Considérons Téquation du troisième degré
jr» — 7 jr -f- 7 = o ( * ) ;
les théories exposées dans le Chapitre précédent indiquent que celte équation a trois racines réelles, Tune négative supérieure à — 4> et les deux autres positives comprises entre i et 2 ; on arrive facilement aux mêmes résultais dans le cas dont il s'agit, par le moyen des substitutions. Substituons d'abord des nombres entiers; les trois nombres
donnent les résultats
d'où l'on tire les différences premières
cl la différence deuxième
la différence troisième étant constante et égale à 6, nous formerons avec les résultats qui précèdent le tableau suivant :
(') Cette équation est l'une de celles que Lagrange a choisies pour exemples dans la Résolution des équations numériques ; elle se dcdoit de l'équation «"-t-x* — 3z — 1 = 0 que nous ayons considérée au o* 101,
un moyen de la transformation z =e •
Au
— la
Les valeurs de «, Az/, . . . , qui répondent à jr = i , sont positives; donc i H- 2 ou 3 est une limite supérieure des racines; pareillement les valeurs de «, C^u^ . . . , qui répondent à j:^= — 4> sont alternativement positives et négatives; donc — 4 est une limite inférieure des racines. L'inspection du tableau montre que la racine négative est comprise entre — 4 et — 3, mais elle ne fait rien connaître à l'égard des deux autres racines; remarquons cependant que si nous n'avions aucun renseignement sur la nature de ces racines, les résultats précédents nous porteraient à penser qu'elles doivent être comprises, si elles sont réelles, entre 1 et 2, et nous serions ainsi conduits à opérer de nouvelles substitutions dans rintorvalle de ces deux limites, comme la méthode de Sturm on celle de Fourier en démontre la nécessité.
Nous substituerons donc en deuxième lieu des nombres croissants par dixième entre 1 et 2. Les formules du n^ 158 donnent
^.Vq rr: G, IAi/q — 0,o45A*//o -f- 0,028^A^Wo, 5*Wy :--" 0,0 1 A* //o — 0,009 A' «0,
34o COURS d'algèbre supérieure.
Si donc on prend j:o= i, on aura, d'après le tableau qui précède,
d'où
Suq = — 0,369, ^tto==-'-Oio66, ^*ifo = -^ 0,00*6.
Nous remettons la caractéristique A au lieu de ^, et nous construisons le tableau qui suit, en partant des données
Aa=:
j:r=l,0, tt = -+- 1,000,
lu
Ii7
o,oi3
■+- o,ii4
On voit que Téquatlon proposée a deux racines positives, l'une entre i,3 et i,4, l'autre entre 1,6 et 1,7.
Si Ton veut resserrer les limites de chaque racine, il faudra substituer des nombres croissant par centième. En prenant Xo= i,3 on a, d'après le tableau précédent,
-+- o, 097 , Awo r=z — 0,1 Ô3, A'tto = -H o, 084, A'tfç = 4-0,0
et l'on en conclut
^Uq = — 0,018909, 5^1/0 =:; -f- 0,000786, ^'tfo— -f- 0,000006;
SECTION I
