OC I

Il reste à prouver que les m valeurs de a sont différentes.

Supposons que deux de ces valeurs soient égales, que Ton ait, par exemple,

comme les quantités S', /, . . . , ô'ne sont pas toutes égales respectivement à &',*/', . .., o", admettons que 6' diffère de o" y et élevons Tégalité précédente à la puissance q", . .7'^, on aura

et, en supprimant les facteurs égaux à i,

mais S' et ê'^ étant deux racines distinctes de l'équation

zP'^ ■= I , elles peuvent s'exprimer par deux puissances d'une même racine primitive 6; posons donc

n' et n étant </>**• Alors la dernière égalité deviendra

OU, simplement,

(roù il suit que € est une racine commune aux deux équations

et qu'elle satisfait, en conséquence, à Téquation

0 désignant le plus grand commun diviseur à /?•* et ucf''.,,r^. Mais ce plus grand commun diviseur 0 est, au plus, égal à //, et, par suite, il est inférieur à/;"*; donc S ne serait pas, comme nous Pavons supposé, une racine

primitive de zP^ = i .

a3o COURS d'algèbre supérieure.

On voit par là que la formule (3) donnera bîen les /w racines de Téquation (i).

Cela posé, je dis que, si 6, y, . . . , J désignent des racines primitives de celles des équations (2) auxquelles elles appartiennent respectivement, la valeur de a donnée par la formule (3) sera une racine primitive de Téquation (i).

Si, en effet, le contraire a lieu, a satisfera à une équation

dont le degré Q sera un diviseur de m, et il y aura au moins un facteur premier, parmi ceux de m, qui entrera dans Q un moins grand nombre de fois que dans m ; supposons que le facteur premier p soit dans ce cas, 6 divisera p^^q"*. . .7'^, et, par suite, a sera racine de Féquation

on aura donc

Mais

donc

d'où il suit que 6 est racine de l'équation (4); or elle Test aussi de la première des équations ( 2 ) ; d'ailleurs, le plus grand commun diviseur entre les degrés de ces deux équations est />**"*; donc 6 est racine de l'équation

mais cela est contre l'hypothèse, puisque 6 représente

une racine primitive de la première des équations (2).

Il résulte de là que, si l'on ne prend pour S, y, . . ., (î

que des racines primitives de la première, de la se-

conde^ etc., de la dernière des équations (a), la formule (3) ne donnera que des racines primitives pour l'équation (i). Il est d'ailleurs facile de voir que, si 6, ou y, . . . , ou 5 n'est pas une racine primitive de celle des équations (2) à laquelle elle appartient, la valeur de a donnée par la formule (3) ne sera pas non plus une racine primitive de l'équation (i). Supposons, en effet, que 6 ne soit pas une racine primitive de zP^ = i ; on aura alors

et, par suite,

ce qui montre que a ou 6y . . . ^ satisfait à une équation binôme de degré inférieur à m.

On peut conclure de ce qui précède le nombre des racines primitives de l'équation (i). En effet, le nombre des racines primitives S est, comme on l'a vu précédemment,

p^ li j; celui des racines primitives y est de même

^•( I U etc.; donc le nombre des racines primitives

Cf. de l'équation (i) est

On peut aussi énoncer la proposition suivante :

Tbéouème V. — La résolution de l'équation binôme r'" = I , où m est un nombre composé quelconque, se ramène à la résolution des équations de même for me.

23a COURS D^LGÈBRE SUPÉRIEURE.

ei qui ont respectivement pour degrés les nombres pre^ miers ou puissances de nombres premiers qui dii^isent le nombre m.

103. L'expression du nombre des racines primitives de ré(iuationc'"=i, que nous avons obtenue, est précisément celle du nombre cf (///), qui indique combien il y a de nombres premiers à m et non supérieurs à m. Au reste, quand on admet Texistence d'une racine primitive a, il est facile d'établir que le nombre total de ces racines est rf (m).

Soit e un entier inférieur à m; si e est premier à /îî, a* sera racine primitive de z'^= i ; en effet, si le contraire avait lieu, on aurait

(a^)«.— I, ou a"* = l,

n étant <[ m, ce qui exige que — soit entier, puisque a est

racine primitive ; cette conséquence est inadmissible, car e est premier à m, et n est inférieur au même nombre.

Si e et m ont un diviseur commun 0, -- sera un mul-

tiple de ni, et l'on aura

donc a^ sera racine de l'équation z^ = i , et, par suite, elle n'est pas racine primitive de la proposée.

lOG. Soient ce, o, y, . . . , co les /« racines de l'équation

Si /• désigne une racine primitive de la même équation, les mêmes racines pourront être représentées par

r, T^, /-^ . . . , /^'•"\ /^' ou i;

on aura donc, en représentant par fx un nombre positif

quelconque,

Le second membre de cette formule est nul si fi. n'est pas divisible par m; on a donc, dans cette hypothèse,

si au contraire /x est divisible par m, chacune des puissances a**, 6**, ..., &)•* est égale à i, et, par suite,

a«* -i- et' -i- . . .-f-wf*r=/7I.

Ainsi Ton aura, en particulier,

a' H- 6' -+- 7' -f- -^ù}^ zzi: o.

Rappelons enfin que les racines de Téquation z"^= i peuvent être exprimées par le moyen des fonctions circulaires. Effective ment, si Ton désigne par 2 7r la circonférence dont le rayon est i , et que Ton fasse

les m racines de l'équation proposée seront données par la formule

où il suffira d'attribuer à fi m valeurs entières consécutives.

a34 COURS d'algèiske supérieure.