Soit l'équation

si m est un nombre impair 2yL-hi^ et que Ton divise Téquation (i) par z — i, il viendra

on pourra transformer cette équation (2) (n*^ 61) en

une autre du degré ji, en la divisant par z^, et en posant

ensuite

ZH =^ x;

Téquation (2), divisée par z^, devient

V^ -h V^i -h . . . 4- Vj -4- Vi -h I = o, en faisant, comme au n^ 61 ,

nous représenterons par U^ son premier membre, en sorte que l'on aura

( 3 ) U^ = V^ -h Vp^ j -*- . . . -h V, -4- V, -h I .

236 COURS d'algèbre SUPéRIEURB.

Lorsque le degré m est un nombre pair 2/1, l'équation (i) se décompose dans les deux suivantes :

la seconde se ramène à la première en changeant z en — z, lorsque n est impair; mais, si n est un nombre pair 2/x, on pourra lui donner la forme

et, en posant z -j — = x,- elle deviendra V^ = o.

Ainsi Téquation (i) peut toujours se ramener à des

équations telles que

dont les premiers membres sont des fonctions entières de X du degré fx.

Chacune de ces équations a ses [j, racines réelles. En effet, les modules des racines des équations

sont égauxàTunité; soitdonc cos(p H- i siny l'expression générale des racines de Tune de ces équations, les racines de l'équation (4) correspondante seront

(cos<p -h /siny ) -f- (cos<p -f- /sin<p]"** = 2C0S7«

On a vu au n"61 que les trois fonctions V^, V«.|, V/i 2 sont liées par la relation

(5) V„ = xV„, -^ V„,,

qui peut servir à former successivement les polynômes V2, V3, . . . , en partant des valeurs

(6) Vo=2, \\=za:.

II existe une relation pareille entre les trois fonctions U,/, L«.i, Urt«2» ^^ effet, si Ton îijoute les égalités

il viendra, en ayant égard aux formules (6),

(7) Vn--^.TVn^^-Vn-l,

et cette formule permettra dé calculer successivement les polynômes Uj, U3, . . . , en parlant des valeurs