h, Xq — h^ JTo, jtq -f- ^, j:o-+-2A

dans une fonction entière u =f{^x) du degré m, il suffira de calculer directement les résultats de la substitU' tion de m termes consécutifs de la suite, après quoi on obtiendra les résultats de la substitution de tous les au* très nombres par de simples additions.

En effet, considérons le tableau suivant clans lequel on trouve la série des valeurs que prennent la fonction u et toutes ses différences jusqu'à celle de Tordre m, quand on donne à x toute la série des valeurs . . . x© — h, Xq^

Xq — T" " » ....

JT, H- l/i

A'tt,

l/rt-l

irn-l

Pour construire ce tableau, nous calculons directement les m valeurs de u qui répondent à m valeurs consécutives de Xf et nous les inscrivons en regard de ces valeurs dans la colonne qui est intitulée u. Nous formons ensuite les différences successives de cette suite de m termes, jusqu'à l'ordre rn — i , et nous écrivons les résultats dans les colonnes respectives intitulées Azz, A^w, ..., A'""*u; nous avons ainsi m — i termes dans la colonne /lu, m — 2 dans la colonne A^u, . . . , i terme seulement dans la colonne A"*""* u. Mais la différence A'" a est constante et sa valeur est connue d'avance; on peut donc former la dernière colonne du tableau et la prolonger indéfiniment en haut et en bas. Cela fait, on a tout ce qu'il faut pour prolonger les diverses colonnes du tableau aussi loin que l'on voudra, soit en haut, soit en bas. En effet, chaque terme de l'une des colonnes marquées m, A//, ... est égal à celui qui est au-dessus de lui, augmenté du terme qui correspond à ce dernier dans la colonne suivante, ou égal à celui qui est au-dessous de lui

334 COURS d'algèbre SUPÉRIEUEE.

dans la même colonne, diminué du terme qui lui correspond dans la colonne suivante. Il résulte évidemment de là que, si Ton a inscrit h termes dans Tune quelconque des colonnes, il suflira de connaître un seul terme de la colonne précédente, pour pouvoir inscrire dans celles-ci k nouveaux termes.

156. Détermination d'une fonction entière du degré m AU moyen des valeurs de cette fonction qui répondent A m -I- I VALEURS ÉQUIDISTANTES DE LA VARIABLE. —

Soit u ^=f[x) une fonction entière du degré m, et désignons par

les valeurs que prend cette fonction quand on donne à j: les m -4- I valeurs

On a, pour toutes les valeurs i, a, . . . , m de ti,

a„= I/o -f- - Aiio 4- — ■ A*i/o H 1 ^ r A*iro+.

1 1.2 1 .2. . .Ar

tous les termes du second membre de cette formule, à partir du deuxième, s'obtiennent en donnant à A: les valeurs I, 2, 3, • . . , 72 dans Texpression

mais, comme cette expression se réduit évidemment à zéro, pour les valeurs /i ■+- 1 , /i-f- a, . . . , m de /r, on peut écrire

n nin — i) . nin — i)...(/i — /w-f-il .

Si Ton remplace y dans le second membre de celte formule, /ipar — V — > on formera la fonction suivante :

qui se réduit évidemment à u„ pour j: = o'o -f- /î^* et, en la retranchant dey(j:), on obtiendra une fonction entière du degré m qui sera nulle pour les /w -f- 1 valeurs j?o» Xo ■+- A, . . . , Xo -h nih de x : or cela ne peut avoir lieu que si la fonction dont il s'agit est identiquement nulle ; on a donc

Y[jc)=u,^ -— -^^- -^ — ^^^.^-...

{:r — jr^] {x — .ro — h),..\.r — .ro — m — \h) A'^Wq

Cette formule subsiste quel que soit h ; si Ton fait tendre A

A* Il vers zéro et que Ton représente par u}^'' la limite de

pour h = Oy on aura

d'où il résulte que wj^** est la valeur de la A**™* dérivée de /*(x) pour X = Xo, en sorte que Ton a

AV(:r) /*(a:j=liin — Tjr~^> pour A = 0.

i57. Limites des racines réelles d'une équation. — Lorsqu'on substitue des nombres équidistants dans le premier membre d'une équation ^(a;) = o, en suivant la

marche indiquée au n^ 155, les résultats obtenus suffisent pour faire connaître deux limites entre lesquelles sont comprises toutes les racines réelles.

En effet, soient

^ot ^0 ^~ ^> • • • 1 ^0 ~^ ('^ — ' ) ^

ni -f- 1 termes consécutifs quelconques de la série des valeurs substituées, et supposons h positive* Si les quantités Uo, Auo, ... 9 A'^Uo qui répondent à Xg sont toutes positives, la lonnult! (i3) montre que l'on sl /(x)^o pour toutes les valeurs de x égales ou supérieures à Xo-\-{m — i)/i; cette quantité est donc une limite supérieure des racines. Pareillement, si les quantités Uo, Aii|, A'Uq, . . . , A'" I/o sont alternativement positives et négatives, on aura constammenty(a:) ]> o, ou constamment /{x) <^o, pour les valeurs de x égales ou inférieures à Xq ; donc, dans ce cas, Xo est une limite inférieure des racines.

158. Substitution de nombres intermédiaires. — Quand on a calculé les résultats de la substitution des termes de la progression par différence

dans une fonction entière de a:, si Ton veut avoir les résultats de la substitution des termes d'une nouvelle progression, telle que

cm peut y parvenir en profitant des calculs déjà exécutés.

Supposons, par exemple, /i' = --etposonsx=XoH >

la formule ( 1 3) du n° 156 donnera

ro 4- - ) = «o -h N(») Awo -h N(*^ A*iio H- ... -4- NC") à'^U^,

SECTION I. CHAPITRE VII. âS^

en faisant, pour abréger,

• .^ /i (// — îo I fw — ?o). , ,[n — lo (/• — i)"|

Nous emploierons la caractéristique i pour représenter les diilerences d'une fonction quelconque de la variable /z, relatives à un accroissement de n égal à I. Alors N^*^ étant une fonction entière de n du degré k^ sa diflérence A**-*"* sera constante^ on aura ainsi

Si Ton fait tî = o et que Ton désigne par J*3Jo* ce que devient alors ô*^'*'', la formule précédente donnera

Au moyen de cette dernière formule on peut calculer ^Mo> â^iiof ' • 'jà^'Uo, et avec ces valeurs on construira le tableau relatif aux substitutions nouvelles. On obtient ainsi les résultats suivants :

iu^ = o, I A£#o» — o, 045 A* If 0 •+- 0,0285 A' «0 — 0,0206625 A* I/o -f- 0,0161 1675 A*iio — . . .,

^Uq = o,oiA^i/o — o^oogA'i/o

-+-o,oo7725a*iio — 0,0066975 A' iio -+- •••»

Puq t= 0,001 a' Uq — 0,001 35a* «0 -^ o,ooi.j()?.j A^tto — , , , ,

^*iio = 0,0001 A* I/o — 0,00018 A*i/o -h . . . ,

qui suffisent jusqu'au cinquième degré inclusivement.

S. — jéfg. sup., L 2a

338 coL'Rs d'algèbre supérieurs*

application à un exemple.