SI

3a4 COURS d'algèbre supérieure.

ajouter un dernier quotient ai^ec le coefficient du premier terme de Inéquation, ce qui det^ra donner une somme égale à zéro.

On peut disposer de la manière suivante ropéralion qu'on exécute pour essayer un nombre a :

Aj * ' • , -^m— 1

— Bq • • • I ^m—1

— Bm-l

Les coefficients de l'équation ayant été écrits sur une première ligne horizontale, on divise le dernier coefficient Am para et Ton écrit au-dessous de ce coeffîcienlle quotient obtenu — B;;,| changé de signe. On divise ensuite para le coefficient A;„, augmenté du premier quotient B^^^ et Ton écrit au-dessous de Am^t le deuxième quotient obtenu — B;„2 changé de signe. On continue de la même manière jusqu'à ce que l'on ait écrit au-dessous du coefficient A| le quotient changé de signe — Bo obtenu en divisant par a la somme A| -h B4. Si Tune des divisions ne se fait pas exactement, ou si la somme A© -h Bo n'est pas nulle, le nombre essayé a n'est pas racine. Dans le cas contraire, le calcul qu'on vient d'exécuter fournit les coefficients du

fix) ,

quotient ; et, pour trouver les autres racines entières, il suffit d'appliquer la même règle à ce quotient, et ainsi de suite.

Les nombres qu'il faut ainsi essayer sont les diviseurs du dernier terme de Féqualion pris avec les signes -|- et — ; toutefois on devra rejeter ceux des nombres ainsi obtenus qui tomberaient en dehors des limites des racines et ceux qu'on peut avoir reconnus comme n'étant pas des racines. Par exemple, si a est une racine entière, l'identité (a), savoir :

donnera

cl^aillcurs les coefficients de (f {x) étant entiers, 9(=t i) est un nombre entier. Donc : le nombre entier a ne peut être une racine de V équation f [x) = o sif[dz i) nest pas divisible par a ip i .

Quant aux résultatsy(zb i) de la substitution de dz i à Xj ils s'obtiennent par de simples additions ou soustractions entre les coefficients de f{x) ; on peut donc reconnaître immédiatement si Téquation proposée admet les racines -|- i et — i .

Exemple. — Soit Téquation

/(.r) =: jr* — Zf\Jr:^ -\- ag.r'-f- 21 2J?— 3oo :

on a

en conséquence H- i et — i ne sont pas racines. On reconnaît immédiatement que toutes les racines réelles sont comprises entre — 6 et -1-6; les seuls diviseurs de 3oo qu'il y ait lieu d'essayer sont donc dz 2, zh 3, it 4> dt 5; mais il faut rejeter -1-3, parce quey{ — i) n'est pas divisible par 4> ainsi que — 2, zh 4 et — 5, parce que ces nombres diminués de i ne sont pas des diviseurs de /"(-H i); on devra donc se borner à l'essai des nombres 2, — 3, -h 5 et l'on disposera le calcul comme il suit :

— 3oo

L'essai du diviseur 2 ayant réussi, on doit renouveler cet essai qui réussit encore; la troisième ligne du tableau qui

précède renferme les coefficients du quotient — - — r^> et,

comme le dernier de ces coefficients n*est pas divisible par 2, on passe au diviseur — 3, qui est racine; enfin l'essai du diviseur 5 ne réussit pas, et il en résulte que Téquationproposéen'aque trois racines commensurables, savoir deux racines égales à H- a et une racine égale à — 3. La dernière ligne du tableau donne les coefficients du

quotient ry-.- ^. ? lequel est ainsi x^-hJC — 20,

et la résolution de la proposée est ramenée à celle de Téquation du deuxième degré x^~hx — 25 = o.

Tliéorie des différences,

\ 51 . Lorsqu'on veut effectuer la séparation des racines réelles d'une équation, ou que l'on se propose de resserrer les limites entre lesquelles se trouve comprise une racine déjà séparée, on est conduite calculer les résultats de la substitution de divers nombres à l'inconnue, dans certaines fonctions entières de cette inconnue. Dès que le nombre de ces substitutions devient un peu considérable, il est indispensable de diriger le calcul d'une manière régulière et méthodique, ce à quoi l'on parvient par le moyen de V algorithme des différences que nous allons exposer ici.

Soit

une suite limitée ou illimitée de quantités assujetties à une loi quelconque. Si l'on retranche chacune de ces quantités de celle qui la suit immédiatement, on formera une nouvelle suite que nous représenterons par

(^) Az*o, Atfi, Ai/„ ,.., Aii„, ....

SECTION I. — chapithe vil. 327

Les quantités {'2) sont dites les différences premières ou les différences du premier ordre des quantités (1), et Ton a, pour toutes les valeurs de l'entier fx,

Si Ton opère sur la suite (a), comme nous venons de le faire sur la suite (1), op formera une troisième suite que nous représenterons par

(3) A'wq, A'wj, A'tt,, ..., à!^iin, ....

Ces quantités ( 3 ) sont les différences premières des quantités (2); elles sont diles aussi (ii|^êVe/2cre.çrfeaxième5 ou différences du deuxième ordre des quantités (i), et Ton a, quel que soit yi,

A*w^= Aw^, — A£#^.

Si la suite (1) renferme un nombre illimité de termes, on pourra poursuivre indéfiniment la même série d'opérations et Ton formera de cette manière une infinité de suites nouvelles qui comprendront les différences troi^ sièmes ou du troisième ordre des quantités (1), celles du quatrième ordre, et ainsi de suite ; on aura généralement, quel que soit /2,

à^-^^Uy, = A" 1/^4.1 — A^i/^.

Mais, si la suite (i) ne renferme qu'un nombre limité, /n -h I de quantités, il est évident qu'il n'y aura que m différences premières, m — i différences deuxièmes, et généralement m — tî 4- i différences du n'**"* ordre ; ainsi, dans l'ordre m, il n'y aura plus qu'une seule différence. On peut avoir à considérer des suites de quantités illimitées dans les deux sens, telles que

Nos définitions n'exigent, pour ce cas, aucune modifica-

tion, et Ton aura toujours

Ai/^ = w^+, — u^, A«+* u^ = à" tt^i — A" u^

pour toutes les valeurs positives, nulles ou négatives de l'indice ^.

152. Expression générale des différences d'un ordbe QUELCONQUE. — Nous nous proposoDS de donner ici Texpression générale de A" Mo en fonctions des quantités (i). On a d'abord

(4) A£/o = «t — «0, puis

et, en retranchant l'égalité (4) de la précédente, il viendra

(5) A*i/o = Wi — 2tti -4- «0-

Comme Uq, M|, u^ peuvent être considérés comme trois termes consécutifs quelconques de la suite proposée, il est évident que Ton aura aussi

et, en retranchant Tégalité (5) de la précédente, ou obtiendra

(6) A' I/o = «3 — 3tt, -f-3tti — «5,

On aperçoit aisément, sans qu'il soit nécessaire de poursuivre ces opérations, que Ton doit avoir, quel que soit n,

les coefGcients numériques du second membre de cette

SECTION I. CHAPITRE Vil. 829

expression n'étant autre chose que ceux de la puissance pleine (j'un binôme pris alternativement avec les signes -H et — . La formule (7) étant vérifiée dans le cas de /i = i, il suffit, pour en démontrer l'exactitude, d'établir que, si elle a lieu pour une valeur quelconque de /i, elle subsiste pour la même valeur augmentée d'une unité. Supposons donc que la formule (7) ait lieu pour n = fx; en l'appliquant aux w-f- 1 premiers termes de la suite proposée, puis aux fx-j-i termes qui suivent le premier Uo> on aura

si l'on retranche la première de ces égalités de la seconde, et que l'on ait égard à l'identité

__ (f*-4-l)p(f* — 1). ..(fX — /•-f-2)

il viendra

AS^^-» I/o = //^+, — '*--— «^ -h ii^-tLl?^ u^,'-...^{-i jî*-^» I/o,

ce qui est précisément le résultat fourni par la formule (7), quand on fait dans celle-ci n = ii-i-i.

i53. Expression du terme général d'une suite en