| une racine quelconque de Téquation
€j une racine quelconque de
zP = Si, 63 une racine quelconque de
zp =z e„
et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on obtienne une dernière équation
dont nous désignerons par S^ une racine quelconque. Si roii fait
(2) a = 6| 6| . . . €^-.1 6ji,
S. — jiig. su p., 1. i5
226 COURS D^ ALGÈBRE 8I7PÉRIEDRE.
cette expression de a aura p^ valeurs, puisque 6| a/? valeurs, qu'à chacune d'elles correspondent p valeurs de 629 etc., et elle donnera précisément les p^ racines de Téqualion (i).
On voit d'abord que les valeurs de a satisfont à l'équation (i), car on a
et par suite,
aP^-l.
Il suffit donc de démontrer que les p^ valeurs de a sont distinctes. Supposons que deux de ces valeurs soient égales entre elles, que Ton ait, par exemple,
(3) 61 Sjêj . . . 6p^j€ji=: 6162^ . . .6j^j6j^;
en élevant cette égalité à la puissance p, et se orappelant que
on aura
(5) 61 6, 6j . . . 6pi i = 6, 6, 6, . . .6^„j
Des égalités (3) et (5) on tire
en opérant sur l'égalité (5) comme nous venons de faire sur l'égalité (3), on obtiendra
■ et, en continuant ainsi, on arrivera à cette conséquence :
que l'égalité (3) ne peut exister à moins que les quantités
£« , êa, . . . , Sj^ ne soient respectivement égales aux quan-
SECTION 1. CHAPITEE V. 227
tîtés ?, , 6'j , . . . , S*^ . D'où il suit que la formule ( a ) donnera effectivement toutes les racines de l'équation (i).
Cherchons maintenant quelles sont celles de ces racines qui sont primitives. Comme nous l'avons déjà remarqué, les racines non primitives de l'équation (i) sont celles qui satisfont à l'équation
Supposons donc que l'on ait
en supprimant les facteurs égaux à l'unité, cette équation se réduit à
(6) èf-^i.
Mais des égalités (4) on déduit
par suite, l'équation (6) exige que
Par où l'on voit que la valeur de « donnée par la formule ( 2 ) sera une racine primitive ou non primitive de l'équation (i), suivant que S^ sera différent de i ou égal à I.
De ce qui précède on peut conclure la proposition suivante :
Théorème IV, — La résolution de V équation binôme z'^ = iy dont le degré m est une puissance /ut d'un nombre premier p, se ramène à déterminer une racine 6| autre que l'unité de V équation z^=i, une racine 6a quelconque de l'équation z^= 6|, puis une racine quelconque 03 de zP = 02 j etc.
228 COURS d'aLGÈBRK SUPÉRIEURE.
Car on aura, par ce moyen, une racine primitive de Téquation proposée, laquelle donnera toutes les autres par ses diverses puissances.
i04. Considérons maintenant le cas général où le degré m de l'équation binôme
est un nombre composé quelconque; décomposons ce nombre en ses facteurs premiers, et soit
p^q, ... , r désignant des nombres premiers quelconques inégaux.
Écrivons les équations
désignons par 6 une racine quelconque de la première, par y une racine quelconque de la seconde, etc., par i une racine quelconque de la dernière, et posons
Cette expression de a a m valeurs, puisque 6, y, . . . , î ont respectivement />•*, </\ . . . , r^ valeurs; je dis que ce sont précisément les m racines de Téquation (1).
Il est d'abord évident que la précédente valeur de a siUisfait à Téquation (i), car on a
et, par suilc,
d'oî
