Lorsque p est un nombre premier, réquation
est irréductible. Cette importante propriété est utile
dans un grand nombre de questions^ et nous nous proposons de Tétablir ici. La démonstration que nous allons présenter repose sur les deux lemmes suivants :
Lemme I. — Si un polynôme ^fonction de x, à coefficients entiers du degré ni et dans lequel le terme le plus élei^e en x a pour coefficient V unité, est divisible par le polynôme X| du degré /i, dans lequel le terme le plus élei^é en x a pour coefficient l'unité et dont tous les coefficients sont rationnels, ceux-ci sont nécessairement des nombres entiers.
En eilet, désignons par X2 le quotient de X par X|,
on aura
X = X|Xj,
et si Xi contient des termes fractionnaires, réduisonsles au même dénominateur, sauf le premier x*^» Soit aV- D ce dénominateur, a^ élant la plus haute puissance de l'un des nombres premiers qui en sont diviseurs. On aura (n" 13)
X, , X', X'* étant des polynômes à coefficients entiers, le premier du degré n et les deux autres au plus du degré n — 1 . Il faut bien remarquer que X^' n'est pas nul, conformément à notre hypothèse^ la même chose aura lieu pour X'J', à moins que Ton n'ait D = i.
On aura, en opérant d'une manière semblable,
— V i ^J . flî
Le produit X| X2 se réduisant à un polynôme dont tous
les coefficients sont entiers, il faudra que le terme
— ^j^- soit nul , parce que les autres coefficients ne
contiennent en dénominateurs que des puissances moins élevées de a. Donc l'une des quantités X* et X* sera nulle ^ or ce n'est pas X*, puisque, par hypothèse, le facteur aV- entre dans les dénominateurs de X| \ donc on a X'^ = o. La même chose peut se dire des facteurs premiers qui enlreraient comme diviseurs dans les coefficients de X| . Donc le quotient X2 ne renferme aucune fraction et doit être un polynôme entier. Mais maintenant le quotient de X par X2) dont les coefficients sont entiers, étant égal à X|, les coefficients de X| doivent être entiers, puisque le premier terme de X est égal à x^ et que le premier terme de X2 est égal à x'"-".
Le MME IL — Si, dans un polynôme X de degré quelconque; le ternie le plus éles^é en x a pour coeffi^' cient V unité, que tous les autres coefficients soient des entiers divisibles par un nombre premier p, et enfin que le terme indépendant de x soit égal à zh py /Vquation
sera irréductible.
En eflbt, si cette équation n'est pas irréductible, on aura
«4, «21 ••• 5 ^M ^2v étant des coefficients entiers et fi, v étant des exposants entiers égaux ou supérieurs à i dont la somme (x -f- v est égale au degré de X. Le dernier terme
de X étant égal à db /?, on a a^b^=z±p\ en outre, comme p est premier, Tun des nombres a^, b^ doit être égal à zh I et l'autre à dz p ; nous supposerons
On a identiquement, par hypothèse,
X=:ar5*+^4-/?X(.^) OU
( jr«*-4- . . . -h^j^, j:±: I ) (.r>'-f. . . . -H £»^i x±>9) = X»*-^* -i-/>X (*)»
X(j:) étant un polynôme à coefficients entiers; on peut supprimer le terme ± p dans le second facteur du premier membre, et il vient alors
X*{^) étant un polynôme à coefficients entiers. Le terme le moins élevé en x dans le premier membre est zh b^ix; donc il faut que è^j soit divisible par/;; on peut alors supprimer le terme b^^x dans le second fiicteur du premier membre ; il vient alors
En continuant ce raisonnement, on voit que tous les coefficients i|, Aa,...,^, sont divisibles par^p, etTon a, en conséquence,
X»(x) étant encore un polynôme à coefficients entiers. Or
cela est impossible, puisque le coefficient de x" dans le
premier membre de la formule précédente est égal à ±: i ;
donc Téquation
est irréductible.
^4^ COURS d'algèbee SUPÉaiBiniB.
Théorème. — L'^équation
zP— I
oup désigne un nombre premier, est irréductible.
En effet, posons z=a:-f- i; Téquation que nous considérons deviendra
ou
Cette équation en x est irréductible, d'après le lemme qui précède; donc la proposée est elle-même irréductible. Les deux lemmes démontrés plus haut suflisent pour établir le théorème plus général que voici :
Si p est un nombre premier et que (i soit un entier quelconque^ l'équation
est irréductible.
En effet, posons z = x -hi; on aura
zP=zxP-{-l-^pXi{:r), ..., zP''=xP^-{-l-\-pXn[^), ....
j( 1(0- ),..., x«(j: ),..., étant des polynômes à coefficients entiers. On aura donc aussi
les coefficients de xi^) ^^^^^ entiers. On a d'ailleurs, pour z z=if
donc, d'après lelemme II, l'équation y(j'-+-i) = o est irréductible; par suite, la proposée y*(z) =o est ellemême irréductible.
a48 COURS D^LGÈBRE SUPÉRIEUIIB*
