Exemple. — Considérons Téquation

qui a une racine positive unique , et proposons-nous d'évaluer cette racine. On a ici

y(.r)z=.r' — IX — 5,

on aperçoit de suite que f{x) est négative pour x = 2 et qu'elle est positive pour x = a, i ; d'ailleurs f'^x) est positive. Nous ferons, conformément à notre règle,

a =z: 2,1, 6=2; la fonction -~7 — r = ir-r est constamment décrois-

lf[x) 3.r* — 2

santé et elle est égale à 0,6 pour j:= 2; on peut donc poser M --^ 0,6. Les nouvelles limites ont pour valeurs

et l'on peut prendre

On a ensuite

^ o,oo5oo'7375 -

a.r=:2,0Q5 7; —p-i 0»z=z Om — 0.000022.

et Ton peut faire, en arrêtant le calcul à la cinquième

décimale,

aiZ= 2,og456.

Appliquons une dernière fois la méthode de Newton;

on aura

,^. 0,000 II 5r>B8(> QC)8i6 .,= .,oc)45b rT..b.54 47«o8 '

ôj = «3 — o, 00000 oooo3 ;

en faisant la division indiquée, on pourra compter sur les neuf premières décimales, et l'on aura pour la racine demandée

j:or= 2,094551481

aune unité près du neuvième ordre décimal, par défaut.

Méthode d'approximation de Lagrange.

idi. La méthode de Lagrange a pour objet le développement des racines en fraction continue. Soit Téquation

(l) /(.r):^Ao^'"-l-Ai.r'«-»-t-A,a:'^-*-l-...-4-A;,,i.r-;-A,;,==0,

et supposons qu'on ait constaté l'existence d'une ou de plusieurs racines positives comprises entre les entiers consécutifs a et a H- i ; le cas des racines négatives se ramènera à celui des racines positives, en changeant x en — X dans l'équation proposée. On fera, conformément à ce qui a été dit au n^ 1,

et l'on obtiendra la transformée en x^

35a COURS d'algèbre supériedrb.

cette transformée aura autant de racines positives supérieures à i que la proposée a déracines entre a etfl-4-i; considérons Tune déciles et supposons qu'elle soit comprise entre les entiers consécutifs ai eta|-l-i, on posera

et Ton aura la nouvelle transformée

laquelle aura autant de racines positives supérieures à i que la proposée a de racines comprises entre a-\ cl

a, | . On peut poursuivre indéfiniment ces opérations et chacune des racines de la proposée qui sont comprises entre a et a 4- i se trouvera exprimée par une fraction continue

aH -

dont les réduites tt »7r»'** fourniront des valeurs de

Qi Qî

plus en plus appprochées.

Quant aux transformées successives (2), (3), etc., chacune d'elles se déduit de la précédente par une règle uniforme ; on a effectivement

€l la transformée en x^t sera ainsi l'on aura

Remarquons enfin qu'on pcnil toujours faire en sorte, si on lejuge à propos, que l'équation proposée n'ait qu'une seule racine com[)rise entre deux entiers consécutifs ; car ilsulfira, pour atteindre ce but, de multiplier toutes les racines de cette équation par un nombre convenablement choisi; alors chacune des transformées (r>.), (3), ••• n'aura qu'une seule racine positive et supérieure à i.

165. La méthode précédente serait d'une longueur rebutante dans la plupart des cas, si, en la proposant, Lagrange n'avait indiqué un procédé très-simple qui permet de déterminer sans tâtonnement la suite des quotients a, rt|, «2, ..., lorsque quelques-uns des premiers termes sont connus. Voici en quoi consiste ce procédé.

Soit ~ la (/i -4- !)•*'"• réduite de la fraction continue

formée avec les quotients a, rt|, ... (n** 2); la racine x dont cette fraction est le développement aura pour valeur

on tire de là

Qn—\ -^ — Pw— 1

OU, à cause de

P«Qn-l-Q«Pn-l=(-I)^

Qi» Qn(Pn-Qn*)

S. — Aiff» sts^'9 i*

354 COURS d'algèbre supérieurr.

Si Ton remplace x par. chacune des racines a:, x\ j/', ... de la proposée, il est évident que la formule précédente donnera les racines correspondantesx,,, x^ , a* , ... transformée en Xn \ on aura donc aussi

^'^"^ Q« Q«(Pn-Qn.^")'

et, en ajoutant ces dernières égalités, il viendra

Mais, dans la transformée en j?„, savoir

la somme des racines est — ^^ ; on peut donc remplacer

x\ -f- jr '^ H- . . . par — Xn — -^) ' dans l'égalité précédente, et si Ton fait en outre, pour abréger,

tJL —x' ^—x' -^ — x'

il viendra

, . , . 0,-, AS») f-il— 'A

enfin si Ton pose

on aura

P Par conséquent, dès qu'on sera arrivé à une réduire —

telle, que Ton ait

:-î) Q„>v/ni/-A,

Terreur commise en prenant (5) •^/i = Ç»

sera moindre que -r en valeur absolue, et si k a une va-

leur suffisamment grande, on connaîtra directement, par la formule (3), le quotient entier Un contenu dans jff. Cela suppose que A est connue; mais il est évident qu'une* valeur médiocrement approchée de celte quantité suffit

pour notre objet. Or les réduites — ^ s'approchent rapi-

dcmcnt de a:, et A diffère d'autant de moins de la quantité

que n est plus grand; on a d'ailleurs (n" 49)

/■■■xi

et, pour X=:x-h/i, le premier membre de cette formule se réduit, à cause Ae f[x) = o, à

expression qui tend vers la limite ' • quand h tend

356 COURS d'algèbre si:périeurb»

vers zéro. On a donc

et à la condition (4) on pourra substituer la suivante

(6) Q;,>V^zhXM.

Désignons par Ç la valeur approchée de x qui répond à 07,2= \n\ ^^ aura, d'après la formule (i),

d'où

Qi(x, + ^)l^ç„ + ^^'

le second membre de cette formule (7) diffère peu de la quantité

laquelle donne ainsi la mesure de l'erreur commise quand on prend \ pour valeur approchée de x.

On peut conclure de là que, si le développement en fraction continue est assez avancé, la formule (3) donnera non-seulement le quotient incomplet a^, mais encore quelques-uns des quotients suivants, et Ton obtiendra ceux-ci en poussant le développement de \n en fraction continue jusqu'à une certaine limite qu'il est facile d'évaluer approximativement. Pour cela, supposons qu'on ait réduit \n en fraction continue et que l'on ait écrit les quotients obtenus à la suite de ceux qui ont été déjà trouvés; prolongeons au moyen de ces quotients la suite

des réduites, et soit ~ l'une d'elles. Il est évident que

- sera l'une des réduites de Ç ; si donc on nomme a le

P' quolient complet qui lui correspond et que ^ soit la

réduite qui précède -9 on aura

Pa-4-P'P^ J

Q^ + Q' ~q- Q(ga + Q')'

la formule [y) deviendra donc

P =hi —A

ou, à peu près,

P iti — M

(31» je — — = -+- : •

Soit maintenant 6 un nombre quelconque, et supposons

le dénominateur Q de - tel que

le second membre de la formule (8) sera inférieur en valeur absolue à

il sera donc inférieur à — prr si l'on a

--+--<- ou 6>

P et, dans ce cas, rr sera certainement Tune des réduites

358 COURS d'algèbre supêriburb.

On voit par là qu'à partir de la réduite ^ le déve-

loppemcnt de ^„ fournit les quotients nécessaires pour prolonger la suite des réduites, jusqu'à ce qu'elles aient environ deux fois autant de chiffres que celle d'où Ton est parti. Il faut cependant remarquer que cette conclusion peut être en défaut quand le quotient qui suit celui auquel on s'arrête n'est pas supérieur à 2.