Soit l'équation
j:'«-4-pi;r'«-«-f-/?,j:'«-«-|-. . ,-{- p^^x -hpm=0,
que nous représenterons aussi, pour abréger, par
et dont nous désignerons par a, &, e, . . • , Xr, /les m racines. Soit, en oulre, X^ la dérivée de la fonction X; on aura
On a aussi, par un théorème connu (n^ 49),
XI A. JL JSt ^ — """" ~T~ 7 "T" • » • ~T~ : j
et l'on trouve, par la division,
=ix^-^-ha
-Pm-1^ -^Pm-\'
Si, dans cette dernière équation, on remplace a successivement par chacune des autres racines^ et qu'on fasse généralement
#„ rr: a» H- ^'* -+- C» -+- . . . -h /" H- /",
on aura, en ajoutant tous les résultats, la valeur saivante de X'
X'--ma:'"-*-4-5,
-i-mp^
-hpxs^
-^Pl'm-î
-hmp^
H- Pis^
-^Pt^m-l
-^^Pm-i
La comparaison de cette valeur de X' avec celle écrite plus haut fournit les relations suivantes:
*,H-/?l5iH-2/7, =0, (l) \ *8-t-/'l*2-+-;'l*l+3/?, = 0,
La première de ces formules fait connaître s^ ou la somme des racines, la deuxième fait connaître s^ ou la somme des carrés des racines, et ainsi de suite, jusqu'à la dernière qui fait connaître Sm^i • On trouve de cette manière
Si
-Pi^ P]—'^Pt^
P]-^^P\Pt — ^Pif
P'i—ip'P^-^^PiPz-^^Pl — ^Pkf '-p\ + ^p\Pt—^p\Pz—^[p\—pi)px
5(PiPi'-Pi)f
Voici maintenant comment on peut obtenir les sommes de puissances semblables, dont le degré surpasse m — i, et celles dont le degré est négatif. Soit /i un nombre entier positif nul ou négatif, et multiplions l'équation pro*
SECTION II. — CHAPITBE I. 879
posée par x'^; elle deviendra
Remplaçons successivement x par chacune des racines Oy by c...., et ajoutons tous les résultats; on aura
En donnant à n les valeurs o, i, 2, . . ., et observant que So = m, on obtient les relations suivantes :
Sm -^PtSm-l-^Pl^m^l-^ • "+ Pm-\Sx'\-inp^ = O,
Les sommes 5| , 53, . . . , ^^-i étant connues par les formules (i), la première des formules (2) déterminera 5^», la deuxième s„i^i , et ainsi de suite.
Il importe de remarquer que les valeurs des sommes5| , 52, ... ne contiennent dans leur expression aucun dénominateur, et que slles coefficients y^i, /^a, ... sont des nombres entiers, les sommes s^, S29 ••• sont aussi des nombres entiers.
Réciproquement , si l'on connaît m sommes de puissances semblables, par exemple ^1,^2, ... ySmj on pourra déterminer les coefficients p\j p^y ••• à Taide des formules (i) et (2), qui ont été données, pour la première fois, par Newton.
Pour calculer les sommes de puissances semblables des racines à exposants négatifs, il suffit de donner au nombre /i, que nous avons introduit, les valeurs successives — I, — 2, — 3, ...;mais, àTégard de ces sommes de puissances négatives, le moyen le plus aisé de les
trouver consiste à changer o: en - dans Féquation pro-
posée, et à calculer ensuite les sommes de puissances
38o COUB8 d'algèbre supérieure.
semblables à exposants positifs des racines de l'équation transformée.
On peut remarquer qu'en appliquant les formules (i) et (2) au cas de l'équation binôme x^ — 1= o, on retrouve immédiatement les résultats que nous avons obtenus au n° 106 par une voie différente.
Usage de la diidsion algébrique pour le même objet»
172. On peut employer, pour calculer le» sommes des puissances semblables des racines d'une équation, une autre méthode qui n'exige qu'une simple division algébrique. Soit toujours
une équation ayant pour racines a^byCy . . ., hj L Si X' représente la dérivée de X, on a, comme précédemment,
X a: — a x — 0 or--/
La fonction est développable en une série con-
vergente ordonnée suivant les puissances négatives etdécroissanles de x, pour toutes les valeurs de x dont le module est supérieur au module de a; on trouve, parla division,
X x^ ar^
donc, en remplaçant successivement a par chacune des autres racines, et ajoutant ensemble tous les résultats,
on aura
X' m Sx s^
X X x^ X* ou
X X' Sx s^
