Si Ton pose

(l) 3rr: COS^ H- /sincp,

on aura

(2; ar^TT 3-f- - = 2COSy,

(3) V;, — z^-î-l r=2COS/îy;

changeons cp en cpi, et désignons par x^*^y Vj/^ ce que deviennent alors x et V«, on aura

,(1) sm// sm/i

sin ^ sm -î^

Si Ton fait tendre cpj vers ç, le second membre de cette

formule tendra vers la limite n-.—^i d'ailleurs x^*^ — x

sin<p '

tendant vers zéro, le premier membre a pour limite la

a38 cou lis d'algèbre supérieure.

dérivée V'« du polynôme V^ ; on a donc

Sî l'on désigne de même par V^*^ ce que devient V'„ quand on change cp en f ^ ^n aura

siD/i«i sin/if

V;^*^ — V;__ n "siiT^ "^ ""sinV\

jp(i) — jc 2sin^isinf cos<pi — cos^ '

le second membre de cette formule est égal à l'expression

• ?i — ? • f I + ? sm — sm

sin(/i-i)^*^^^ sin(/i-hi)?l-^-^

sin sm -ï^ -

multipliée par -y--. : — ? et, quand o, tend vers la

limite cf, il tend vers la limite

w /i -f- I ) sin (/î — I ) y — /i (/i — î ) sin (/ï -f- 1 ) 9

4sin'f

n cosf sin/tq) /i'

2 sm'f sm^ 2siu'7 ^

si donc on désigne par \\ la deuxième dérivée du polj-

nôme V„, on aura

, ^, „. n coso sinw© n*

(5 V„=:--^— '-^ : r-— COS/îf.

^ ' 2 sin''^ sinq) 2sm*y

sin n 9 Si l'on remplace, dans cette formule (5), cosTiy et-^^ —

par les valeurs tirées des formules (3) et (4), qu'on mette

ensuite -au lieu de cos''^, il viendra

cette équation permet de former facilement l'expression générale du polynôme V/i.

Effectivement, on reconnaît immédiatement, par les formules ( 5 ) et (6) du n° 108, que V;, est un polynôme du degré n dont le premier terme a pour coefficient Tunité, et qui ne renferme que des puissances de x dont les exposants sont pairs ou impairs, suivant que n est pair ou impair. On peut donc poser

le premier coefficient Aq étant égal à i . On tire de là

\'„=z /lAo .r"-! -{-...-+- (/i — 2/?) ApX'^-^P-^ H- . . . ,

Vj,=r«(/î— l)Ao.r''-*-+-... + (/î— 2/?-f-2)(/î— 2/?-+-l)Ap iar''-*'' -H (rt — 2/?)(/l— 2p~ l) ApX'»-*/'-*4-. ..,

et en substituant dans l'équation (6) les valeurs de Y„, V^ et V* , le coefficient de x'^^^p sera

Ap — 4 (/i — 2/7-h2) (n — ip-h i)Ap«,

— ^P{" —P] Ap — 4 {'z — 2/> 4- 2) {/i — 2/> -4- l) Ap-, ;

9^o couBS d'algèbre supérieube.

mais iY ooollîcient doit être nul : on a donc

'' n — ?7? -4- o \\rr — o.p -r ï ] . •V ^ - - y(^~) ^A>-«-

Colle relation conduit aisément à l'expression générale de A^; car, le coefficient Ao de x" étant égal à i, on a

in — 'y.p -^ '>.\{n — ip -\-\\ p\n—p)

; // — ip H 4 ) f 'ï — 2/> -+- 3 )

^P ' t. in r»\ ^p—\y

^P-i— /„ - . W,>— r,"-!-.^ Ay,„

(«-'2lf/i-3) ^

En multipliant toutes ces égalités et supprimant les facteurs communs, il vient

la valeur de V„ est donc

. fi /t —p— i[ff -p—'A).. .in—'?p-h7,){n — 2/?-+-l)

^ — II'"—' . . JC^" ' ••

(3n peut obtenir de diverses manières l'expression du polynôme V„ que nous venons de former; la mélhode que nous avons adoptée ici a l'avantage de pouvoir être employée utilement dans un assez grand nombre de questions analogues.

On tire de la formule (7)

(8) i v; ^x- - " - ^x«-» + fi?.-3) f"±iJ,,. ....

SECTION I. CHAPITRE V. S/fl

et si Ton remplace dans les formules (7) et [S) x, V,, y'^ par les valeurs tirées des formules (2), (3), (4)> on

obtiendra les valeurs de cos/icp et de -. — exprimées par

des fonctions entières de cosç, savoir :

COS/tf = 2**— 'cOS^y — 2'^'/îCOS'*~'y-|-2'*~» COS'»-*<p— ...

[. ,n{n — p — ijl/ï — p — 2)...(/i — 20-Hi) „ ,„ -^ (— ly^n^tp-i ^: 1 /!___ ^ — ! C ' cos''-»/'y-h.. I • 2 • (3 . • «^7

nin — p — i)(/ï — p — 2) ... f/i — 2/?-t-i)

Sm/79 ^ , „ , „, W — 2 „.

siny ^ I

o) / -4- a**-* ^ ces"-*® — . . .

. A^ — p — iK" — p — 2)...(/7 — 9.p] ^ .^ ,

-T- I —iJ'u^-^P-^ ^ '- ' > 4 — ^ Î-' cos^-'P-'ipH-....

Elniin, en changeant y en cf, dans les formules (9)

et (10), on en obtiendra deux autres que feront connaître

en fonction rationnelle de sincp, cos/zipet si n est

^ ^ cosy

pair, — — et smno si n est impair.

L'expression du polynôme V„ conduit facilement à celle de U/i. Effectivement, nous avons trouvé

z en effectuant la division, il vient

S. — jélff. sup., I. iG

s P COURS D ALGEBRE SUPÉRIEURE.

on aura aussi, en changeant /i en /i-|- i,

- — V„^^ = «^ -h z«-« -f- z«-* -»-...-+- ~ -+- \ , eu en ajoutant,

c'est-à-dire

on aura donc, parla formule (8),

[ , jP [^JT ^T p-iK..(/i-ap-^i)^„ ; . . . , )P ("-/>-■)(" -p-2) ..(/»-a/>) ^,^, ^

Démonstration d'une propriété remarquable de /'e^-

quation = o, oii p désigne un nombre pre*

mier.