FONCTION DU PREMIER TERME ET DE SES DIFFÉRENCES

On a, d'abord,

(9) 1/1 = I/o -h Ai/o,

puis

Ai/| = Ai/o -+■ A'tto,

33o COURS d'algèbre supérieure*

et, en ajoutant cette égalité à l'égalité (9), il vient

(10) 1/, = Uq-+-iauo 4- a'i/q;

on peut appliquer à la suite (a) des différences premières la proposition exprimée par la formule précédente, ce qui donne

cette formule étant ajoutée à la formule (10), il vient

(11) II, = 1/0-+- 3Ai£o-4- 3A'tto-+- A'iio.

Ces résidtals nous permettent d'écrire immédiatement la formule générale suivante :

(12) Un = Uo-h- Ai/oH-— 5^ ^A'tto^-—-+--A "o-i-A «•»

dans laquelle les coefficients numériques sont ceux do développement de la n*«"« puissance d'un binôme. Celle formule est vérifiée dans le cas de /i=: i, et, pour en démontrer Ja généralité, il suffira d'établir que, si elle a Heu pour une valeur quelconque [x de tî, elle subsiste pour n = ix-\- i.

La formule (12) ayant Heu par hypothèse pour /i = u, nous pouvons l'appliquer non-seulement à la suite (i', mais aussi à la suite (2) que forment les différences premières; on a donc

u^ = Uo -r- ^ A//0 -H ^^^-^I^ A* I/o 4- ... +- A^-* u^ 4- AJ'tfo. *^ I 1.2 1

A//. -- Awo -1- - A' I/o -f- ^-^-—^ A' «0 + •••-+- - Aï'i/oH- AH-*iio; ^ I 1.2 I

ajoutant ces égalités et ayant égard à la formule (8), il /ient

^ Auo -h ^-^- - -^ A* I/o 4- ... 4- A»'-»-^iio,

ce qui est le résultat que donne la formule (12) quand on y fait « = (x 4- i .