CHAPITRE VII
prenant, en second lieu, Xo=- 1,6, on a ~ G, io4, Atfo =^-i- o, 1 17, A*tto = -f-o, 102, A'tto ==^ H- o, 006, ce qui donne tj//y= -h 0,0079.81, ^' I/o =-t- 0,000966, ^'«0=-+- 0,000006.
Ail mojcn de ces résultats, on peut construire les deux nouveaux tableaux qui suivent, dans lesquels on a rétabli la caractéristique A au lieu de ô.
—0,018909 — 0,018123 — 0,017331 — o,oi6533 ,34 -f-o, 026104 —0,015729
-1-0,097000 -t-o, 078091 -ho ,059968 -i-o ,042637
Aa
—0,045704 — o,o32537 —o, 018368 — o,oo3i9i -+-o,oi3ooo
H-0,01Il8l
-+-0,012171 H-o,oi3i67 -1-0,014169 H-o,oi5i77 -»-o,oi6i9i
34^ COURS D^ALGÊBRE SUPÉKIEURE.
On voit que la première racine est comprise entre i ,33 et 1,36, la seconde entre 1,69 et 1,70; il est évident qu'en poursuivant la même marche on pourrait calculer chacune de ces racines avec une approximation aussi grande que l'on voudrait.
Méthode d^ approximation de Newton.
160. Lorsqu'une racine d'une équation est séparée, on peut resserrer indéfiniment, comme on vient de le voir, les limites qui la comprennent, ce qui permet d'obtenir la racine avec l'approximation dont on a besoin. Maisie calcul devient de plus en plus laborieux ; aussi n'emploiet-on habituellement la voie des substitutions que pour déterminer les deux ou trois premiers chifires, après quoi l'on a recours, pour achever le calcul, à des méthodes plus expéditives. Parmi ces méthodes, on doit remarquer surtout celle qui est due à Newton et que nous allons exposer.
Soit l'équation du degré m
Cl supposons que l'on connaisse une première valeur approchée a de Tune des racines ; si l'on désigne par a-i-u la valeur exacte de cette racine, on aura
/{a -h u)=.o OU
d'où l'on tire
J [ai r [u \ .9 J \(t . I .2. . .m
Si Ton néglige les puissances de u qui figurent dans le second membre de cette formule, on aura, avec une approximation d'autant plus grande que u sera plus petit.
et si Ton fait
b sera une nouvelle valeur approchée de la racine. On peut appliquer le même procédé en partant de cette valeur é, et Ton en conclura une troisième valeur approchée
et ainsi de suite.
Telle est la méthode de Newton ; elle permet, en général, d'obtenir promptement une très-grande approximation, et il est aisé d'apprécier, dans chaque cas, le degré de rapidité avec lequel cette approximation augmente, en estimant la grandeur des termes négligés dans le passage des équations rigoureuses, telles que (i), aux égalités approchées dont on fait usage.
Ittl . Exemple. — Soit l'équation x' — jx -{-7 = 0 déjà considérée au n** 159. Nous avons vu que Tune des racines est comprise entre i,35 et i,36; appliquons la méthode de Newton au calcul de cette racine, en partant de la valeur approchée rt= i,33; l'équation (i) devient ici
344 COURS d'algèbre supÉniEtniB.
et Ton a
/(x) =:.r»— 7Jr-|- 7, /{a) = -+- 0,OIo375,
f(x) zrz 3.r' - 7, /'(a) = - 1,5325,
comme u est <^ 0,01, il est facile de voir que, dans la précédente expression de u, la somme des termes en w* et en li' est positive et inférieure à o,ooo3 ; si donc on pose
l'erreur commise sera moindre que cette limite. Nous prendrons pour deuxième valeur approchée
et Ton aura
on voit, à la simple inspection de ces formules, quey(a:) devient négative pour j: = i -f- 0,0001, d'où il résulte que la racine dont nous nous occupons est comprise entre i,35(>8 et 1,3569. Si l'on désigne cette racine par i-i-w,
on aura
la somme des deux derniers termes du second membre est
positive et inférieure à o,ooooooo3 ; donc la formule
fih) o,oooi4 '586432 ^o/
donnera la valeur de u à trois unités près du huitième
ordre décimal, en sorte que la racine demandée a pour
valeur
avec sept décimales exactes.
Complément de la méthode de Newton.
162. La méthode de Newton ne laisse rien à désirer sous le rapport de la simplicité, mais elle exige que Ton discute dans chaque cas le degré d'exactitude des résultats qu'elle fournit, et ainsi elle ne remplit pas la condition qu'ondoitimposerà toute méthode d'approximation, savoir, de donner simultanément une limite inférieure et une limite supérieure de la quantité qu'on veut évaluer. Mais il est facile, comme on va le voir, de combler cette lacune sans altérer Tcssence de la méthode.
Soient a et o ^ a deux nombres qui comprennent une seule racine Xq de l'équation
Comme nous supposons que cette équation n'a pas de racines égales, on peut admettre que les équations y'(j:) = o, y" (a:) := o n'ont aucune racine comprise entre a et 6; s'il en était autrement, il faudrait resserrer les limites qui comprennent la racine Xq. Lorsqu'on applique la méthode de Fourier à la détermination de ces limites, on est assuré que notre condition se trouve remplie, quand la suite des indices que Ton forme, confor-
34^ couns d*algî:biie supéniEintE.
mémenl' à cette méthode , commence par les nombres 1,0, ô.
D'après notre hypothèse, f{x) change une fois de signe quand x croît de a ào, mais f'{x) et f"[x) conservent ]e même signe. Considérons la fonction
dont nous nous sommes déjà occupé au n® 143 et qui est croissante ou décroissante suivant que f{x) et /'"{x) sont de même signe ou de signes contraires.
Si J\jr) et /^\x) sont de même signe pour x^otj la fonction (f{x) sera croissante de x = a à a: = Xo et elle sera décroissante de x = x© à x = 6; le maximum de 9(x) est donc ç(xo) ouxq, et l'on a
^o>?(a) et Xo>(p(6),
Si, au contraire, /(jc) elf"[x) sont de signes contraires pour .r = a, la fonction cf(a:) décroîtra de x = ol à X = Xq et elle croîtra de j^ = x© à x = S, en sorte que cf (Xo) ou Xq sera alors un minimum; on aura donc
•^o<a— w — ^ et Xo<C6 —
11 résulte de là qu'en appliquant la méthode de Newton à Tune ou à l'autre des deux limites ol et S, on obtient dans tous les cas des résultats qui sont tous deux en deçà ou au delà de la racine et qui, en conséquence, ne peuvent fournir qu'une limite unique.
Pour avoir une seconde limite, je considérerai la fonction
SECTION l. — CHAPITRE VU. 34?
OÙ M désigne une constanle de même signe que le rapport
-zi et dont la valeur absolue soit au moins ésrale à la
moitié de la plus grande des valeurs absolues que prend le même rapport, quand x croît de aL^^\ d'après cela on pourra écrire
0 étant une fonction de x dont la valeur reste comprise entre o et i , pour les valeurs de x comprises entre a et S ; je poserai en outre
Nous avons vu (n** 143) que l'on a
t étant une quantité qui s'annule avec h ; il en résulte que si l'on fait, pour abréger l'écriture,
la formule (3) donnera
X désignant une quantité qui s'évanouit avec h.
En vertu des formules (4) et (5), la valeur de ^\x) peut s'écrire comme il suit :
(G) f(x)z=-2M(l-Ae)(x-:ro);
et il est évident que la fonction v{/(x) est croissante ou décroissante entre les limites a: = a, x = 6, suivant que •y(x) est positive ou négative.
343 COURS d'algèbre SUPÉRIBUmS.
Cela posé, si f{x) elfi^x) sont de même signe pour x = a, on a, comme on Ta vu plus haut, y (x . <^ Xf pour les valeurs de x comprises entre a et Xf ; cette inégalité équivaut à A <[ i ; d'ailleurs, dans le cas que nous examinons, M est négatif, cary(x) ety^(x) sont de signes contraires pourx = a ; donc l'expression (6) de ^(x) est négative, el^[x) décroît quand x croît de a à Xo; on a, par suite, ^(j^o)<C^(*) <>"
M étant <[ o, si Ton remplace Xo par 6 dans le second membre de cette inégalité, on aura à plus forte raison
^.<a-jf|^-M(6-a)».
Siy(x) etf"[x) sont de signes contraires pour x = «. ces fonctions seront de même signe pour x==6 ; dans ce cas, on a, pour les valeurs de x comprises entre x© et 6, <j)(x)^Xo, ce qui équivaut à A<^i. Mais ici M est posilif; par conséquent ^'(x) est négative et tl;(x) est une fonction décroissante. On a a donc ^(j^o) ^'j'(S) ou
en remplaçant Xo par a dans ^(6), on aura, à plus forte raison,
Ce qui précède conduit à la règle suivante ;
Soient a et 6^a deux nombres qui comprennent une seule racine Xq de l' équation f(jc) = o et qui ne corn" prennent aucune racine des équations J*'[x) =o^ f"[x) = o ; 2 M un nombre qui ait le signe du rapport
V, / : et dont le module soit é^al ou supérieur au pua
grand des modules que prend le même rapport quand x "varie entre a et S. Si l'on désigne par a celle des deux limites a, 6 pour laquelle les Jonctions f{x)j f"(x) sont, de même signe, et par h celle pour laquelle les mêmes fonctions sont de signes contraires, on aura ces nouif elles limites de la racine Xq,
dont la première est précisément celle de Newton, Si la fonction f"[x) varie dans le même sens, entre les limites a et b, auquel cas f"'(x) consente le même signe, on pourra former le nombre M en dii^isant celle des
deux quantités - f^^ (a) y -f"[b) qui a la plus grande
valeur absolue, par celle des deux f'(ci)y f'{b) qui a la plus petite valeur absolue.
Le nombre M étant calculé comme nous venons de Tindiquer, il est nécessaire, pour notre objet, que la valeur absolue du produit M (a — i)'soit inférieure àTunité; si le contraire avait lieu, il serait indispensable de resserrer les limites de la racine, avant d^ippliquer la méthode. Supposons que la valeur absolue de M soit comprise
entre — j^^ et — j^> k étant un entier positif, nul ou négatif, et que — - soit la différence des limites primitives a
et 6 ou a et i. Au moyen de ces limites a et & on calculera, comme on vient de le dire, les nouvelles limites aj, h\y puis de celles-ci on en conclura deux autreâ a^j 62^ et ainsi de suite ; si Ton pose généralement
CD sorte que £^ représente la valeur absolue de la diffé-
35o COURS d'algèbre supérieuhb.
rence des limites a^, by,y on aura
formules qui mettent en évidence la loi des approximations successives.
