H IH
iH 2-h
X'4 désignant la racine posilîve de Téqualion
Nous étudierons dans la suite de cet Ouvrage les équations qui possèdent cette propriété remarquable.
107. Dans un Mémoire qui fait partie du tome P*" du Journal de Mathématiques pures et appliquées y Vincent a fait connaître une belle propriété des fractions continues, et il en a déduit, pour le calcul des racines réelles des équations, une méthode qui procède à la fois de celle de Lagrangc et de celle de Newton; nous croyons devoir établir ici la proposition sur laquelle repose cette méthode.
Théorème. — Etant donnée une équation f[x) r= o qui VLa pas de racines égales ^ si Vonjait successii^enient
jer-a-{ 9 jTj = aj H 7 x, = a, H j •••?
.r| JT] .Tj
a, ai, «2, ... étant une suit a illimitée de nombres en* tiers positifs quelconques, après un certain nombre de transformations, il arrivera toujours que les transfor^ mées successix^es n'auront que des permanences ou qu^ elles ïî offriront qu une seule variation.
Le second cas se présentera si Vune des racines de
3^4 COURS d' ALGÈBRE SUP^.RIBURE*
l' équation proposée est la limite de la fraction contimie
le premier cas aura lieu, au contraire, si aucune des racines n'est égale à cette limite.
Pour démontrer ce théorème, formons les réduites de
la fraction continue (i), et désignons par ^ celle qui oc-
cupe le (/î -h i)*^"* rang; le quotient qui répond à la
P réduite -^ étant x«, il est évident que Ton obtiendra di-
rectement la /i**°* transformée en posant, dans l'équation y*(a:) = o,
formule d'où l'on tire
/ Q \ Pn— t — Qn— 1 *
Soient a, 6, y, ... les racines de l'équation proposée, et a fi, Sny -/ny • • • Ics racincs de la transformée; cette transformée sera, en écrivant x au lieu de X;,,
et chacune des racines ««, S„, ... sera liée à la racine a, ê, . . . correspondante par la relation (2) ou (3); on a donc
Si a est réelle et que les réduites rp convergent vers
cette racine, il est évident que «„ sera une quantité po-
. P sîtive; mais si les réduites ^ ont une limite différente
de a, quand n sera suffisamment grand, les différences
a. ot
seront de même signe, et en conséquence la quantité cf^ sera négative.
Si a est imaginaire, soit
on aura
Pn-,
, ^ I 7 V?/»-l Vn-l
et, en changeant yj — i en — sj — i ,
Pif— 1 y
J 7 Vu— I Vn-l
en ajoutant entre elles les deux formules précédentes, on
obtient
P»— 1 / Pn— t
pour les valeurs de n qui surpassent une certaine limite,
ou
Pn =
366 COURS D^ALGKDRE SUPÉEIEURE.
la quantité -7 { -^ — w~ ] sera inférieure à g^y el l'on
4 \Q/» Q/i-i/ voit que /?„ sera négative.
Si donc n est suffisamment grand et que la fraction continue (i) ne représente pas le développement d'une racine de la proposée, la «**"* transformée n'aura que des racines de la forme — g ou — gzh h^ — i , g étant positif. Les facteurs du premier membre qui répondent aux racines réelles seront de la forme x -^ g e\. les facteurs réels du deuxième degré qui répondent à deux racines imaginaires conjuguées auront la forme
il est évident que le premier membre de notre transformée, qui est le produit de tous ces facteurs, n'aura que des permanences.
Il convient de remarquer que les racines réelles ou imaginaires des diverses transformées tendent de plus en plus vers Tégalité. Effectivement, si l'on divise la formule (4) par celle qu'on en déduit en chan^^eant a e\^ en £ et 0,^, on aura
ot — — 6
et comme ---- et j^ tendent vers la même limite, on vuil que Ton a
hm —- = 1 .
On arrive au même résultat en considérant la difTérence oLfi — 0,2 qui a pour valeur
\i ( Pn\ L P«\'
SECTION I. CHAPITRE VII. Z6y
ainsi, en particulier, si la proposée et les transformées successives ont des racines imaginaires, la partie imaginaire de ces racines tendra vers zéro.
Supposons maintenant que la fraction continue (i) tende vers Tune des racines a. de Téquation proposée. Alors la /i»*"" transformée aura une racine positive unique, a„y si n est suffisamment grand ; il est d'ailleurs évident que tout ce que nous venons de dire précédemment s*ap-
pliquera à Téquation ' = o. Par conséquent, dans
le cas qui nous occupe, les racines de la transformée de rang aï, autres que la racine positive «/j, pourront ctro représentées par
g^ étant un nombre positif, et ei, eo» • • • * «/»-< désignant des quantités réelles ou imaginaires dont les modules peuvent devenir plus petits que toute quantité donnée. Le j)roduit des facteurs linéaires qui répondent à ces * racines sera donc
El , Ej, . . . , E;,4| étant des coefficients réels qui [Wuivent devenir moindres que tout nombre donné. Posons
on aura
et
Go— I, G;„-i = i Gz. — / -M ' *
l'expression (5) se réduit alors à
(6) Gox'«-»H- (Gi -f- El ) ^x'«-« 4- ... -h {G,n^, -f- E^,)è'--\
et l'on pourra faire
-gTTë;- - -g7 "^ "'^' = x^TT - ' -^ *■*-
<•*+! étant un nombre réel qui peut devenir moindre qne toute quantité donnée en prenant n suflisamment grand. Désignons maintenant par (X — ^) g ^^ racine positive de notre transformée ; il est évident que cette transformée s'obtiendra en égalant à zéro le produit du polynôme (6) par X — (À — ^)gy ^n a, à cause de Go = i,
Le premier terme de cette équation a le signe + et le dernier terme a le signe — ^ d'ailleurs, les quantités ei, ^2, . • . , E|, Eo, . . . peuvent être supposées aussi petites que Ton voudra, et, si le coefficient de Fun des termes compris t-ntrele premier et le dernier est nul ou négatif, il est évident que tous les coefficients qui suivent seront négatifs. L'équation [y) n'a donc qu'une seule variation, ce (jui achève la démonstration du théorème énoncé.
Ainsi que l'a montré Vincent, le théorème précédent suffit [)()ur opérer la séparation des racines, sans que Ton soit obligé d'en déterminer le nombre n priori, ou de leur assigner des limites, pourvu qu'afin de s'épargner des essais inutiles on fasse un usage convenable du théorème de Budan; mais nous renverrons 'au Mémoire de J 'auteur, pour le développement de cette méthode.
SECTION I. CHAPITRE VII. 36q
Du calcul des racines imaginaires.
168. La mélliode qui a été exposée au n** 147 permet lon-seulement de séparer les racines imaginaires d'une îquation, mais encore de resserrer indéfiniment les limites jui comprennent, soit la partie réelle de chaque racine, loit la partie multipliée par Timaginaire / ou y/ — i .
Lorsqu'une racine imaginaire est ainsi connue avec une certaine approximation, on peut en obtenir des valeurs je plus en plus approchées au moyen de la méthode de \ewton, qui n'est en aucune façon bornée au cas des ra- :ines réelles. EfTectivement, si Zq est une première valeur ipprocliée d'une racine simple z de l'équation
et que Zq-^- u soit la valeur exacte de cette racine, on pourra poser
d'où
et l'on aura, avec une approximation d'autant plus grande que le module de u sera plus petit,
mais il sera nécessaire d'examiner, dans chaque cas, le degré d'exactitude que peut fournir la précédente formule, et cette discussion ne sera pas toujours exempte Je difficultés.
Posons
et désignons par Xo -i- ijr$ la valeur approchée Zo de la-
quelle on part : le problème dont nous nous occupons a pour objet de calculer Tune des solutions réelles (j", r» des équations simultanées
connaissant des valeurs approchées Xo et jo de x et r; or je dis que la même méthode peut être appliquée aux équations (2), quels que soient les polynômes o(jr, y) el'^iXyj). Désignons en effet par
les valeurs de x et de y qu'on se propose de calculer : on aura, en employant ici la notation dont nous avons déjà fait usage au n° 89,
M''*^j)-^^'('^oiro) +?I>a: + (-^oO'o) +>îDr^(-^oiro)-^-----
Si donc Ç et y; sont des quantités assez petites pour qu'on puisse négliger leurs carrés et leur produit, on aura approximativement
d'où
. y ( -^0 ^ Xo ) D.r ^ ( -yp. ro ) — -^j^ (-^0^ ro ) ^.r ? (-^o . ro )
^(.rp, ro)D.r<^(-^oiro) — y(-^o^ro)D^^('^o^ro) .
il est évident que ces formules ne pourront être d'aucun usage, si la solution que Ton considère est une solution multiple des équations (2).
1(>9. La méthode que nous venons d'indiquer exige des calculs très-laborieux et, au lieu de l'employer, il sera souvent plus simple de recourir à l'élimination, comme on va le voir dans l'exemple suivant. Proposons-
nous de calculer les racines de Téquation
qui toutes les quatre sont imaginaires. Si Ton pose z.= X -\-y\l — I , cette équation se décomposera dans les deux suivantes :
et en supprimant de Téquation (3) le facteur j^, on aura
portant ensuite cette valeur de ^^ — x^ dans l'équation (2), il viendra
enfin, si Ton pose (5)
celle dernière équation deviendra
<* — 4' — 1=0. Les substitutions donnent les résultats suivants :
iya COURS d'algèbre SUP. SECT. I. CHAP. VII.
d*où il suit que la seule racine positi\e t est comprise entre 2,11 et 2,12. Une première application de la méthode de Newton donne les nouvelles limites a, 1 149 et 2,ii5o; une deuxième application fournit la valeur 2,11490754 avec huit décimales exactes. La formule (5) donne ensuite , avec le même degré d'approximation,
a: = ih o, 727 1 36o3 ; enfin la formule (4) donne les valeurs
X = 'àz 0,43001425, r = =t 0,93409929;
on a ainsi, pour les racines demandées,
z= -\- 0,72718603. . .d= 0,430014^5. . .V — I, z= — 0,72713603. . .db 0,93409929. . .^ — I,
SECTION II
