DE LA SÉPARATION DES RACINES DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES

De la résolution numérique des équations^

1 H . La résolution numérique des équations, dont nous allons nous occuper, comprend deux problèmes distincts, savoir : la séparation des racines et le calcul numérique de ces racines. Les propositions que nous développerons dans ce Chapitre se rapportent exclusivement au premier des deux problèmes dont nous venons de parler.

On dit qu'une racine réelle d'une équation est separée, lorsque l'on connaît deux nombres qui la comprennent et qui ne comprennent entre eux aucune autre racine. Quant aux racines imaginaires, leur séparation sera efTectuée lorsque, conformément aux idées qui ont été développées dans le Chapitre III, on sera parvenu à renfermer chacune d'elles dans un contour fermé qui n'embrasse aucune autre racine. La définition qui précède ne suppose pas que les diverses racines soient simples; cependant, dans le cas des racines multiples, la séparation n'est complète que si le degré de multiplicité de chaque racine est déterminé. Au surplus, cette remarque n'a qu'une médiocre importance au point de vue des applications; car la résolution d'une équation qui a des racines multiples se ramène toujours (n° 50) à celle

d^une ou de plusieurs équations qui n'ont que des racines simples.

Dans ce qui va suivre, nous supposerons toujours les polyn(^mes que nous aurons à considérer ordonnés par rapport aux. puissances décroissantes de la variable. Eli outre, il ne sera question que d'équations à coefficients réels, à moins que nous n'avertissions du contraire.

Limites des racines réelles d'une équation à coefficients réels.

112. Le procédé général que nous avons lait connaître au n** 46, pour obtenir une limite supérieure et unclimite inférieure des modules des racines, donne en particulier des limites des racines réelles. Mais, quand on ne considère que ces dernières, on peut obtenir souvent des limites plus resserrées.

Soit

f[x] r*:AoX'«-hA,.r'»-l-i-. . . -f- A;, x'"-'»-!- . . . -+- A;„i X-f- A;„

une fonction entière de la variable x, dans laquelle les coefficients soient des quantités reW/e^ données, et proposons-nous de trouver une limite supérieure des racines positives de Téquation

c'est-à-dire une quantité supérieure à la plus grande racine positive.

Le coefficient Ao étant supposé positif, si tous les coefficients qui suivent sont positifs, l'équation n'aura point déracines positives; soit donc A,, le premier des coefficients négatifs, et désignons par A la valeur absolue de celui de ces coefficients négatifs qui a la plus grande va-

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iour absolue. Comme la quantité

^^m-zi+l __ ,

— A -^ h A f^"*-" -h ar'"-'*-* -f- . . . -l-ar-f- l)

est identiquement nulle, on peut l'ajouter à Fexpression de^(x) et celle-ci devient alors