hAiX^-*-4-...H-A|,-iJ

4- (A -f- A„)x'"-'» -4- ... 4- (A -h A,„i) jr 4- ( A -4- A;„ ).

Cette formule montre que Ton a f{^x) > o, pour toutes les valeurs de x qui satisfont à la condition

et, par suite, pour toutes les valeurs de x, telles que

Ao

On tire de là, si /i = i ,

Ao

et, si n est supérieur à i ,

la quantité i-4- -ou iH- \/ - est donc une limite su-

^ Ao M K

périeure des racines positives.

Pour avoir une limite inférieure des racines positives,

on changera x en - et Ton déterminera comme précé-

demment une limite supérieure des racines positives

de l'équation transformée. Enfin, pour avoir des limites des racines négatives, il suffira de changer j: en — x et de chercher des limites pour les racines positives de la transformée.

113. Laméthode précédente se résume, comme on le voit, par une règle uniforme qui est applicable dan^ tous les cas; mais cette règle fournit souvent des limites fort éloignées des racines extrêmes ; aussi le procédé suivant doit-il être employé de préférence.

Supposons d'abord que le premier membre de l'équation proposée y( x) = o se compose d'un ou de plusieurs termes positifs suivis de termes tous négatifs, et soit n le degré du dernier terme positif; on pourra écrire

ff[x)el^[x) désignant des polynômes dans lesquels tous les coefficients sont positifs. Par hypothèse, la première des fonctions

ne renferme que des puissances positives de or, et il n'y a, dans la seconde, que des puissances négatives. La première de CCS fonctions est donc croissante avec x, tandis que la seconde est décroissante. Il résulte de là que si

l'inégalité

est satisfaite pour une valeur de x, elle le sera aussi pour les valeurs plus grandes. Par conséquent, pour avoir une limite supérieure des racines positives, il suffira de substituer à X une série de nombres croissant à partir de zéro, et le premier de ces nombres qui donnera un résultat positif sera la limite cherchée.

25a COURS d'algèbre SUPéRIKUnE.

Maintenant y considérons une équation quelconque f[x) = o ; le premier terme que nous supposons positif peut être suivi d'un ou de plusieurs autres termes positifs; réunissons à ces termes tous ceux qui sont négatifs pour en composer un polynôme F(j:) ; on aura

ff (x) ne renfermant que des termes positifs et F ( jt) étant une fonction du genre que nous venons de considérer plus haut. Il suffira évidemment, pour remplir l'objet demandé, de chercher une valeur de x qui rende F (x) positive, ce à quoi Ton parviendra en substituant à x, dans ¥ [x)y une série de valeurs croissantes à partir de zéro.

On peut encore arriver au résultat cherché, en partageant le premier membre de Téquation proposée en divers groupes, formés chacun d'un ou de plusieurs termes positifs suivis de termes négatifs de degrés moindres, et en cherchant une valeur de x qui rende positifs les polynômes contenus dans ces différents groupes.

Nous n'avons eu ici en vue que la recherche d'une limite supérieure des racines positives; mais, d'après ce qui a été dit au numéro précédent, c'est à ce problème que se ramène la détermination des autres limites.

Exemple. — Considérons l'équation

X^ — \^.r* -\- rjo.r^ -1- 36 J-- — 99.8.r — i47 = o.

On peut décomposer le premier membre dans les deux parties suivantes :

or* [.r — {5), ^^..r'-f-SG.r' — 9?.8.r — l.\'j.

Pour .r=4^» 1^ première partie est nulle, et la deuxième partie est évidemment positive ; donc 4^ ^st une limite

SECTIOK I. CHAPITHE VI.

supérieure des racines positives de Téquation proposée. La méthode du n°112 donnerait 929 pour limite.

En changeant x en -9 on obtient la transformée

le premier membre de celle équation, changé de signe. peut être décomposé dans les deux parties

qui sont positives toutes deux pour j: = -, d'où il ré-

suite que 3 est une limite inférieure des racines positives de la proposée.

Si Ton change a: en — x dans la proposée et dans la

transformée en-, on obtient deux nouvelles équations,

dont les premiers membres peuvent s'écrire comme il

suit :

jr(.r*-f. 45x'-h72x' — 36a: — g'îS) -l-i47t

le premier polynôme est positif pour x = ou >3 et le second pour x = ou ^ 7.

11 résulte de là que les racines positives de l'équation proposée sont comprises entre 3 et 45, et que les racines

nét^ativcs le sont entre et — 3.

114. M^.THODE DE Newtoix. — Ccttc méthodc, dont l'emploi offre souvent quelque avantage, repose sur la proposition suivante :

Soient

la suite formée par une /onction entière du degré m

et ses dénuées successives. Si pour une valeur a attri' buée à X ces fonctions sont positives, elles le seront aussi pour toute valeur a -h h de x supérieure à a.

Il suffît évidemment de considcTer la première fonction J\x)j et la proposition énoncée résulte immédiatement de Tégalité

tous les termes du second membre étant par hypothèse

positifs, on a

Il suit évidemment de là que réquationy(a:) = o n'a aucune racine supérieure à a.

D'après cette proposition, pour avoir une limite supérieure des racines de réquationy(a:) = o, on formera la suite

On déterminera un nombre Xq qui rende /"^"^[x) positive, ce qui est facile, puisque cette fonction est du premier degré. Si aucune des fonctions qui précèdenty'""* (x) n'est négative pour x = Xqj on pourra prendre Xq pour la limite cherchée. Si, au contraire, en remontant la suite que nous considérons, on rencontre une fonction qui soit négative pour j: = Xo, on prendra une valeur x^ supérieure à Xo qui rende la môme fonction positive. Pareillement, si, pour cette valeur Xi, l'une des fonctions qui précèdent celle dont nous venons de parler est négative, on prendra une valeur x^^x^ pour laquelle la même fonction soit positive, et ainsi de suite. On arrivera infailliblement par ce procédé à une valeur de x pour laquelle la fonction y (x) sera positive ainsi que toutes ses dérivées : cette valeur sera la limite cherchée.

Après ce qui a été dit au n** 112, il est presque superflu d'ajouter que la méthode précédente peut être appliquée k la recherche de la limite inférieure des racines positives, ainsi qu'à celle de^ limites des racines négatives.

Exemple. — Reprenons Téquation qui a été considérée au numéro précédent. On a

/(.r) = .r^— 45.r*-h 'J'i.T^ -h 36 Jr' — 928 .r — i^'],

fl.r] -— -- =z 5.r* — l8o.r' -h 2l6.r*-i- nix — Q18,

— = io.r» — 2'70jc*-hai6a:-h 36, 1.2

^ - ^' :- = io.r' — iSo.r -f 12, I . 2 . i

La valeur x = g annule y**^(a:), mais toute valeur supérieure rend cette fonction positive ; la dérivée précédente, f"\x), est positive pour x = 18, mais la même valeur rend f"[x) négative. Cette dernière fonction devient positive pour x = 27, et f\x), qui est alors négative, devient positive pour x = 36. La valeur a: = 36 rend f(x) négative, nîaisy(x) devient positive pour x = 44* On peut donc prendre 44 pour limite supérieure des racines positives.

Tliéorcme relatif aux résultats de la substitution de deux nombres quelconques à l'inconnue.

115. Théorème. — Soient f(x) = o une équation à coefficients réels, XoetlL deux quantités réelles quelconques. Le nombre des racines de l'équation f[x) =o comprises entre les quantités Xq et X est pair ou impair suivant que les résultats f(xo)j f{^) obtenus en sub-

256 COURS d'ALGÈBUE SUPÉniEURE.

slil liant Xq et IL à x dans le poljnôme f[x) sont de même signe ou de signes contraires; zéro est regardé comme un nombre pair. En particulier y si f{xo) et /(X) sont de signes contraires, V équation f[x) = o a au moins une racine comprise entï^e Xo et X.

En effet, supposons le polynôme /(x) décomposé en facteurs linéaires. Nous savons que si, parmi ces facteurs,

il y en sl fi égaux à x — {p-^c/ ^ — 0> il y en a aussi ft qui sont égaux à x — [p — q\]—i)\ le produit de ces 2/1 facteurs est la puissance de degré [k du polynôme ( x — pY'-^^^ y lequel reste positif pour toutes les valeurs de X. Si donc on désigne par F(:r) le produit de tous les facteurs linéaires imaginaires à^f^x), on aura

F(j:) restant toujours positif. On a, d'après cela,

le premier facteur rrr^. est positif, et Tun des facteurs

suivants, telsque -^^ — —> ne peut être négatif que si la ra-

cine 07^ est comprise entre Xq et X. Donc la valeur de

•jrr^- est positive ou négative, suivant que Téquation

f{x) = o a un nombre pair ou un nombre impair de racines comprises entre Xq et X. Dans le premier cas, f(xo) et/(X) sont de même signe; dans le deuxième cas, ces quantités sont de signes contraires.

Corollaire I. — Toute équation de degré impair a au moins une racine réelle de signe contraire à son dernier terme.

SECTION I. CHAPITRE VI. !3i5y

On suppose, dans cet énoncé, que le premier terme de l'équation proposée y(x) = o a un coefficient positif. Si le dernier terme de cette équation est négatif et que l'on nomme X une limite supérieure des racines positives de l'équation y"( a:) = o, les résultats ^(X), f{o) seront de signes contraires; il y a donc une racine positive, et, s'il y en a plusieurs, elles sont en nombre impair. Si le dernier terme de l'équation y (a:) =o est positif, on changerai en — X, et, la transformée étant écrite de manière que son premier terme ait un coefficient positif, le dernier terme sera négatif; on rentre dans le premier cas.

Corollaire II. — Toute équation de degré pair dont le dernier terme est négatif a au moins une racine positivée et au moins une racine négativ^e.

On suppose encore ici que le premier terme de l'équation proposée y (x) = o ait un coefficient positif. Si l'on nomme X une limite supérieure des racines positives de réquationy(a:) = o, les quantités y(X),y*(o) seront de signés contraires ; donc l'équation a un nombre impair de racines positives, et par conséquent elle en a au moins une. Ce raisonnement s'applique aussi à l'équation /( — x) = o; donc la proposée y(a:) = o a un nombre impair de racines négatives.

Tliéorème de Descartes.

116. On dit que deux termes consécutifs d'une fonction entière /"(x) à coefficients réels ofirent une variation, quand ils ont des signes contraires; deux termes consécutifs qui ont le même signe ofirent une permanence. Cela posé, l'importante proposition connue sous le nom de Tliéorème de Descartes repose sur le lemme suivant :

Lemme. — Sif[x) désigne une fonction entière et

958 COURS d'algèbue supéhieure.

que a soit une quantité positivée, le nombre des "varialions contenues dans le produit [x — a)f(^x) surpas^ sera d^une unité au moins, et toujours d^un nombre impair, le nombre des variations def[x).

En effet, ordonnons la foncUony( x) par rapport aux puissances décroissantes de x et posons

en écrivant entre parenthèses tous les termes consécutifs qui ont le même signe ; le nombre des variations de f{x) est évidemment égal à /i. Multiplions y(:r) par x — a^ et écrivons d'abord le produit par x; il viendra

Pour déduire de ce résultat la valeur du produit (a: — a) f[x), il faut lui ajouter — af[x). Or je dis qu'après cette addition les signes des termes dont les degrés sont respectivement m 4-1, m^-^i, 77/2-1-1,..., /n^-hi seront restés les mêmes. Cela est évident pour le premier de ces termes, puisque le produit — af[x) n'est que du degré 771. Quant au terme du degré 771, -f-i, il pourra être modifié, parce que — af[x) peut renfermer un terme du même degré; mais ce terme, s'il existe, est le produit par — a du dernier des termes contenus dans la première parenthèse àef[x)j et, par conséquent, il est négatif; donc le signe du terme de degré 772|-hi àdJisxf[x) ne sera pas changé. Pareillement, si — af[x) peut donner un terme du degré 77/0-1-1, ce terme est nécessairement le produit par — a du dernier des termes contenus dans la deuxième parenthèse de /(x), et il a le signe -H? comme le terme semblable du

produit xf[x). Il est évident que le même raisonnement s'applique à ceux des termes suivants que nous considérons. Mais le dernier terme de — ^f(^) est de signe contraire au terme de degré m„-f- 1 qui figure dans ocf{x)j et il ne peut se réduire avec aucun de ceux contenus dans ce produit. Donc, dans le produit [x — a)f[x)y les termes dont les degrés sont m-H i , mi H- 1 , m2-\- 1 , . . . W/j-l-i et le dernier terme auront alternativement les signes -h et — ; il y a par conséquent au moins «H-i variations dans ce produit. Il peut y en avoir davantage ; mais comme, en passant d'un signe + à un signe — ou inversement, on rencontre nécessairement un nombre impair de variations, il est évident que, si le produit [x — a)f[x) a plus de n-f-i variations, il en aura aAr-f-Ti-l-i, 2/r désignant un nombre pair.

{ 17. Le lemme que nous venons d'établir nous donne immédiatement le théorème de Descartes, qui consiste dans la proposition suivante :

Théorème. — Dans une équation quelconque y le nombre des racines posilii^es ne peut pas surpasser le nombre des variations du premier membre; et , quand il est moindre, la différence est toujours un nombre pair.

En effet, soiX. f[x)'=o l'équation proposée. Décomposons le polynômey(x) en ses facteurs linéaires; désignons par F{x) le produit des facteurs qui répondent aux racines imaginaires ou négatives, et soient ai, ^2,..^ ay les racines positives. On aura

L'équation F(j:) = o n'ayant pas de racines posî-

' tives, le premier et le dernier tQrme de F(j:) sont de

même signe, et en conséquence le nombre des variations

*26o COURS d'algèbre supérieure.

de ce polynôme est un nombre pair ak qui peut se réduire à zéro.

Le polynôme F(j:) ayant a/r variations, le produit F[x) [x — fli) en aura ^kt-hi, d'après la proposition précédente, ki étant égal ou supérieur à /r. Pareillement, le produit F{x){x — ai){x — a^) aura a^j-j-a variations, et ainsi de suite, de manière que le dernier produit, qui est égal kf[x), aura aÀ\-h vvariations, /r» étant un entier positif ou nul.

Corollaire. — Dans une équation quelconque^ le nombre des racines négativ^es ne peut pas surpasser le nombre des variations de l'équation transformée en — a:, et, quand il est moindre, la différence est toujours un nombre pair.

118. Le théorème de Descartes a pour complément la proposition suivante, qui n'en est au surplus qu'une conséquence :

Théorème. — Si une équation a toutes ses racines réelles, le nombre des racines positii^es est égal au nombre des variations, et le nombre des racines négatii^es est égal au nombre des variations de la transformée en — X,

Considérons les différences entre le degré de chaque terme d'une équation de degré m et le degré du terme suivant. Parmi ces différences, il peut y en avoir qui soient des nombres impairs : je les désignerai par

quant aux différences qui sont égales à des nombres pairs, je distinguerai celles qui répondent à deux termes de signe contraire de celles qui se rapportent à deux termes

de même signe. Je désignerai les premières par

2 A, -h 2, '2//, -h 2, . . . , 2^v -+- 2, tandis que les autres seront représentées par

^é'i» ^^iy •••» ^ê^9*

Comme il y a (i-h v + p différences, le nombre des termes de l'équation est égal à /x -f- v -h p -H i , et il est évident qu'il manque à celle-ci, pour qu'elle soit complète, un nombre de termes qui sera égal à 2 S -+- v — p si Ton fait, pour abréger,

S=(^i-f-it,+ ...4-X,,)-h(Ai-l-//,-f-...-h^,)-f.(g'i-^-g',-f-...-hg^j).

En ajoutant le nombre des termes contenus dans l'équation proposée avec le nombre de ceux qui lui manquent pour qu'elle soit complète, on aura évidemment une somme égale à m H- i ; donc

Désignons maintenant par V le nombre des variations de l'équation proposée, par V le nombre des variations de la transformée en — x, et cherchons la valeur de V-hV. Considérons d'abord deux termes consécutifs dans lesquels la différence des degrés soit un nombre impair 2À'-+- 1; il est clair que, si ces deux termes offrent une variation dans la proposée, ils présenteront une permanence dans la transformée en — x, et inversement ; donc les deux termes ne donnent qu'une unité dans V -+- V, et, comme il y a, par hypothèse, fx couples de termes du même genre, ces termes fourniront fx unités à la somme V -f- V. Considérons en second lieu deux termes consécutifs de signes contraires et dans lesquels la différence des degrés soit un nombre pair 2 A -h 2 ; ces deux termes donnent une variation dans la transformée

a62 cocus d'algèbre supérieure.

aussi bien que dans la proposée, et, comme il y a v couples de pareils termes, ils apporteront 2V unités dans la somme V-h V. Enfin, si Ton considère deux termes de même signe et dans lesquels la différence des degrés soit un nombre pair ag^, ces termes ne donneront aucune variation dans la transformée en — x et ils ne fourniront rien à la somme V H- V. On a donc, d'après cela,

et par conséquent la formule (i) peut s'écrire

(3) m = V-hV'-^-aS.

Si Ton désigne par P le nombre des racines positives de l'équation, par P' le nombre des racines négatives et par 2I le nombre des racines imaginaires, on aura aussi

et la comparaison des formules (3) et (4) donnera

Si l'équation proposée a toutes ses racines réelles, I est nul; d'ailleurs aucun des nombres V — P, V — P' ne peut être négatif; donc on a non-seulement

mais encore

Les formules (6) démontrent la proposition énoncée; la formule (5) nous fait connaître en outre une limite du nombre des racines imaginaires. On en tire effectivement

1= ou >S;

d'où il résulte qu'une équation a toujours des racines

imaginaires lorsqu'il manque plus d'un terme entre deux termes de signes contraires, etlorsqu'il manque même un seul terme entre deux termes de même signe.

Corollaire I. — Si une équation a toutes ses racines réelles et positivées y l'équation est complète et elle ne présente que des variations.

Car le nombre des variations doit être égal au degré m de Téquation, et celle-ci renferme en conséquence m H-i termes.

Corollaire IL — Si l'équation f(^x) =o a toutes ses racines réelles et que a soit une quantité positivée, le produit [x — a)f[x) ne renferme quune variation de plus quef[x).

Car, dans chacune des équations

le nombre des racines positives est égal au nombre des variations du premier membre. La deuxième équation ayant une seule racine positive de plus que la première, elle a aussi une seule variation de plus que celle-ci.

H9. Le théorème de Descartes conduit encore à une autre proposition sur laquelle nous croyons devoir appeler Tattention, parce qu'elle est le point de départ de recherches nouvelles dont nous aurons à parler ensuite. Cette proposition est la suivante :

Théorème. — Soient J'(^x) = o une équation du deg7\i m dont les m racines sont réelles^ et f'[x)y f [x)j . . .y/^[x) les m dérii^ées successi\^es du poly nônie f{x) . Si, dans la suite des m -4- i fonctions

A-r). f'ir), r(^), ..., f'^i-r)

on substitue successiv^ement deux quantités réelles quel'

a64 couBS d'algèbhe supérieure.

coTU/ues a et S '^ a, et si, après chaque substitution^ on compte les variations de signes que présente la suite des résultats, le nombre des variations perdues en pas^ sant dex = aàx = 6 sera précisément égal au nombre des racines de V équation f[x)='0 comprises entre a et 6.

En effet, posons successivement j!r = x'-f-a et j: = x'-f- o. Le nombre des racînes de la proposée qui sont supérieures à a sera égal au nombre des racines positives de la transforméey(x'-f- a) = o, et, en conséquence, égal au nombre des variations du polynôme y(a:'-ha), puisque toutes les racines sont supposées réelles. Pareillement le nombre des racines de la proposée qui sont supérieures à 6 sera égal au nombre des racines positives dey*(j:'-l- S) = o, et, par suite, égal au nombre des variations de/(j/-h6); d'où il suit que l'équation f[x) = o a précisément autant de racines comprises entre ce et 6 qu'il y a d'unités dans l'excès du nombre des variations dey(a/-ha) sur le nombre des variations dey(a/-f- S). Mais on a

donc l'excès dont nous venons de parler est égal à la

différence entre le nombre des variations que présente ,

la suite

pour a: = a, et le nombre des variations que présente la même suite pour x = ë,

Tîiéorème de Budan.

120. La proposition précédente cesse d'être exacte, lorsque l'équation/ (x) = o n'a pas toutes ses racines

réelles. Mais, en cherchant à en modifier Ténoncé de manière à embrasser tous les cas, Budan est parvenu à un théorème remarquable que nous allons exposer, après avoir établi préalablement un lemme fort important sur lequel nous aurons à nous appuyer.

Lemme. — Sif{x) désigne une fonction entière de X ayant pour dérii^éej^^x), et que l'on fasse croître x

f[x\ de — 00 à 4- 00 , chaque fois que le rapport '^jr\

s'annulera, il passera toujours d'une valeur négatii^e à une valeur positive.

En eflfet, soit a une valeur de x pour laquelle f{x) s'annule. Si m est le degré de cette fonction et que Ton représente ^^ f'{x)y f"[x) • • ^j f^[x) ses dérivées successives, on aura, pour a; = a 4- m,

/'(« + «)=/'(«) + f/>)+...+ iî__^/»(.)-H...

comme il peut arriver que la valeur x = a annule^' (x) et quelques-unes d^s dérivées suivantes, je désignerai généralement pary''(a:) la première de ces dérivées qui ne s'annulent pas pour x = a. Alors, en divisant Tune par l'autre les deux équations précédentes, on aura

/(g-hi/) __ u (/?-h i). . ./yi ^ \

^66 COURS D^ALGiBRE SUPÉRIEURE.

la fraction qui multiplie -9 dans le second membre, a

pour limite Tunité quand u tend vers zéro; donc, pour des valeurs de u positives ou négatives dont le module est suffîsamment petit, les quantités

„ et {i^,

seront de même signe ; il résulte de là que , si h désigne une quantité positive suffisamment petite, et que Ton fasse croître u de — A à -f- A, le rapport

d'abord négatif, s'annulera en même temps que u et deviendra ensuite positif.

Corollaire. — Si le polynôme f{x) et ses n — i premières dérii^ées s'annulent pour x = a, et que h rfesigne une quantité positivée suffisamment petite , la suite des n 4- I fonctions

/(x). /'(.rj, f'[.r] /"(a:)

présentera n variations pour x = a — h, et elle n offrira que des permanences pour x =^ a-hh.

En effet, deux fonctions consécutives de cette suite sont de signes contraires pour x = a — A, et elles sont de même signe pour x = a -h h,

121. Théoiième de Budan. — Étant donnée une équation quelconque f[x) = o de degré m, si dans les m -t- 1 Jonctions

(i) /(^). /'(^). rM /'"(')

OH substitue deux quantités réelles quelconques a et

SEGTIOir I. — CHAPITRE VI. 267

6>«, et si, après chaque substitution, on compte les 'variations de signe que présente la suite des résultats, le nombre des racines def[x) = o comprises entre a et S ne peut jamais surpasser celui des variations perdues de x = ot à X = S, et, quand il est moindre, la dijjérence est toujours un nombre pair [*).

En effet, quand on fait croître x d*une manière continue de a à 6, la suite des signes des fonctions (i) ne peut éprouver de modifications qu'à Tinstant où x atteint et dépasse une valeur qui annule quelqu'une de ces fonctions; supposons donc que, pour x = ay une ou plusieurs des fonctions (i) s'annulent. Parmi ces fonctions qui s'annulent, pour x == a, il peut y en avoir plusieurs qui soient consécutives ; soient donc généralement

n fonctions consécutives qui s'annulent pour x = a,le nombre n pouvant se réduire à l'unité. L'indice (x peut être zéro, auquel casy'*(.T) représente la fonctiony(x); mais le dernier indice u-hn — i ne peut être égal à m, car la fonction /'"(x) est une constante différente de zéro. Cela posé, considérons la portion de la suite (i) qui comprend les fonctions (a) et la fonction suivante, savoir ;

d'après le corollaire du lemme qui précède, si h désigne

(^) Ce théorème est souvent attribué à Fourier, qui l'avait sans aucun doute rencontré dans ses recherches ; mais la priorité appartient réellement à Budan, qui communiqua en 181 1 à l'Académie des Sciences la démonstration complète du théorème. L'énoncé que nous adoptons ne diffère que dans la forme de celui donné par Budan, et il est tel que Fonrier l'a présenté dans iion Analyse des équations, publiée après sa mort, en i83i, par les soins de ^'avier.

a68 coLRs d'alg-ebrr supéribueb.

une quantité positive sufïisamment petite, les n-hi fonctions de la suite (3) oiTriront n variations pour x = a — h, tandis qu'elles ne présenteront que des permanences pour j: = a -h /<• Appliquons successivement ce résultat aux cas de fz = o et de /x >• o.

Dans le cas de /x = o, on peut dire que : si les n premiers termes de la suite (i) s'annulent pour x = û, c'est-à-dire si l'équation f[x) = o a n racines égales à a, la portion de la suite (i) qui embrasse les n-hi premiers termes perd n variations, quand on passe de X = a — h à X = a -h h.

Dans le cas de fx^ o, joignons aux fonctions (3) celle qui les précède dans la suite (i), on aura les /i-f- a foDClions

Si n est un nombre pair 2Ar, l'équation y •'(x) =o a ai racines égales à a, et, en conséquence, /^(x) ne change pas de signe quand x varie de a — h ka-i-h; d'ailleurs /î*~' (x) conserve aussi le même signe; donc la suite (4) perdra tik variations quand on passera de a — hka-^-h. Si, au contraire, n est un nombre impair a Ar + i , l'équation f^{x) = o a a/: 4- 1 racines égales à a et f^{x) change de signe quand x varie de a — h à a + & ; comnicy''~*(j') conserve le même signe, il s'ensuit que la suite des deux fonctions y**~*(x), y^(x) perdra ou gagnera une variation dans le passage de a — Aàa-f-A, et, par conséquent, la suite (4) perdra dans ce cas (xA-h i)±: I, c'est-à-dire aAr ou a/r-f- a variations. On peut donc dire que : si n termes consécutifs de la suite [i), ne comprenant pas le premier ternie, s'annulent pour X = a, la portion de la suite ( i ) qui embrasse ces n termes a\^ec celui qui les précède et celui qui les suit perd un nombre pair de variations, quand on passe

SECTION 1. CIIAPITRE VI. 269

de a — h à a-l-A; ce nombre de ^variations perdues peut se réduire à zéro quand « = i ; mais, pour w > i , il est positif.

Il résulte de là que, x croissant de a à 6, chaque fois que cette variable atteint et dépasse une valeur a qui annule quelques-unes des fonctions (i), cette suite perd V 4- aAr variations, A' étant un entier positif ou nul, et le nombre v, qui peut aussi se réduire à zéro, étant précisément égal au nombre des racines de réqualiony* (x ) = o qui sont égales à a. Si donc N désigne le nombre total des racines réelles égales ou inégales comprises entre a et 6, le nombre des variations perdues en passant de j: = a à a: = S sera égal à N ou égal à N augmenté d'un nombre pair.

Corollaire. — Si l'équation y(x) = o a N racines comprises entre ol et 6, et que la suite ( i ) perde N -f- aK variations dans le passage de x = aà x = 6, l'cqua^ lion a au moins aK racines imaginaires.

En effet, désignons par No le nombre des racines comprises entre — oo et a, par N' celui des racines comprises entre 6 et -f- oo . Soient aussi No H- a Ko, N'-t- aK' les nombres de variations perdues dans la suite (i) quand on passe dea:= — ooàj: = aetdcj: = 6àx = -|-oo. Il est évident que pour or = — oo la suite (i) présente m variations, tandis qu'elle n'a que des permanences pour X = 00 ; on a donc

No -^ N -h N' -I- 2K0 -h 2K + 2R'= w;

le nombre al des racines imaginaires est égal à m — (No -f- N -f- N'), et l'on a conséquemment

I = Ko-l-K^-K^ doù I = ou>K.

122. Nous présenterons ici deux remarques au sujet du théorème de Budan«

2yo COURS d'algèbre supérieure.

Quand on applique ce théorème, il peut arriver que Tun des nombres a et o qu'il faut substituer à x annule quelques-unes des fonctions de la suite (i). On sauve cette difficulté en substituant a + h au lieu de a et 6 — h au lieu de êy h désignant, comme précédemment, une quantité positive suffisamment petite. Aucun calcul ne sera d'ailleurs nécessaire, car supposons que l'hypothèse X = a annule les termes de la suite (3) à l'exception du dernier, nous savons que cette suite (3) n'offre que des permanences pour x = a-i-/i. Si c'est, au contraire, l'hypothèse x = S qui annule les fonctions dont nous venons de parler, la suite (3) ne présentera que des variations pour 30= 6 — A.

Le théorème de Descartes peut être regardé comme un corollaire de celui de Budan. Supposons, en effet, que l'on veuille appliquer ce dernier théorème en prenant a =:0, 6 = 4- 00 . Pour X = -H 00 , la suite des fonctions (i) ne présente que des permanences, et pour x = o ces fonctions se réduisent aux coefficients de l'équation ^(d;) = o, en faisant abstraction de certains multiplicateurs numériques et essentiellement positifs. A la vérité, l'hypothèse x= o peut annuler quelques-unes des fonctions (i), et cela arrive nécessairement si l'équation proposée manque de quelques termes. Mais supposons qu'au lieu de substituer zéro on ait substitué successivement — h et -h A ; comme le nombre des variations perdues en passant de — h à -h h est pair, si, comme on le suppose, l'équation proposée n'a pas de racines nulles, il e^ permis de ne tenir aucun compte de celles des fonctions (i) qui s'annulent pour x =o, lorsque l'on applique le théorème de Budan en prenant a = -hAet6=-f-oo, ou, ce qui revient au même, en prenant a = o,6 = -f-oo . Il résulte donc du théorème de Budan que : si V éq nation f(x) = o a N racines positives, la suite des coefficients des termes

SECTIOir I. CHAPITRE VI. 2^1

contenus dans le premier membre offrira N -H aK va^ riations, K étant un entier positif ou nul; ce qui est précisément le théorème de Descartes.

Théorème de Rolle.

123. La proposition connue sous le nom de théorème de Rolle est utile dans quelques circonstances, et elle se rattache directement à la théorie que nous exposons; aussi croyons-nous devoir la présenter ici.

Tbéouème. — Si a et h désignent deux racines consécutives de i équation f [x) = o, en sorte que cette équation n'ait aucune autre racine comprise entre a et bj l'équation f'[x) = o, obtenue en égalant à zéro la dérivée def[x), a au moins une racine comprise entre a et b, et, quand elle en a plusieurs, le nombre de ces racines est impair.

En effet, si Ton suppose A >« a et que l'on désigne par h une quantité positive suffisamment petite, le premier des deux rapports

sera positif, tandis que le second sera négatif (n° 120). D'ailleurs les numérateurs /*{ a -H A) et /{b — h) sont de même signe, puisque l'équation proposée n'a pas de racine entre a + h et b — A; donc les dénominateurs /' {a -h h),f{b — h) sont de signes contraires, et, en conséquence, l'équation y (x) = o a un nombre impair de racines comprises entre a -h h et b — //, ou entre a et b. Il faut remarquer que ce théorème subsiste, lors même que a ou 6 serait une racine multiple de l'équation proposée.

2y2 COURS d'algèbre supérieure.

Corollaire I. — Deux racines consécutives a et ^ de l'équation f'{x) = o nepeuvfent comprendre entre elles plus d'une racine de l'équation f[x) = o.

Car, si réqualiony ( x) = o avait deux racines a et 4 comprises entre a et 6, l'équation y ' (a:) = o aurait an moins une racine y comprise entre a et b\ cette racine serait donc comprise, à plus forte raison, entre a et 6, ce qui est contre l'hypothèse.

Corollaire II. — Si l'équation f[x)=: ode degré m a toutes ses m racines réelles, V équation f [x) =:oa également toutes ses racines réelles, et deux racines consécutives de la seconde équation comprennent Umjours une racine de la première.

Désignons par

les racines de l'équation y (.r) = o, rangées par ordre de grandeur à partir de la petite, et par

/Wj, /Wj, ^3, . . ., m^

les degrés de multiplicité de ces racines, on aura

772 = mj -h /7ij 4- . . . -h m^

Cela posé, d'après le théorème des racines multiples, réqualiony'(x) = o a /7i< — i racines égales àai, elle en a 7712 — I égales k a^j. . ,,mn — i égales à a^ ; le nombre de ces racines est 77i — n. En outre, d'après le théorème de Roile, l'équation y*'(x) = o a au moins une racine comprise dans chacun des n — i intervalles que forment deux termes consécutifs de la suite (i); elle ne peut d'ailleurs en avoir plus d'une dans chaque intervalle, puisque le nombre total de ces racines esim — 1«

Soient

les n — I racines Aef'[x) = o dont nous venons de parler et qui sont respectivement comprises dans les n — i intervalles formés par deux termes consécutifs de la suite (i). II est évident que les termes de cette suite (i) seront compris respectivement dans les n intervalles formés par la suite

(2) —00, ^1, 6„ ..., bn^^, ^-co;

les termes de la suite [^) séparenL donc les.racines (i) de l'équation proposée.

124. Exemple. — Pour donner un exemple des applications du théorème de Rolle, nous établirons une propriété importante que possède une classe de fonctions qui se présentent dans diverses recherches mathématiques. Posons, pour abréger,

Cl désignons par

les dérivées successives du polynôme y*(x); la fonction que j'ai en vue et que je désignerai par X„ est définie par la formule

La fonction y(x) étant un polynôme de degré 2«, sa ^lème dérivée, y''(x) ou X;, sera un polynôme du d^gré ii. Cela posé, je dis que Téquation

a ses n racines réelles, inégales et comprises entre — i et-i-i.

Pour établir cette proposition, il suffit d'appliquer n fois de suite le théorème de Rollc à Téquation

S. — Alg» sup.f I* iS

274 COUnS D*ALGÈDEE SUPÉRIEORE.

Celte équation a n racines égales à — i et n racines égales à -h I ; donc Téqualion

aura n — i racines égales à — i , n — i racines égales à -I- I, et une racine a^ comprise entre — i et -I- 1. De là il résulte que Téquation

a n — 1 racines égales à — i , /2 — 2 racines égales à -f- 1 , une racine i| entre — i et ^1, et une racine b^ comprise entre a^ et -f- 1.

Il n'est pas nécessaire de pousser plus loin ce raisonnement, pour reconnaître que l'équation ^''(j:) = o ou Xrt = o a ses n racines réelles, inégales et comprises entre — I et -H I , ainsi que nous l'avions annoncé.

125. On peut tirer du théorème de Rolle les conditions de la réalité de toutes les racines d'une équation de degré donné; mais, devant bientôt faire connaître une méthode beaucoup plus simple qui remplira le même objet, nous n'aborderons point ici cette question générale, et nous nous bornerons à appliquer le théorème à la détermination du nombre des racines réelles d'une équation trinôme, telle que

dans laquelle nous supposerons les exposants meln impairs.

Le nombre total des variations contenues dans cette équation cl dans sa transformée en — x est égal à i ou à 3 ; le nombre des racines réelles est donc lui-même égal à I ou à 3; il s'agit de distinguer ces deux cas. La dé-

SECTION I. CHAPITRE VI. 2yS

rivée y(x) a ici pour valeur

si p est positif, rcquationy'(x) = o ne peut avoir d'autre racine réelle que zéro; donc la proposée ne peut pas avoir dans ce cas trois racines réelles. Si p est négatif, et que Ton désigne par b le radical

l'équation /*'(x) = o admettra les racines — h et + i, indépendamment des racines nulles qu'elle peut avoir et qui sont, par hypothèse, en nombre pair. Alors, si la proposée a trois racines réelles, — b sera comprise entre les deux plus petites, tandis que -h b le sera entre les deux plus grandes ; donc ces trois racines seront respectivement comprises dans les trois intervalles que forme la suite

— QO , — 6, -^ b, -h 00 , ce qui exige que l'on ait

/(-/'•)>o, /{-hb)<o.

Réciproquement, si ces conditions sont remplies, l'équation proposée aura nécessairement (n*^li5) une racine comprise entre — oo et — i, une deuxième entre — 6 et -h i, une troisième enfin entre -h A et -f- oc . En remettant au lieu de b sa valeur, on trouve que nos deux conditions deviennent

lit — n

f /?;?\^-^ nq ^^l'}P\

et elles peuvent s'exprimer par une inégalité unique, en écrivant que la puissance (m — n)*^"® de la quantité intermédiaire est inférieure à la puissance (w — /lyèmc jg

Tune des quantités extrêmes. On obtient ainsi la condition demandée,

on voit qu'elle n'est jamais satisfaite quand /? est > o. Si

le premier membre de cette inégalité se réduit à zéro,

l'équation proposée a encore trois racines réelles, mais il

est évident que deux de ces racines sont égales entre elles.

Si l'on a

l'équation proposée devient

ce qui est la forme à laquelle peut être ramenée toute équation du troisième degré (n° 6î2). Quant à la condition de réalité des trois racines, elle devient

— H-^— <o ou 4/^*-+-277*<o.

Tlicorèine de Sturm,

128. Parmi les problèmes que l'on rencontre dans la théorie des équations, l'un des plus importants est celui qui a pour objet la découverte d'une règle à Faide de laquelle on puisse déterminer le nombre exact des racines réelles d'une équation qui sont comprises entre deux nombres donnés,

La proposition du n° i i 9 nous a donné la solution de ce problème pour ce qui concerne les équations dont toutes les racines sont réelles, et les recherches de Budan ont eu pour objet, comme on Ta vu, de tirer des mêmes principes un critérium qui pût s'appliquer à tous les cas. Mais, malgré sou utilité incontestable, le beau théorème

auquel ce géomètre est parvenu ne donne pas une solution complète de la question que nous venons de poser.

L'Algèbre offrait ainsi une lacune regrettable, mais cette lacune se trouva comblée de la manière la plus heureuse par le fameux théorème de Sturm. Ce grand géomètre communiqua à TAcadémie des Sciences, en 1829, la démonstration de son théorème qui constitue Tune des plus brillantes découvertes dont se soit enrichie l'Analyse mathématique.

127. Le théorème de Sturm consiste dans la proposition suivante :

Théorème. — Etant donnée l'équation V = o dont le premier membre est une fonction entière d'un degré quelconque m de l'inconnue x et qui na pas de racines égales, soit V| la déri\^ée du polynôme V. EffeC'» tuons la dii^ision de V par V|, jusqu'à ce que nous soyons arrii/é à un reste de degré inférieur au degré de V| , cliangeons les signes de tous les termes de ce reste et désignons par Va ce qu'il devient alors. Diy^isons de même V| par V2, et, après as/oir changé les signes des termes du reste, nous aurons un nouy^eau poljnôme V3 dont le degré sera inférieur au degré de Vj. Div^isons "^pareillement Va par Vs et continuons la même série d'opérations y comme s' il s' agissait de déterminer le plus grand commun di\fiseur des polynômes \ etYt, mais en ayant soin de changer les signes de chaque reste avant de le prendre pour dii^iseur. L'équation proposée n'ayant pas de racines égales, nous arriérerons après un certain nombre (a — i de div^isions à un reste numérique différent de zéro, et nous représenterons par\^ ce reste changé de signe. Nous obtiendrons ainsi une suite do yi^i fonctions

dont les degrés, par rapport à x, formeront une suite décroissante.

Cela posé, soient a et S^a deux quantités réelles quelconques données, et substituons successiifement a etS à X dans les Jonctions (i). Le nombre des racines réelles de l'équation V = o, comprises entre a et 6, sera précisément égal à l'excès du nombre des 'variations que présente la suite des signes des fx-H i fonctions (i) pour x= oLy sur le nombre des variations que présente la suite des signes des mêmes fonctions pour a:= 6.

Désignons par

Qi> Qî» • • • » Qii— f

les quotients que Ton obtient en divisant V par V|, Vi par V2?..., V,4.2 par V^., ; on aura cette suite d'égalités :

Vu- 2= Vj4 i Q;x-i — V^, qui conduisent aux deux conséquences suivantes :

1® Dans la suite (1), deux fonctions consécutives ne peuvont s^ annuler pour la même valeur de x.

En effet, si l'on avait V/i i = o, Va = o, pour une certaine valeur de» j:, la relation

(3) Va^j = V,.Q^-V^^,

montre que l'on aurait en même temps Va+i = o. On conclut de là que, si une même valeur de j: annulait deux fonctions consécutives, elle annulerait aussi toutes les suivantes, ce qui est impossible, puisque la dernière fonction Vji est une constante différente de zéro.

a® Si, pour une valeur de x, l'une des Jonctions de la suite (i), autre que la première, s'annule, lafono tien précédente et la fonction suivante sont de signes contraires.

En effet, si Ton a Va= o, l'égalité (3) donne

Faisons maintenant croître x d'une manière continue entre les limites a et 6 ; la suite des signes des fonctions (i) ne pourra être modifiée qu'à l'instant où x atteindra et dépassera une valeur qui annule une ou plusieurs des fonctions de la suite (i). Soit a l'une de ces valeurs, et supposons d'abord que, parmi les fonctions

qui s'annulent pour x z=: a la première V ne soit pas comprise.

Si h désigne une quantité positive suffisamment petite, les équations Va i=o, V;t+i== o n'auront aucune racine entre a — h et a-^h, et en conséquence chacune des fonctions \k~\ j Va^i conservera le même signe quand on fera croître x de a — h h a -h h. Ces fonctions étant de signes contraires pour x = a, comme nous l'avons dit plus haut, elles sont pareillement de signes contraires pour j:'= a — /i, ainsi que pour x= a -h h: donc la portion de la suite (i) qui comprend les trois fonctions

offre une variation unique pour x = a — A, ainsi que pour x = a-hh; cela s'applique évidemment à chacune des portions de la suite (i) qui sont formées par l'une des fonctions Va, V/,... et les deux qui la comprennent. On peut conclure de là que la suite des signes des fonctions (i) ne perd ni ne gagne aucune variation quand x croît de a — A à a-{-h.

28o COURS d'àlgI:bre supérieubc.

Supposons maintenant que x, croissant de a à 6, atteigne une valeur a qui annule la fonction V, et pour laquelle quelques-unes des autres fonctions de la suite(i), telles que

puissent aussi s'annuler. Le raisonnement qui précède montre que la portion de la suite (i) formée avec l'une de ces dernières fonctions et les deux qui la comprennent présente une variation unique pour x=-a — A, ainsi que pour x = a-f-/i. D'ailleurs, d'après le lemme du

n^M 20, le rapport— passe du négatif au positif quand x

croît dé a — h à a -h // ; ce qui revient à dire que les deux fonctions V, Vj offrent une variation pour .r = a — A, et une permanence pour x = a+h ; donc, dans le passage de x = a — h à a: = a-|-A, la suite entière des fonctions (i) perd une variation et n'en perd qu'une seule. En résumé, si x croît d'une manière continue depuis cl jusqu'à S, le nombre des variations de la suite des fonctions (i) n'éprouve de modification que quand x atteint et dépasse une racine de l'équation V = o, et chaque fois que X atteint et dépasse une telle racine, il y a une variation perdue, dans la suite des fonctions (i) ; ce qui démontre le théorème énoncé.

128. Sturm a fait lui-môme sur son théorème des remarques importantes que nous reproduisons ici.

1° Dans les divisions successives qui servent à trouver les fonctions V2, V3,..., il est permis de multiplier ou de diviser les dividendes ou les diviseurs par des nombres positifs quelconques; les fonctions (i) se trouveront alors Hiullipliécs par des facteurs positifs, ce qui ne changera point leurs signes; mais il faut éviter de supprimer ou d'introduire des facteurs négatifs.

SECTION I. — chapithb VI. a8i

a^ La condition que la dernière des fonctions (i), sanr V^, est une constante, n'intervient pas dans la délonstration que nous avons présentée du théorème ; cette iémonstration suppose seulement que Vj^ ne change pas ie signe quand x varie de a à S. Il résulte de là que si, parmi les fonctions (i), il s'en trouve une Va qui n'ait aucune racine comprise entre a et 6, on pourra arrêter la suite (i) à cette fonction et faire abstraction de toutes celles qui suivent.

3** Il peut arriver que l'une des limites a, S annule une ou plusieurs des fonctions de la suite (i); mais il ne saurait résulter de cette circonstance aucun embarras pour compter le nombre des variations. 11 suffira effectivement, dans ce cas, de substituer a — h au lieu de a ou ê-h/iau lieu de S, h désignant une quantité aussi petite que l'on voudra. Supposons que la fonction V s'annule, soit pour x = a, soit pour x=o. Ainsi que nous l'avons vu, les deux fonctions V, Vj offriront, dans le premier cas, une variation pour x = ol — /i, et une permanence, dans le deuxième cas, pour j?=6-f-A. Quant aux fonctions qui suivent, si Tune d'elles s'annule pour x = oc ou pour x=ê, nous avons vu que, pour une valeur de x trèspeu différente de a ou de 6, la suite formée par cette fonction et les deux qui la comprennent offre toujours une variation unique.

129. Le théorème de Sturm s'applique sans modification aux équations qui ont des racines multiples, pourvu que l'on fasse abstraction du degré de multiplicité de ces racines.

En effet, soit X = o une équation qui a des racines multiples, et désignons par Xj la dérivée du polynôme X. Opérons sur les fonctions X et Xj , comme s'il était question de chercher leur plus grand commun diviseur, en

a8a COURS d'algIibre supérieure.

ayant soin de changer le signe de chaque reste, ainsi que le prescrit Ténoncé du théorème. On obtiendra ainsi la suite de fonctions

(I) X, X;, X], ••., X|i.i, Xji,

dans laquelle le dernier terme ne sera plus constant; mais trois fonctions consécutives iseront encore liées entre elles par une égalité de la forme

X^-i = X;tQ* — Xa-4.Ii

où Qf( désigne une fonction entière.

Soit D le produit des facteurs linéaires communs àX et à X|; il est évident que les fonctions (i) pourront être divisées exactement par D, et si l'on désigne par

( 2 ) M Vi, Vj, . . . , V,jt—i, Vpi

les quotients de ces divisions, la dernière des fonctions (a) sera une constante; en outre trois fonctions consécutives de cette suite seront liées entre elles parla relation

enfin, d'après le lemme du n*? 120, le rapport — - = --

passera toujours, en s'annulant, d'une valeur négative à une valeur positive. En conséquence, on peut appliquer aux fonctions (a) le raisonnement entier du n° 127, et il en résulte que, sio est>a, l'équation V = o ou X = o a autant de racines comprises entre a et 6 qu'il y a de variations perdues dansla suite des signes des fonctions (2), lorsque X croît de a à S. Enfin, comme les fonctions (i) s'obtiennent en multipliant les fonctions (2) par un même polynôme D, il est permis de substituer les unes aux autres. «

SECTION I. CHAPITHE vt.

Des conditions de réalité de toutes les racines dUine

équation de degré donné.

130. Pour avoir le nombre total des racines réelles d*unc équation donnée V = o, il suffît de former, conformément au théorème de Slurm, la suite des fonctions

et d'y substituer successivement deux limites L, L', entrelesquellcs toutes les racines réelles soientcomprises; mais comme, pour une valeur de x dont le module est suffîsamment grand, une fonction entière a toujours le signe de son premier terme, et que nous n'avons à nous préoccuper que du signe des résultats des substitutions, on peut prendre, pour plus de commodité, — oo et -Hoo au lieu de L et de L'. Soient donc A" le nombre des variations contenues dans la suite des fonctions (i), pour X = — oc ; //le nombre des variations de la même suite pour X = -f- 00 , le nombre des racines réelles de Téquation V = o sera k — h'.

Si Ton veut avoir séparément le nombre des racines positives et celui des racines négatives, il faudra en outre substituer zéro à xdans la suite (i), ce qui réduira chacune des fonctions à son dernier terme; soit/ff le nombre des variations de la suite (i) pour x == o, l'équation proposée aura ki — A' racines positives et A" — A'« racines négatives.

131. Supposons maintenant que l'on veuille connaître les conditions qui doivent être remplies pour que Téquation V = o, du dcfçré m, ait ses m racines réelles et inégales. Il faut et il suffit, pour qu'il en soit ainsi, que la suite des fonctions (i) perde m variations quand x croît de — 00 à 4-00 ; cela exige d'abord que cette suite ait au

a84 COURS d'algèbre supérieure.

moins m -f- i termes ; or elle ne peut en avoir davantage : donc le nombre /x est égal à m, et les fonctions (i) sont respectivement des degrés

En outre la suite des signes des m-f-i fonctions (i) doit renfermer/?» variations pour x = — oo , et elle n'en doit plus offrir aucune pour a: = + 00 ; il est évident que cela revient à dire que le coefficient du premier terme, dans chacune des fonctions (i) doit être positif.

On peut énoncer, d'après cela, la proposition suivante :

Pour quune équation du degré m ait ses m racines réelles et inégales, il faut et il suffit que la suite formée conformément à t énoncé du théorème de Sturm se compose de m-\-i fonctions, et que, dans chacune de ces fonctions, le coefficient du premier terme soit positif

Comme, dans les deux premières des fonctions dont nous venons de parler, le coefficient du premier terme est toujours positif, la proposition précédente indique seulement m — I conditions pour la réalité de toutes les racines. Mais il se peut que ces conditions rentrent les unes dans les autres; le nombre m — i ne doit donc être regardé que comme une limite supérieure.

ExKMPLE. — Prenons pour exemple l'équation du troisième degré

pour éviter les dénominateurs, dans les deux divisions que nous avons à exécuter, je multiplie les dividendes respectivement par 3 et 4/^^ î on a alors

V = .n^ -hpx -\-q, ou 3.r' -f- Spx -^^Çs

Vj =: 3 .r- -{- p, ou 1 2/?* X* -h 4/?',

Vj ^ — O.p .r — 3 </, Vj^:— 4/?^— 27^«.

SECTIOn I. — CHAPITRE VI. 285

Les conditions de réalité des trois racines sont donc

mais la première condition est comprise dans la seconde ; celle-ci peut s'écrire

c'est la môme que nous avons déjà obtenue par une autre voie, au n** 125. •

Extension de la méthode de Sturm.

132. Les fonctions dont le théorème de Sturm prescrit remploi peuvent être quelquefois suppléées, ainsi que Ta remarqué l'illustre auteur, par d'autres fonctions qui remplissent le même objet.

Soient

(l) », Vj, Vj, •••! V^

fjL + 1 fonctions entières d'une variable x qui satisfont aux conditions suivantes :

1** Que la dernière fonction V^ ne change pas de signe quand x varie entre deux limites données a et

7? Que deux fonctions consé cutivf es ne puissent s^an^ nuler pour une même valeur de x comprise entre cl et 6;

3° Que si une fonction autre que la première s^an^ nule pour une valeur de x comprise entre a et: ëy les deux fonctions qui la comprennent aient alors des va-

leursde signes contraires;

4° Que le rapport —■ passe toujours du négatif au

positif chaque fois quHl s^ annule, quand x croit de a à 6*

11 est évident que ces conditions sont les seules que nous ajons fait intervenir dans la démonstration du n** 127; on peut donc affirmer que, dans notre hypothèse, le nombre des racines réelles de l'équation V = o comprises entre a et 6 est égal au nombre des variations perdues par la suite (i) dans le passage de x = a à X = 6.

Supposons que la dernière des quatre conditions que nous venons de mentionner soit rempfacée parla condi-

tion contraire, savoir: {/ue le rapport — - passe toujours

du positif au négatif en s^ annulant, quand x croit de a à S. Les trois premières conditions étant maintenues, il est évident que le nombre desracines réelles dp Téquation V = o compris entre a et 6 sera égal au nombre des variations gagnées par la suite ( i ), quand x croît de a à S. C'est uniquement pour fixer les idées que nous avons supposé 6 >-a ; les mêmes choses ont lieu dans le cas de 6<^a, seulement les variations /;e/*rfwe5 deviennent des variations gagnées, et inversement.

133. Supposons maintenant que les trois premières des quatre conditions précédentes existent seules, et que l'on ait constaté chez la suite (i) une perte ou un gain de À" variations dans le passage de a: = aàj: = o, a et 6 étant des quantités quelconques données. Il est évident que, si l'on faitvarierjr dans le même sens, depuis x = a jusqu'à x = 6, le nombre des variations de la suite (i) ne pourra être modifié qu'à l'instant où x atteindra et dépasseraune valeur qui annule la première fonction V. Donc la perle ou le gain de h variations ne peut avoir lieu que si l'équation V = o a au moins A racines réelles entre a et 6.

En outre, si l'on désigne par A l'excès du nombre de

SECTION I. CIUPITRE VI. 287

fois que le rapport ~ » en s'évanouissant et en changeant

de signe, passe du positif au négatif, sur le nombre de fois que le môme rapport, en s'évanouissant et en changeant de signe, passe du négatif au positif, on aura nécessairement

le signe -f- ayant lieu dans le cas où la suite (i) gagne A variations quand on passe de jr = a à x = o , et le signe — dans le cas où la même suite perd À variations.

Désignons aussi par A' Texcès du nombre de fois que

le rapport :^ s'annule en passant du positif au négatif sur

le nombre de fois que le même rapport s'annule en passant du négatif au positif, quand x varie de a à 6. Comme V et V2 sont, par hypothèse, de signes contraires, chaque

fois que V| s'annule, les deux rapports TrCt-^A passent,

l'un du positif au négatif, l'autre du négatif au positif; si donc on représente par A^ le nombre des variations gagnées ou perdues par la suite

(2 ) Vi, V j, . . . , V,i,

dans le passage de j:= a à j: = o, on aura, comme plus haut.

Comparons maintenant les nombres A et A^ La suite (2)

se déduit de la suite (i) en supprimant dans celle-ci le

premier terme; donc, si le rapport :^ a le même signe

pour j: = a et pour a: = S, on aura k'=k et, par

suite,

si — a le signe 4- pour x = « et le signe — pour a: = 6,

2i88 COURS d'algèbre supérieure.

on aura // = À" dz i , le signe supérieur ayant lieu quand il y a gain de variations dans le passage dex = aàj?=6 et inférieur dans le cas contraire ; on a donc

enfin, si — a le signe — pour x=-ay et le signe •+• pour

a- = S, on a encore l!=^k±i\ mais ici le signe supérieur a lieu dans le cas d*une perte de variations, et^le signe inférieur dans le cas contraire ; il en résulte que

Ainsi, en résumé, l'excès A' est égal à — A, à — A-f-i

ou à — A — I ; le premier cas a lieu quand — a le même

signe pour x = a et pour a: = 6 ; le deuxième cas, quand le môme rapport est positif pour j: = a et négatif pour

a: = S; le troisième cas, enfin, quand — est négatif pour

a: = a et positif pour x = 6. On trouvera plus loin une application importante de ce résultat.

Si le nombre k est égal au degré m de la fonction V, Téqualion V = o a toutes ses racines réelles ; en outre, quand x croît constamment ou décroît constamment de a

à o, le rapport — ? chaque fois qu'il s'annule, passe tou-

jours du positif au négatif, ou toujours du négatif au positif. 11 suit de là que le raisonnement dont nous avons fait usage (n°123) pour établir le théorème de Rolle est applicable à la fonction V|, comme si cette fonction était la dérivée de V ; en conséquence, deux racines de l'équation V= o comprennent nécessairement une racine de l'équation Vj =o. Si cette dernière équation est du degré ni — i , elle aura toutos ses racines réelles, et ces racines sépareront celles de l'équation V = o.

SECTIOn I. CHAPITRE VI. 289

134. Pour bien faire sentir Timportance des considérations qui procèdent, je les appliquerai à un exemple remarquable, celui de la fonction dont nous nous sommes déjà occupé au n** 124 et que nous avons représeniée par X„.

Cette fonction X^ est la n**"* dérivée de la fonction

OU

on a donc

o.ni'y.n — i)...f/?-4-i) ^

(2.4... 2/- J [2.4... (2/2 — lA)]

Le polynôme X;, est du degré n ; il ne renferme que des puissances de x de même parité et il n'a que des variations. Dans le cas de w = i , il se réduit à un seul terme, savoir

(i) Xi — ^;

pour /i = 2, on a

Si, dans l'expression de X/i, on change /len n — 2, îl viendra

(in — ik — 2)...(/H-i — 2X)

[2.4.. .(2^— 2)][2.4...(2/î — aX-— 2;j

s. — jllg. sup,, 1. ly

ago COURS d'algèbre supérieure.

et l'on vérifie très-facilement que la somme

est égale au produit de la fonction X„| par [in — i)x: on a donc

(3) /2X„— (?./î— l).rX„-, -f-(/î — l)X„,=:0.

Cette formule servira à définir X© en y faisant /i == 2 et en substituant les valeurs de Xj et X2 écrites plus haut; on trouve ainsi

(4) Xo=:f.

Gela posé, considérons la suite des fonctions (5} X,t, X;,j, X;i j, •••* Xt, Xq ;

la dernière de ces fonctions est constante; et, d'après la formule (3), deux fonctions consécutives ne peuvent être nulles pour une même valeur de x ; car, si elles s'évanouissaient, la dernière fonction X© serait nulle, ce qui n'a pas lieu ; en outre, quand Tune des fonctions X, autre que la première, s'annule, les fonctions qui la comprennent sont de signes contraires, d'après la formule (3). Enfin cette même formule (3), jointe aux formules (i) et (2), montre que l'on a

X,n— ( — !)'« pour ^ = —1,

X;,i =^ -;- I pour or nr H- i ;

donc, quand on fait croître x de — i à -hi, la suite (5) perd n variations, d'où l'on peut conclure que :

1° L'équation X„ = o a ses n racines réelles, inégale? et comprises entre — i et -f-i;

2° Les racines de l'équation X;,i= o séparent celles de l'équation X„:=o;

3' Si a et 6 ^a sont deux nombres compris entre — 1

et 4-1, le nombre des varialions de Féquation X„ = o comprises entre a et 6 sera égal au nombre des variations perdues par la suite (5), dans le passage de a: = a à a:=S.

On serait arrivé aux mêmes résultats en considérant au lieu des fonctions (5), la suite

(^) X„, x;, x: XJ.")

formée parla fonction X„ et ses dérivées successives. On a effectivement les relations suivantes, qu'il est facile de vérifier au moyen de l'expression de X« écrite plus haut :

(7) (l-x«)X'„-2;rX;-H«(n-+-l)X„=0

et

j (»--')x<;'-2(^-,)xxr"

On voit, par ces relations, que, dans la suite (6), deux fonctions consécutives ne peuvent pas s'annuler en même temps, et que, si Tune d'elles s'évanouit pour une valeur de X comprise entre — i et -f-i, la fonction qui précède et celle qui suit ont des valeurs de signes contraires. Ces mêmes relations montrent que, pourj:=: — i, la suite (6) n'offre que des variations, tandis qu'elle n'a que des permanences pour j:= -f-i; on peut donc tirer les mêmes conséquences que nous avons formulées plus haut. Cette conclusion s'accorde avec la proposition du n° 119, puisque l'équation X;,= o a toutes ses racines réelles.

135. On peut encore démontrer très-simplement, par la méthode de Sturm, la réaHté des racines des équations en X que nous avons obtenues dans le Chapitre précédent

agn COURS d'algèbre supérieurs.

en appliquant la transformation z-i — = x aux deux équations

Application de la méthode de Sturm à la déterminalion du nombre qui exprime combien une équation quelconque a de racines réelles ou imaginaires dans l'intérieur d^un contour donné,

130. Soity(z) = P-i- iQ une fonction entière de la variable imaginaire z = x -{-ivj dans laquelle les coefficients sont des quantités quelconques données réelles ou imaginaires; /désigne, comme à l'ordinaire, l'imaginaire

\l — I, P et Q sont des fonctions réelles des variables réelles x et y.

Pour connaître le nombre /x des racines de l'équation

comprise dans un contour donné, il sufBt, diaprés le théorème de Cauchy (n® 53), de chercher l'excès A relatif à ce contour ; on a effectivement

si l'on suppose qu'il n'y ait aucun point racine sur le contour lui-même. Rappelons encore que si, partant d'un point quelconque, on décrit le contour donné, comme

il a été indiqué au n° 55, le nombre A est égal à

l'excès du nombre de fois que le rapport ^» en s'éva-

nouissant et en changeant de signe, passe du positif au négatif, sur le nombre de fois que le même rapport, en s'évanouissant et en changeant de signe, passe du négatif au positif.

SECTION I. — CHAPITRE VI. 2q3

Quel que soit le contour donne, on peut le partager en plusieurs parties telles que AB, et il est évident que l'excès A relatif au contour total sera égal à la somme des excès qui se rapportent aux diverses parties dans lesquelles ce contour a été divisé.

Si les coordonnées x et j'y pour la portion AB du contour donné, sont exprimables par des fonctions rationnelles d'une variable tj en sorte que Ton ail

tfy 4>, ^f y étant des fonctions entières, on pourra déterminer l'excès positif ou négatif A qui se rapporte à la portion de contour AB par une règle très-simple que Sturm a fait connaître (*). Soient ^o la valeur de t qui se rapporte au point A et ï celle qui est relative au point B. Quand on décrit l'arc AB en marchant de A vers B, la variable t a ainsi la valeur initiale ^o et la valeur finale T; mais dans l'intervalle elle peut varier d'une manière quelconque et repasser plusieurs fois par les

mêmes valeurs. Remplaçons x et y par leurs valeurs

P fonctions de f , le rapport - deviendra une fonction rationnelle de t, et Ton aura

(*) Journal tie Mathématiques pures et appliquées, ï^" série, t. 1.

^94 couBs d'algî:bre supékieurb.

V et V| désignant des fonctions entières de t, sans diviseur commun. Cela posé, voici en quoi consiste la règle de Sturm :

Si le degré de V n'est pas inférieur au degré de V|, on diuiseraW parYi, et l'on poussera l' opération jusqu à ce que l'on obtienne un reste — V2 de degré inférieur au degré de\ ^\on div^isera pareillement V| pcir Vj, ce qui donnera un reste — V3 ; on divisera encore Vj par Vs , et l'on continuera la mêmeséried^ opérations jusqu'à ce que l'on arrivée à un dernier reste — V^ indépendant de t. On obtiendra ainsi la suite de fonctions

V, Vi> V|, ..., »|fc— Il Vjiî

on comptera le nombre des variations que présente la suite des signes de ces fonctions pourt = T, ainsi que le nombre des variations qu'elle présente pour £ = fo ; l'excès du premier nombre sur le second sera précisément l'excès cherché A.

Si le degré de V est inférieur au degré de Y t, on opérera de la même manière; seulement, dans la première dii^ision, on prendra Vj pour div^idendeet V pour divi" seur; on obtiendra ainsi la suite

on comptera le nombre des variations de cette suite pour t=Ty ainsi que le nombre de ses variations pour t = toy et si l'on désigne par k l* excès du premier nom^ bre sur le second, on aura A = — k, ou A= — A:-|-i, ou A = — k — I , savfoir : i ° A = — /: , quand les termes Vi , V offrent une variation ou une permanence pour t = to ainsi que pour f = T; 2°A= — A"-}-i, quand les termes Vj , V offrent une permanence pour t = to et une variation pour t=T; 3** enfin A = — k — 1 ,

SECTION I. CHAPITRE VI. HqS

quand les termes Vi, V offrent une variation pour t = tof et une permanence pour t = T.

Cette proposition devient évidente après les développements que nous avons présentés au n*^ 133.

137. Si le contour que l'on considère est une circonférence de rayon R dont le centre soit placé au point qui a Xq et^o pour coordonnées, on pourra faire

it

et, pour décrire la circonférence entière en marchant toujours dans le même sens, il suffira de faire croître t de — 00 à -4- 00 .

Le cas le plus simple est celui où le contour donné est un rectangle dont les côtés sont parallèles aux axes coordonnés; on cherche alors séparément la valeur de Taxées A qui se rapporte à chaque côté. Dans ce cas, Tune des coordonnées x, y est constante, et le rapport

— est une fonction rationnelle delà deuxième coordonnée;

on peut donc prendre celle-ci pour la variable t que nous avons introduite.

Soil le rectangle ABDC, et supposons que Ton ait res-

pectivement

x=.xq et « = X

2r)6 COURS d'algèbre SUPÉRIEUnE.

pour les côtés parallèles CD et AB,

X=Xfi et j = Y pour les côtés CA et DB. Représentons par

le premier membre de Téquation proposée. On peut toujours ramener le coefficient du premier terme à l'unité ou à i ; mais nous ne ferons point cette simplification et nous supposerons que a^ ne soit pas nul quand m est pair et que bo ne le soit pas quand m est impair. Cela posé, la fonction P étant ordonnée par rapport aux puissances décroissantes dej^, son premier terme sera ± aojK'" <lans le cas de ni pair, et il sera ± ioj^'^dans le cas de m impair. Donc, si Ton attribue ky une valeur positive ou

négative déterminée, dont le module soit suffisamment

p grand,- le rapport — ne s'annulera pour aucune valeur de

X comprise entre Xq et X; en conséquence, »\ Ton suppose ro = — 00 , Y = -I- Qo , l'excès relatif à chacune des portions CA, BD du contour sera nul. D'ailleurs, l'excès relatif au côté DC est égal et de signe contraire à Texcès qui se rapporte au même côté CD changé de sens, et, en conséquence, on a la proposition suivante :

Soient z une variable imaginaire x -♦- iy et

une fonction entière de z. Soit ko l'excès du nombre de fois que le rapport }' ^ — s'annule en passant du po-

sitif au négatif sur le nombre de fois que le même rapport s'annule en passant du négatif au positif quand y varie de — oo « -|- oo ; soit aussi K la quantité ana-

logue relativ^e au rapport j- ^' ? et désignons par fk h

SECTION I. — . chapithe VI. a97

nombre des racines de l'équation f[z) = o comprises entre les deux parallèles qui répondent à x = Xo, j: = X ; on aura

Il est presque superflu d'ajouter qu'on peut déterminer d'une manière semblable le nombre des racines comprises entre deux parallèles à Taxe des x.

Premières recherches sur la séparation des racines réelles des étfuations numériques. Emploi du théorème de Sturm.

138. Une équation, dans laquelle quelques-uns des coefïicients sont imaginaires, peut être mise sous la forme ^[x) -h i^{x) = o, (f{x) el^{x) étant des polynômes à coefticienls réels, et les racines réelles doivent évidemment satisfaire aux deux équations ^(x) = o, i[/(j:) = o, ou à l'équation obtenue en égalant à zéro le plus grand commun diviseur de ces polynômes; il en résulte que la recherche dont nous avons à nous occuper doit être bornée aux équations à coefficients réels. En outre, il n'y a évidemment lieu de considérer que les équations • qui n'ont pas de racines égales.

La première idée qui se présente pour séparer les racines d'une équationy(a:) = o, d'un degré quelconque m, et qui n'a pas de racines égales, est de déterminer (n** 112) deux limites /et L ^ /, entre lesquelles les racines réelles soient toutes comprises, et de substituer à x dans le polynômey(jc) une suite de nombres croissants

commençant à la limite inférieure / et se terminant à un terme /// égal ou supérieur à L. Deux termes consécutifs

2q8 cours d'âLGEBAE STIPÉRIETJllE.

de cette suite, s'ils fournissent des résultats de signes contraires, comprendront entre eux au moins une racine (n° 115); mais, si ces résultats sont de même signe, on ne pourra plus rien conclure en général. Toutefois, la séparation des racines sera entièrement eflectuée, s*il arrive que le nombre des intervalles dans chacun desquels les substitutions indiquent Texistence d'une racine soit égal au degré m de Féquation; la même chose aura lieu aussi si, le nombre p. de ces intervalles étant inférieur à ///, on a constaté, par le théorème de Descartes ou autrement, que Téquation ne peut avoir plus de jx racines réelles.

Mais le procédé dont il est question prendra le caractère d'une méthode générale conduisant infailliblement, dans tous les cas, à la séparation des racines réelles, si nous y ajoutons une règle pour former la suite (i) de telle manière que deux termes consécutifs ne puissent comprendre phis d'une racine. Or il est évident qu'on réalisera celte condition en faisant coïncider la suite (i) avec une progression par diflcrence

(2) l,l-\ h, l^ih, ..., l -^ n/i,

dans laquelle la difï'ércnce h soit inférieure à la différence de doux racines réelles quelconques de l'équation /[jr) = o; tout est donc ramené à déterminer cette quantité //. On y arrive par le moyen de l'équation aux carrés des différences (n° 97) des racines de l'équation f[x) -— o. Supposons que l'on ait calculé cette équa-

, , , mim — I ) tion, qui est, comme on sait, du degré — ■ -S et que

l'on ail déterminé une limite inférieure X de ses racines positives. La difléience de deux racines quelconques de

la proposée sora supérieure à y^X, et, en conséquence, il suiïira de prendre pour h une quantité positive égale ou

SECTION I. CHAPITIIE VI. 299

inférieure à y/Â. La difTérence h ainsi déterminée peut être un nombre inférieur à i, et Ton doit chercher à éviter les substitutions de nombres fractionnaires ; on y parviendra au moyen de la transformation x = hx' qui sert à diviser par h la racine de la proposée. En faisant cette transformation et en choisissant / de manière que

j soit un nombre entier, on n'aura à substituer que des nombres entiers dans Téquation en x',

139. La méthode que nous venons d'exposer est communément attribuée à Lagrange, mais il est juste de dire, et Filluslre géomètre le reconnaît lui-même, que Waring avait indiqué antérieurement, dans ses Miscellanea, Tusage de l'équation aux carrés des différences pour la séparation dos racines. Cette méthode fait connaître d'une manière certaine le nombre des racines réelles, en môme temps qu'elle opère leur séparation; mais on aperçoit sans peine combien l'application en est laborieuse, en considérant d'une partie grand nombre de substitutions que l'on peut avoir à effectuer, et d'autre part la longueur du calcul nécessaire pour former l'équation aux carrés des différences. Cependant Cauchy a montré qu'on peut éviter ce dernier calcul, et que, pour être en mesure d'assigner une valeur de la quantité A, il sufdt de connaître le dernier terme de l'équation aux carrés des différences, lequel peut être calculé séparément par diverses méthodes dont on trouvera le développement dans la

Section II de cet Ouvrage. En effet, soient a, i, c,

y^ g: les m racines de l'équation y(x) = o; le dernier terme de l'équation aux carrés des différences sera égal, abstraction faite du signe, à l'expression

Cette valeur de V étant supposée connue, soit v son mo-

3oo COURS d'algèbke supérieure.

duie, en sorte que u=^ ±\; désignons aussi par p une limite supérieure des modules des racines de Féquation proposée (n** 46). Les modules des différences

seront inférieurs à ap (n° 39); si donc on suppose que les racines a et i soient réelles, Tcgalité précédente donnera

.<(«-i-)'(v)'«('"-»-», d'où («-6)'>^^^JL__i si donc on prend

h ^- ou <C

la quantité h sera certainement plus petite que la différence de deux racines réelles quelconques. On verra dans la Section II que, si le coefficient du premier terme de l'équation proposée est égal à i et que les autres coefficients soient des nombres entiers, la quantité V est toujours un nombre entier ; on pourra donc, dans ce cas, se dispenser de calculer v», et Ton prendra

à rrr ou <r —

Ce perfectionnement, apporté par Caucliy, a sans doute de rimportance, mais il ne fait pourtant disparaître qu'une partie des inconvénients de la méthode.

140. Nous ne pouvons nous dispenser d'indiquer ici l'usage de l'équation aux carrés des différences pour former les conditions de réalité de toutes les racines de l'équation proposée J'(jc) = o. Si celte dernière équation a toutes ses racines réelles, il est évident que toutes les racines de l'équation aux carrés des différences seront

SECTION I. CHAPITRE VI. i5oi

réelles et positives; donc cette équation sera complète et elle n'offrira que des variations. Si au contraire l'équation y (x) = o n'a pas toutes ses racines réelles, soient a z±L I S deux racines imaginaires conjuguées, Téquation aux carrés des différences admettra la racine négative — 4^^^*^? si elle est complète, elle offrira nécessairement quelques permanences, d'après le théorème de Descartes. Donc :

Pour qu'une équation ait toutes ses racines réelles, il faut et il suffit que l'équation aux carrés des différences soit complète et ne présente que des variations.

Ce théorème donne ainsi — ^ conditions, mais

quelques-unes de ces conditions devront être satisfaites d'elles-mêmes ou rentreront dans les autres, car on a vu au n° 131 que le nombre total des conditions distinctes ne peut pas surpasser m — i .

1 41 . Plusieurs géomètres, après Lagrange, ont cherché à éviter l'emploi de l'équation aux carrés des différences; mais nous n'avons à signaler aucun résultat essentiel, jusqu'à la découverte du théorème de Budan . Ce théorème a une grande importance dans la théorie des équations, et il permet d'effectuer très-simplement, dans la plupart des cas, la séparation des racines. Mais, avant de développer cette application importante du théorème de Budan, je dois parler de la méthode si remarquable qui nous est donnée par le théorème de Slurm, et qui résout de la manière la plus complète et la plus élégante le problème que nous avons en vue. Effectivement, quand on aura formé les fonctions dont ce théorème indique l'usage, on substituera à l'inconnue une suite de nombres croissants

3oa COURS d'algèbre supérieure.

et le théorème fera connaître combien il y a de racines dans rintervalle que forment entre eux deux termes consécutifs de cette suite. S'il y a une seule racine dans Fun des intervalles, cette racine sera séparée; si, au contraire, il y a plusieurs racines, on substituera des nombres intermédiaires, et Ton arrivera infailliblement ainsi à achever la séparation. Il est à peine nécessaire d'ajouter qu'on devra prendre pour termes extrêmes de la suite précédente deux nombres au delà desquels il n'y ait plus de racines réelles.

Les nombres à substituer peuvent être pris arbitrairement; mais dans les applications il conviendra en général de choisir d'abord les nombres

- lOO, — lO, — I, O, -hl, -h lO, -f-IOO, ...,

dont la substitution se fera sans difficulté. Si les substitutions indiquent l'existence d'une ou de plusieurs racines dans un intervalle, entre i et lo par exemple, on substituera les nombres 2, 3, . . . jusqu'à 9, ce qui donnera la partie entière des racines comprises entre i et 10. S'il y a plusieurs racines dans l'un de ces nouveaux intervalles, par exemple entre 3 et 4> on substituera les nombres 3, i ; 3, 2, . . . , et ainsi de suite.

On voit que ce procédé donne non-seulement la séparation des racines, ce qui est Tobjet que nous nous proposons, mais qu'il permet à la rigueur de calculer chaque racine avec un degré d'approximation quelconque.

Il importe de remarquer le cas où l'on sait d'avance que toutes les racines de l'équation proposée sont réelles. Dans ce cas, on peut se dispenser d'employer le théorème de Sturm, ou plutôt on appliquera ce théorème, en prenant pour suite de fonctions, conformément à la proposition du n° 119, celle qui est formée du premier membre de l'équation proposée et de ses dérivées successives*

SECTION I. CHAPITRE VI. 3o3

142. Exemple I. — Supposons qu'on demande de séparer les racines de l'équation

or* -H X* — 4-a?* — 4-^"+" ' = ^*

En supprimant certains facteurs numériques positifs, l'application du théorème de Sturm donnera les fonctions suivantes :

rS

ïî + i.

- 8vC

ces fonctions sont au nombre de cinq, et leurs premiers termes sontpositifs : donc l'équation proposée a ses quatre racines réelles. Les règles des n°* 113 et 114 indiquent que les racines sont toutes comprises entre — 2 et -h 2, ce qui s'accorde avec les résultats des substitutions. La substitution des nombres

— 2, — I, o, -hi, -1-2, dans la suite des fonctions V, donne les résultats suivants :

Il y a deux variations perdues dans le passage de — 2 a

3o4 COURS D* ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

— I y une dans le passage de o à i et une dans le passage de I à 2 ; réquation proposée a donc deux racines entre

— a et — I , une racine entre o et i et une autre i et 2. Il reste à séparer les deux racines comprises entre — i et — 2. Or, d'après le tableau précédent, on voit que la première des fonctions V est positive poura: = — 2, ainsi que pour x = — i , et Ton trouve qu'elle est néga-

live pour x = ; donc les deux racines négatives sont

comprises, Tune entre — i et — i, 5, l'autre entre — 1,5 et — 2.

Exemple II. — Prenons pour deuxième exemple l'équation

j?* -f- j:* — jr* — \r* -t- X* — j: -h l = o j

on trouve, dans ce cas,

V r= .r^ -h Jc* — a:* — ar* -H j:* — x -4- i ,

On reconnaît, par la méthode du n° H4, que l'équation

proposée ne peut avoir de racines réelles en dehors des

limites — 0,6 et -f- i. Or l'équation V4 = o a ses deux

racines réelles, mais l'une d'elles est comprise entre — i

et — 0,6, l'autre entre -f- i et -f- 2; donc il est inutile,

pour notre objet, de calculer V5 et Ve. La suite des signes

des fonctions

V, Vj, Vj, Y5, V4

est, pour X = — 0,6,

SECTION I. CHAPITRE VI. 3o5

et, pour X = 4- I , cette suite devient

îl y a, dans les deux cas, deux variations; donc l'équation proposée n'a point de racines réelles.

Méthode de Fourier pour la séparation des racines.

i43. La méthode de Sturm ne laisse rien à désirer sous le rapport de la perfection théorique ; malheureusement le calcul des fonctions dont cette méthode exige l'emploi peut devenir très-pénible, môme dans des cas fort simples; ainsi, dans le second des exemples que nous venons de présenter, le nombre constant \\ qui terminerait la suite complète des fonctions n'a pas moins de quarantequatre chiffres. Aussi est-il plus avantageux, dans un grand nombre de cas, de se borner à l'emploi du théorème de Budan. Ainsi que nous l'avons dit déjà, Fourier avait trouvé de son côté ce théorème, et il a montré dans son analyse des équations comment on peut en tirer parti pour effectuer la séparation des racines réelles d'une équation, et obtenir en même temps le nombre exact de ces racines. Nous allons indiquer ici cette méthode de Fourier; mais, afin d'apporter plus de clarté dans notre exposition, nous commencerons par établir une proposition dont nous aurons à faire usage.

Lemme. — Soient f{x) une fonction entière de la variable X et f'[^)yf"{x) Ig^ deux premières dériv^ées def{x). Si l'on fait croître x entre deux limites Xq et X qui ne comprennent aucune racine de l'équation

f'{x) ==0y la fonction ^(x) == x — }' ' croîtra tant

que f(^x) et f"[x) seront de même signe, et elle dé-

S., Alg, sup. — L ao

3o(> COI] us d'algèdue supérielrb.

croîtra tant qu€f[x) et f"{x) seront de signes con* traires.

On a effectivement

aura le signe de -^7^, , ou le signe àe f{a:)f"{x)

pour toutes les valeurs de u comprises entre — h et -h A, pourvu quey*'(x) ne soit pas nulle. En conséquence, si X croit de Xo à X et que ces limiles ne comprennent aucune racine de l'équation y'(x) = o, la fonction ^(^r) croîtra ou décroîtra suivant quey{x) ety''(.r;) seront de même signe ou de signes contraires, ce qui est la proposition énoncée.

Corollaire I. — Si l* équation f(^x)=zo a deux racines réelles comprises entre les limites a et 6 >- ot, mais quelle n en ait pas un plus grand nombre; si, en outre, V équation f" [x) = o na aucune racine entre les méities limites, on aura

d'où

y(.r-t-a) — y(x) f[j:]f''[x)+t u " /''(.rj-h,, '

{ et r; désignant des quantités qui s'évanouissent avecu; il résulte de là que, si h désigne une quantité positive dont le module soit sufTisamment petit, la quantité

SECTION I. CHAPITRE VI. Zoj

En effet, soient a:' et a:'' >x' les racines de/{x) = o comprises entre a et j3; comme f"{x) ne peut changer de signe, quand x varie entre ces limites, la fonction y [x) est constamment croissante ou constamment décroissante, et il en résulte que l'équation y (x) = o ne peut avoir qu'une seule racine entre a cto; d'ailleurs cette racine existe d'après le théorème de Rolle, et elle est coni' prise entre x' et x". D'après la proposition du n° 120,

les rapports ^\ \ ? -,/, \ sont négatils quand x croit de

a à x' , tandis qu'ils sont positifs quand x croît de x" à 6; donc, dans l'un et l'autre cas, f{x) elf"[x) sont de même signe, et, par conséquent, la fonction

a ( .r ) = jc — — ;

est croissante. On a donc

?(«)<?(-^')» ?(-^")<?(S)- D'ailleurs on a

d'où

donc, à plus forte raison,

ou

ce qui est le résultat annoncé.

Corollaire II. — Si l'équation f'{x) = o a une racine Xi entre aetè'^a, et que les équations/ [x) = o, /^ \^x) = o n'aient aucune racine entre ces limites; si, en outre, les fonctions f[x)jf" [x) sont de même signe,

3o8 COURS d'algèbre supérieure.

pour les valeurs de x comprises entre a et S y l'inégalité

pourra auoir lieu, mais elle cessera nécessairement de subsister si l'on augmente a ou que l'on diminue S d'une quantité com^enable.

D'après notre hypothèse, la fonction ç(a:) croît quand X augmente de akx^ ou de x^ à S. Il s'ensuit que, si Ton ibit décroître x de S kxt, la fonction

croîtra depuis la valeur initiale cf(a) — ?(6) jusqu'à -+- 00 . Pareillement, si Ton fait croître x de a à X|, la fonction

croîtra aussi depuis o(a) — c^(o) jusqu'à 4-oo . Si donc a' et 6' désignent des valeurs comprises entre a et Xi, Xi et o respectivement et suffisamment approchés dexo on aura

c'est-à-dire

144. Cela posé, soity*(j:) = o une équation donnée du degré m, et considérons la suite

formée par la fonction y (x) et ses dérivées successives. Pour effectuer la séparation des racines, on procédera de la même manière que par la méthode de Sturm, et l'on

substituera à x, comme nous Tavons indiqué au n^ I4I9 une suite de nombres croissants

compris entre les limites des racines.

Si, dans le passage x == a à x = 6, la suite des signes des fonctions (i) ne perd aucune variation, Téquation f{xj=^o n'aura aucune racine réelle comprise entre a et 6. S'il y aune seule variation perdue, réquationy(x) = o aura une seule racine entre a et 6, et cette racine sera séparée.

S'il y a deux variations perdues en passant de x = a à x = o, il peut arriver que réquationy(x) = o ait deux racines entre a et 6 ou qu'elle n'en ait aucune; on a vu que, si le dernier cas a lieu, l'équation a nécessairement deux racines imaginaires. Nous allons indiquer comment on peut distinguer ces deux cas l'un de l'aulre, lorsque la perte de deux variations se manifeste dans la portion de la suite (i) qui est formée par les trois premières fonctions

Comme le théorème de Budan s'applique à l'une quelconque des fonctions de la suite (i), il résulte de notre hypothèse que l'équation f"{jc) = o n'a aucune racine comprise entre a et 6. Si donc on a

on sera certain, d'après le lemme du n° 143 (corollaire I), queréquation^(x)= o ne peut pas avoir deux racines réelles entre a et o. Lorsque l'inégalité précédente n'est point satisfaite, il faut substituer dans^(x) eif'{x) un nombre a compris entre a et 6; si f{a) est de signe

3io COURS d'algèbre supérieure.

contraire à y( a) ety(S), il y aura deux racines réelles comprises Tune entre a et a, Faulreentrea et S; mais, siy(rt)estdemêmesignequey(a) ety*(6), on connaîtra, par les substitutions faites dans la suite (a), quel est celui des deux intervalles de a à a ou de a à 6 dans lequel il peut exister deux racines. On appliquera alors à ce nouvel intervalle ce qui a été dit du premier, et, après quelques essais du même genre, on arrivera généralement à connaître la nature des deux racines ; cela suppose, bien entendu, que Téquation proposée n'a pas de racines égales.

145. Considérons maintenant le cas général, et désignons par /In le nombre des variations perdues par la suite

dans le passage de x = a à x= S. Ce nombre âin est ce que Fourier nomme Vtndice relatif à /'"(a:) ; l'indice relatif ày*(x) sera donc représenté par Ao, et celui qui se rapporte à la dernière fonction y''" (a:) sera zéro, en sorte que la série

(3) Aq, a,, A„ . . ., ^m-\^ o

comprendra les indices des m + i fonctions (i); il esl évident que, dans cette suite, deux termes consécutifs sont égaux entre eux ou ne diffèrent que d'une unité; ainsi Ton a

A/i=:A,^, — I, ou =A;^., ou A/4.1 -Hi.

Nous avons examiné plus haut le cas de Zio = o et celui de Ao=i; dans le premier cas, réquationy(j:) = o n'a aucune racine entre a et 6 ; dans le second cas, l'équation a une seule racine entre les mêmes limites. Il importe de remarquer que, si Ton a Ao = i, on peut, en

SECTION I.' CHAPITRE VI. 3ll

diminuant Pintervalle de a à 6, faire en sorte que A| = o ; en effet, f[x) = o n'a qu'une seule racine ocf entre a et S, el, par suite, elle ne peut avoir, avec sa dérivée, aucune racine commune comprise entre a et 6; donc, en remplaçant les limites a et /3 par deux autres suffisamment rapprochées, on pourra toujours faire en sorte que l'équation y ( a?) = o n'ait aucune racine dans le nouvel intervalle; alors, la suite (i) ne perdant qu'une seule variation, on aura A< = o.

Supposons actuellement que Ao = 2 ou Ao^a. Parcourons la suite (3) en partant de la gauche, justpi'à ce que nous trouvions un indice égal à i : soit ^n ce premier indice égal à l'unité ; la méthode que nous allons développer a pour objet de reculer successivement l'indice A„ vers la gauche de la suite (3), ou, ce qui revient au même, de diminuer le nombre n qui marque le rang de l'indice. L'indice A;,< qui précède A;, ne peut être égal à I, par hypothèse ; donc il est o ou 2; mais, si l'on avait A;,< = o, comme Ao est au moins égal à 2, en remontant la suite ( 3 ) à partir de A;,< , on rencontrerait nécessairement un indice égal à 1, ce qui est contraire à l'hypothèse; ainsi l'on a A;,| = 2, en sorte que le premier indice A;, égal à 1 est nécessairement précédé d'un indice égal à 2. Or, si ce même indice n'est pas suivi d'un indice A^^j égal à zéro, on pourra toujours, comme on l'a vu plus haut, trouver deux, limites a', 6' comprises entre a et 6 et qui ne comprennent aucune racine de . l'équation/'''"*'* (or) :=o; Tintcrvalle de a à 6 sera alors partagé en trois autres, savoir celui de a à a', celui de a à 6' et celui de 6' à 6. L'équation f"[x) = o n'a aucune racine dans le premier et dans le troisième intervalle; donc, pour chacun de ceux-ci, l'indice A;, est zéro, et, en conséquence, le premier indice égal à i est reculé vers la gauche de la suite (3). A l'égard de l'intervalle

3 ta COI3TIS d'algèbre supérieure.

ilont af ei& sont les limites, il peut arriver que À^ ne «oît plus le premier indice égal à i ; dans ce cas, ce premier indice se trouyera reculé vers la gauche. Mais il peut arriver aussi que A„ demeure le premier indice égal à ly et alors on a simultanément

Tant que ce dernier cas ne se présentera pas, on pourra reculer le premier indice i vers la gauche de la suite (3), jusqu'à ce que cet indice y occupe le premier rang, et Ton se trouvera dès lors dans le cas de A© = i qui est celui d'une seule racine comprise dans rintcrvalle dont on s'occupe.

Ainsi nous n'avons plus à considérer que le cas où le premier indice A„ égal à i est précédé d'un indice égal à 2, et suivi d'un indice égal à o. L'équation y*"— • (x)=o peut alors avoir deux racines réelles entre a et 6, mais elle peut aussi n'en avoir aucune; on distinguera ces deux cas l'un de l'autre, au moyen de la règle exposée au n° 144. En même temps cette règle donnera le moyen de séparer les racines, si elles sont réelles et inégales; l'une d'elles sera comprise entre a et un certain nombre «, la seconde entre a et 6 ; à chacun de ces nouveaux intervalles répondra une série d'indices dans laquelle le premier terme égal à i se trouvera reculé vers la gauche au delà de A,,. Sil'équalion /*'*"* (x) = o n'a aucune racine réelle entre a eto, on reconnaît, en se reportant à la démonstration du théorème de Budan, que chacune des équations

(4) /«-«(^):=.o,/«-3(.r) = o, ..../(.rj^^O, /(.r)=0

a deux racines imaginaires. En effet, il résulte de nos

SECTION I. CHAPITRE VI. 3l3

hypothèses que VéqasLÛonf"[x) = o a une racine entre a et 6, laquelle, substituée clansy'»~*(x) et clansy"+*(x), donne des résultats de même signe ; donc la suite des trois fonctions

perd deux variations dans le passage dca: = a k x= S. En conséquence, cette circonstance introduit dans les indices

une partie égale à 2 que Ton peut supprimer, car chaque indice n'exprime autre chose, dans cette théorie, qu'une limite supérieure du nombre de racines réelles que peut avoir l'équation correspondante, dans l'intervalle considéré. Alors on aura, après cette suppression de deux

unités,

en sorte que le premier indice égal à i se trouvera reculé vers la gauche.

Il peut arriver que l'équation y'''~'(a.*) = o ait deux racines égales comprises entre a et 6 ; il est facile de voir que la conclusion est la môme que dans le cas de deux racines imaginaires, à moins que l'équation proposée n'ait des racines égales. Si la racine double dont nous nous occupons appartient à chacune des équations (4 )> la proposée aura n-f-i racines égales à cette racine.

1 i6. Exemple I. — Je choisirai pour premier exemple réquation

3l4 COURS d'algèbre SUPÉRIBURB.

déjà considérée au n° 142. On a

/(jc) = x'-hx* — ar* — JT* + X* — JT -4- I, •^^ =6^»-+- 5**— 4x»— 3.r«-4- 2.r -i.

= 1 5 j?* -f- 1 o j?* — 6x* — Sx -+- 1 ,

= 20J?'-f- IO.r* — 4^ — '1

= l5x*-f- 5jr — I,

Les racines réelles de réquationy(a:) = o sont comprises entre — i et -h i ; substituons les nombres

-5 o, H > • -hl

dans la suite

/(x), f (x), /»(.r), /«(x), /"(x), /'(x), /"{x), on obtiendra les résultats suivants :

rw

rW

SECTION I, — CHAPITRE VI. 3l5

Il y a deux variations perdues de — i à ? deux au très

de o à -> deux enfin de - à i.

On reconnaît immédiatement qu'il n'y a point de racines réelles entre - et i, parce que Ton a

ce qui donne

Pour l'intervalle de o à -? la série des indices est

le premier indice i étant suivi d'un autre indice égal à i ,

il nous faut resserrer nos limites. La substitution de -7

donne les résultats

d'où il suit qu'il n'y a aucune variation perdue de o à -7;

il suffit de considérer l'intervalle de -7 à -; la série des indices qui répondent à cet intervalle est

3i6 COURS d'algèbre supérieure.

comme on a

d'où

on conclut que l'équation f"{x) = o n'a pas de racine entre -^ et - : donc la proposée elle-même n'en a pas dans

cet intervalle (n°145).

Enfin la série des indices pour rintervalle de — i

a est encore

on a

/•(-ii=6, r(-i) =-4'.

ce qui montre que l'équation y"(x) =o n'a pas de racine entre et — i ; la proposée elle-même n'en a donc

aucune dans cet intervalle.

Ainsi les six racines de notre équation sont imaginaires, comme nous l'avons déjà reconnu à l'aide du théorème de Slurm.

SECTIOIf l. CHAPITRE VI. iiy

Exemple II. — Je considérerai encore Téquation

J?® — I 2.r' -+■ 6oJî^ -f- 1 23.r* -+■ 4567 Jr — 890 1 2 zrz G,

traitée par Fourier. On a ici

/(jr) =:x« — 1 2ar*-+- 60 x*-hl 23 j:* -+-4567 Jr— 8901a.

fir] — ^ — = 6.r*— 6o.r* -f- 240^' -h 246.r -h 4567,

= 20 X* — 1 20 Jf' ■+- 2400:,

= i5x* — 6ojr-h6o,

Soit 6 une quantité positive aussi petite que Ton voudra. En substituant les nombres

... — 10, — I, — «, -hc, -hi, H-io, ..., on obtient les résultats suivants :

JC

-hlO

Comme il y a six variations perdues dans le passage

3i8 covRS d'algèbre supérieurs.

de — lo à -f-io, les racines réelles sont toutes comprises entre ces limites.

De — loà — I, ilya une variation perdue; il y a donc, entre ces limites une racine unique qui est ainsi séparée.

De — e à-he ilya deux variations perdues, ce qui indique deux racines imaginaires. Enfin, de -+-i à -hio il y a trois variations perdues, donc il y a entre ces limites une ou trois racines réelles.

La série des indices relatifs à l'intervalle de i à lo est

Of 2f 2f 2f 2f If Of

on a ici

ce résultat montre que Tintervalle de i à lo est trop considérable pour qu'on puisse reconnaître la nature des racines par une seule opération. Mais, avant de diminuer cet intervalle, il convient d'examiner si l'équation ^'^(j:) = o n'aurait pas deux racines égales comprises entre i et lo. On reconnaît effectivement que x — 2 est un diviseur àef*^[x) et dey^(x); d'ailleurs ce binôme ne divise pas toutes les fonctions /'"(x),. . .ff[jc) qui précèdenty'''(x) ; donc on pourra retrancher 2 des cinq premiers indices. On obtiendra ainsi la nouvelle série

qui montre que la séparation des racines est terminée. Ainsi Téquation proposée n'a que deux racines réelles, l'une entre — i et — lô, l'autre entre -Fi et 4-10.

Séparation des racines imaginaires.

147. Si f{z) désigne une fonction entière de la variable imaginaire z = x-hijf dans laquelle les coeffi-

SECTION I. CHAPITRE VI. DIp

cîents soient des quantités données réelles ou imaginaires, on pourra efTectuer la séparation des racines de Téquaiion f[z)=Oy en faisant usage de la proposition que nous avons établie au n° 137.

Effectivement, si Ton trace deux axes de coordonnées rectangulaires ox et oj% puis qu'on mène à l'un des axes, celui des y par exemple, des parallèles qui répondent aux abscisses

jtq, j?|, jr2, • • • f

on pourra déterminer, par le théorème du n" 137, le nombre des racines comprises entre deux parallèles consécutives. S'il n'y a qu'une seule racine dans l'un des espaces ainsi déterminés, cette racine sera séparée, conformément à la définition du n° IH; s'il y a plusieurs racines comprises entre deux parallèles consécutives, on pourra achever la séparation par le moyen de parallèles Intermédiaires, à moins que plusieurs racines n'aient la mcmc partie réelle.

On connaîtra ainsi deux racines aussi rapprochées Tune de l'autre que l'on voudra, entre lesquelles sera comprise la partie réelle a: de chaque racine. Si l'on veut avoir en même temps des limites de la valeur correspondante ou des valeurs correspondantes de j>^, on y parviendra en menant des parallèles à l'axe des x ; celles-ci, avec les deux parallèles à l'axe des r qui comprennent les points racines que l'on considère, détermineront divers rectangles, et le théorème du n" 136 fera connaître quels sont ceux de ces rectangles qui rcnienncnt les racines dont on s'occii[)e.

320 COURS d'algèbre SUPiRIBURS.