TUÉORIE DES FONCTIONS SYMÉTRIQUES

Des fonctions symétriques.

170. Lorsqu'une fonction de plusieurs quantités ne change pas quand on échange entre elles, de toutes les manières possibles, les quantités qu'elle reni'erme, cette fonction est dite sjniétrique. Nous ne nous occuperons ici que des fonctions symétriques rationnelles.

Les coefficients d^une équation algébrique sont des fonctions symétriques des racines de cette équation ; ce sont même les fonctions symétriques les plus simples, en ce sens que chaque racine n'y figure qu'au premier degré. S'il s'agit, en effet, de Téquation

et que a, £, c,..., k, l désignent lés ni racines, on sait

que Ton a

û-f- 6-hc-h...-f- /•-+-/ = — /?!,

abc, , . AI =:dzp^.

Nous allons montrer comment on peut trouver Tex-

3^6 COURS d'aloèbre supÉEUiimB.

pression d^une fonction symétrique et rationnelle quelconque des racines d'une équation , et cette recherche nous conduira à ce théorème important :

Toute fonction rationnelle et symétrique des racines d^une équation,peut s* exprimer ralionneliement par les coefficients de cette équation.

Examinons d'abord à quoi peut se réduire la recherche delà fonction rationnelle et symétrique la plus générale. Toute fonction rationnelle non entière est le quotient de deux fonctions entières, en sorte qu'il n'y a lieu de s'occuper que des fonctions symétriques entières. En outre, toute fonction symétrique entière non homogène est la somme de plusieurs* fonctions symétriques homogènes ; tout est donc ramené à établir des règles pour calculer les fonctions symétriques rationnelles entières et homogènes; enfin, une pareille fonction symétrique entière et homogène peut contenir des termes où les exposants des lettres, tout en ayant la même somme, ne soient pas égaux chacun à chacun : dans ce cas, la fonction est la somme de deux ou d'un plus grand nombre de fonctions symétriques de même degré, mais différentes, et que nous calculerons séparément. De tout cela il résulte que nous pouvons nous borner à considérer les fonctions symétriques rationnelles, entières et homogènes, telles que les exposants des lettres soient les mêmes dans deux termes quelconques; toute fonction de cette espèce sera définie si Ton donne un seul de ses termes, ainsi que toutes les lettres qui entrent dans sa composition. Cela posé, nous appellerons ybwcfiow symétrique simple ou du premier ordre une fonction symétrique rationnelle, entière et homogène, dont chaque tcrmene contient qu'une seule lettre ; fonction symétrique double ou du deuxième ordre celle dont chaque terme renferme

8ECTI0N II. — CHAPITRE I. 877

deux lettres, et ainsi de suite. Les fonctions symétriques simples de plusieurs quantités ne sont autre chose, comme on le voit, que les sommes des puissances semblables de ces quantités.

Formules de Newton pour le calcul des sommes do puissances semblables des racines d'une équation.