Différences des fonctions entières. — Soit

une fonction entière de x. Donnons à x les valeurs successives

qui forment une progression arithmétique dans laquelle la différence constante est égale à /i, et désignons par

. . . tt— 1» ^0» "1» ^1* • • •» ^n • ' •

les valeurs correspondantes de u. Ces valeurs, ainsi que leurs différences du premier, du deuxième, etc., ordre, seront données par les formules

Ali=:/(.rH-A)-/(a:), A«i/ =/(.r -f- 2^) — 9/[x + h) -4-/(x),

OÙ il suffira de substituer successivement à x les valeurs

... (xo — h), Xof {xo-hh)y Les quantités ÙUy Ù^Uy ...

seront dites les différences première, deuxième, etc., de la fonction u,

THÉoaÈMR. — La différence m}^^^ d' une fonction entière de Xy du degré m, est constante.

Soit

u =f[x) = A» x'» -f- Al x'»-* -h . . . -4-A;„iX -h Xm

une fonction entière du degré m\ on aura

ùiU=f{X'^h)—f(x)

le second membre de celle formule est une fonction entière de X du degré m — i , dans laquelle le coefficient de jc'""* est évidemment mAo A; on a donc

ce qui montre que la différence Au d'une fonction eutière u du degré m est une fonction entière du degré m — i et que le premier terme de Au s'obtient en multipliant par h la dérivée du premier terme de u. Cette proposition nous donne immédiatement les résultats suivants :

A* w = m ( m — I ) Aq ^*ar'"-» -f- . . . ,

A* uz^m[m — i][m — 2) A© A'^'"~*-+- • • .,

A'"^ = w (m — i). . .2.iAo^'";

on voit que la différence m**"* A'"u est indépendante de a:, et qu'elle s'obtient en multipliant par A"* la m**^ dérivée de u, ce qui démontre le théorème énoncé.

Il résulte de là que les différences de u des ordres supérieurs k ni sont nulles.