DU CALCUL DES RACINES DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES

Recherche des racines commensurables des équations

à coefficients rationnels.

148. Le calcul des racines d'une équation numérique offre d'autant plus de difficultés que le degré de l'équation est plus élevé. Aussi, lorsqu'une équation donnée n'est pas irréductible et que l'on sait effectuer la décomposition de son premier membre en plusieurs facteurs, il faut commencer par opérer cette réduction. En particulier, toute équation qui a des racines hiultiples devra être remplacée par une ou plusieurs autres qui n'aient que des racines simples ; cette suppression des racines égales n'est pas seulement utile, elle est souvent indispensable, ainsi qu'on a pu s'en convaincre en étudiant les théories que nous avons développées dans le précédent Chapitre.

Lorsqu'il s'agit d'une équation dans laquelle les coefficients sont des nombres rationnels et que celte équation a des racines commensurables, on peut les obtenir par une méthode très-simple que nous allons exposer. Les racines commensurables étant connues, si leur nombre est égal au degré de l'équation, celle-ci sera résolue ; dans le cas contraire, on pourra les supprimer par le moyen de la division, et l'on sera ramené à une équation plus simple. Cette détermination des racines commensurables doit, comme on le voit, précéder toute autre recherche.

SECTION I. CHAPITRE Vil. 321

149. Lorsque les coefficients d'une équation sont rationnels, on peutchasserles dénominateurs qu'ils peuvent contenir ; ces coefficients deviennent alors des nombres entiers. Cela posé, la recherche de toutes les racines commensurables se ramène à celle des racines entières, au moyen de la proposition suivante :

Théorème. — Lorsque le premier terme d'une équation a pour coefficient l^ unité et que les autres coefficients sont des nombres entiers ^ V équation ne peut ay^oir pour racines commensurables que des nombres entiers.

En effet, soit Téquation

/(x) 1= jT'^-h Aj -c'"-» 4- . . . -+- A,„i j: -h A,„ = G, dans laquelle les coeflîcients A| , . . . , A;„ sont des entiers.

Substituons à x une fraction irréductible quelconque -» on aura

or, pour que j fût racine de réquationy(x) = o, il faudrait que Ton eût

fl'«

— /i| C# — . . . — Affi U ,

ce qui est impossible, puisque le second membre est un nombre entier, tandis que le premier membre est une fraclion irréductible ; donc Téquation proposée ne peut avoir une racine fractionnaire.

D'après cette proposition, pour avoir toutes les racines rationnelles d'une équation à coefficients entiers, il suffira de transformer l'équation proposée en une autre (n^ 58) dans laquelle le coefficient du premier terme soit l'unité,

S. — Al}^, sup., I. 21

32a couKS d'algèbre supérieure.

les autres coefficients étant entiers, et de déterminer les racines entières de la transformée.

Soit

Ao x"» 4- A, x""-^ -h ... -h A;„-, jr -h A,„ = o

l'équation proposée ; on poserai = - (n°58), et la transformée sera

Aq Aq Ao

le nombre entier a devant être choisi de manière que les

expressions

A, a Aï a* A,„ a*"

Ao Aq Aq

se réduisent à des nombres entiers. Il est évident qu'on satisfera à cette condition en prenant a = Aq, mais on remplira souvent l'objet demandé en donnant à a une valeur inférieure à Ao. Quand les racines entières delà transformée en z auront été obtenues, en les divisant para, on aura les racines commensurables de la proposée.

150. Il nous reste à indiquer comment on déterminera les racines entières d'une équation

(1) /(.r) = Ao:c"*-h A,j:"'->-+-. . . 4-A,;,iX H- A;„=:0,

dans laquelle les coefficients Ao, A|, . . . , A;,, sont des nombres entiers sans diviseur commun.

Dire que a est une racine de cette équation, c'est dinr que le premier membre /(x) est exactement divisible par X — a; représentons le quotient de la division par

on aura

el, SI a est un nombre entier, il est évident que les coefficients du polynôme y (\r) seront aussi des nombres entiers. En elTectuantle produit indiqué dans le second membre de la précédente égalité, et en écrivant que les coefficients des mêmes puissances de x dans les deux membres sont égaux entre eux, on trouve

a 'Am-t= «B;„-3 — B/w-ii d'où B;„s:= ^^^ -~ ^

Al = ûBq — Bi, Bo = 9

Ao =:— Boî O =Ao-hBo,

et réciproquement, si les relations précédentes sont satisfaites, la formule (2) aura lieu identiquement; donc, pour que le nombre entier a soit une racine de l'équation proposée, il faut et il suffit que les valeurs précédentes de 13m-i> ^m-2y •••> Bo soicut dcs nombrcs entiers, et que le dernier de ces nombres soit égal à — Ao . Ainsi les conditions auxquelles on reconnaîtra qu'un nombre entier positif ou négatif est racine d'une équation sont les suivantes :

Il faut et il suffit quHl dii^ise exactement le dernier terme de V équation; quHl dit^ise la somme obtenue en ajoutant le quotient de cette dii^ision ay^ec le coefficient de la première puissance de Vinconnue, qu'ail div^ise la somme obtenue en ajoutant le quotient de cette deuxième dii^ision a^ec le coefficient de la deuxième puissance de r inconnue; et ainsi de suite, jusquà ce quon arrivée à