A. XX

Pour le calcul numérique, il sera plus commode d'éviter les exposants négatifs : on changera alors j: en -

et la fraction — ^ prendra la forme -^j Z| et Z étant des fonctions entières de ^ ; on aura

=: m -h JiZ -+- 5,z' -î- . . . 5

et l'on obtiendra toutes les sommes s^y $2, ..*, par la division des polynômes Z| et Z que Ton ordonnera suivant les puissances croissantes de z.

On peut trouver de la même manière les sommes 5<, s^2y "'7 des puissances semblables à exposants négatifs. Effectivement, la fonction est développable

en série convergente ordonnée suivant les puissances croissantes de x, pour toutes les valeurs de x dont le module est inférieur au module a, et Ton trouve, par la division,

X — a \a or ar j

donc, en remplaçant successivement a par chacune des autres racines et en ajoutant les résultats, on aura

On obtiendra donc les sommes 5|, s^^.^ ..., en ordonnant les polynômes — X' et X suivant les puissances croissantes de x et en effectuant ensuite la division du premier polynôme par le second.

Le principal avantage de cette seconde méthode, fondée sur la division algébrique, consiste en ce que Ton peut

38q covrs d'al&èbre supérieure.

en déduire facilement, comme on le verra plus loin, l'expression générale de Sn ou des^,t en fonction des coefficients de Téqualion proposée. Les formules de Newton ne conduiraient que péniblement au même résultat.

Détermination des fonctions symétriques doubles, triples, etc., des racines d^une équation.

173. Les formules établies au n° 171 permettent de calculer successivement les fonctions symétriques doubles, triples, etc., des racines d'une équation.

Soient a, &, c, . . . , /r, / les m racines d'une équation

de degré m, et considérons une fonction symétrique double, dont un terme soit a*è*; la fonction dont il s'agit étant déterminée quand on en connaît un terme, nous

la représenterons, pour abréger, par \ a^b^^ et nous

continuerons de désigner par s^ la somme des puissances ^leme» jg toutcs Ics racincs.

Gela posé, si l'on multiplie entre elles les deux sommes s^ et Sçy on obtiendra un produit qui sera évidemment la somme des deux quantités s^^ et \ a*t* ; on a donc

On voit que toute fonction double \ a* i* est exprimable, sous forme rationnelle et entière, par les coefficients de l'équation proposée, puisque 5«, St et s^^ le sont; en outre, si les coefficients de l'équation sont des

nombres entiers, \ a* 4* sera aussi un nombre entier.

La formule (i) n'a plus lieu quand S == a; on voit, en effet, que si 6 devient égal à a, les termes de \ d^b^ seront égaux deux à deux, en sorte que cette quantité se réduira à i\ a*b*; on a donc

« En remplaçant 5. et 5,. par leurs valeurs, on obtiendra une expression deN a* 4* qui ne contiendra plus

le dénominateur 2. Cette proposition n'est pas évidente; mais nous ne nous arrêterons pas ici à Tétablir, parce qu'elle résultera, comme on le verra plus bas, des méthodes proposées par Waring et par Cauchy, pour la détermination des fonctions symétriques des racines d'une équation.

Une fonction symétrique triple, qui renferme le terme

a^Vc^y pourra être représentée par \ a*b^ c^. Si l'on

multiplie la fonction double \ a*4*par5^, on trouvera pour produit

on a donc

Cette formule fait connaître la fonction triple \ a*b^c^y

car le second membre ne contient que des fonctions doubles que l'on sait calculer. Si Ton veut avoir l'expression

384 cooRS d'algèbre supérieure.

de la fonction triple, au moyen des sommes de puissances semblables, il suffira de remplacer les fonctions doubles par leurs valeurs connues ; on trouvera ainsi

et Ton voit que les fonctions triples s'exprimeront comme les fonctions simples et doubles, sous forme rationnelle et entière, par les coefficients de l'équation proposée.

La formule (3) ne subsiste pas, si deux des exposants ou tous les trois deviennent égaux entre eux; mais od peut en déduire aisément les valeurs des deux fonctions

\ a*6*cT et y a'^b^c^.

On voit, en effet, que si 6 devient égal à a, \ a^b^c^

se réduit à 2 \ a'^b^c^ et à 2.3 \ a*b*<f, si en même temps y devient égal à a ; on a donc

(4) \^*^*cT=-(5ÎJy— 5,«5y-- 25^^5.4- 2Jj^y)

et

(5) \«"**C«=:g(jl— 3j,.J.-|-2J,.).

En suivant la même marche, on calculera successivement les fonctions du quatrième ordre, puis celles du cinquième, et ainsi de suite. Il est presque superflu d'ajouter que, quand on aura calculé, en général, l'expression d'une fonction symétrique entière et homogène du /i**"* ordre, si [jl exposants deviennent égaux entre eux, il fau dra diviser par i .2. 3... fi la valeur qu'on aura trouvée.

On voit par là que toute fonction symétrique entière et homogène des racines d'une équation, peut s'exprimer rationnellement par les coefficients de cette équation, el que la même chose a lieu, d'après les remarques faites précédemment, pour une fonction rationnelle et symétrique quelconque.

Méthode de TVaring pour calculer une fonction symétrique rationnelle et entière des racines d'une équation.

174. Waring a indiqué, dans ses Meditationes algC" hraicœ [^)y une méthode par laquelle on peut former directement l'expression d'une fonction symétrique et entière quelconque des racines d'une équation en fonction des coefficients de cette équation. Nous allons faire connaître ici cette méthode, qui, dans un très-grand nombre de circonstances, devra être préférée à celle que nous venons d'exposer.

Soit l'équation

dont les m racines sont

a, by Cy .... ^, /,

el supposons qu'il s'agisse de trouver la valeur d'une fonction symétrique et entière V de ces racines.

Pour plus de clarté, il convient d'imaginer que l'on ait ordonné la fonction V de la manière que nous allons indiquer. Désignons par a l'exposant de la plus haute puissance à laquelle se trouve élevée chaque racine, et, en

(•) Edieio tcrtia^ p. i3.

S. — «^Z^. sup»^ !• 25

38S COURS d\lGÈBRE StJPÉniBURB.

. particulier, la racine a dans V ; par 6 Texposant de la plus haute puissance à laquelle se trouve élevée la racine h dans la partie de V qui contient le facteur a*; par y l'exposant de la plus haute puissance à laquelle se trouve élevée c dans la partie de V qui renferme le facteur rt* b^ ; et ainsi de suite, en sorte que X désignera finalement l'exposant de la plus haute puissance de / dans la partie de V qui contient le facteur a*A*c^..Â*. D'après cela, la fonction V contiendra un terme de la forme

auquel nous assignerons le premier rang; A est une constante donnée; il se peut que quelques-uns des exposants

soient nuls; en outre, chacun de ces exposants peut cire égal, mais non supérieur au précédent. Je dis, par exemple, qu'on ne peut avoir 7^6; en effet, la fonclion symétrique V qui renferme le terme Aa*b^c^ . . . A*/* contient aussi le terme Aa*è^c*... A"/^, qui se déduit du premier en permutant les lettres b elc; or, si l'on avait 7^ o, b^ ne serait pas, comme nous l'avons supposé, la plus haute puissance de b contenue dans la partie de V qui renferme le facteur a*; donc on a nécessairomenl 7 Co ou 7=::= o. Ce raisonnement s'applique évidemment aux autres ex[)Osants.

Le premier terme de la fonction V ayant été fixé comme il vient d'être dit, nous appliquerons la mémo règle à la détermination du rang de chacun des autres termes, et nous écrirons

Cela posé, on a

(— i)Va= y «^^.

(-1)"^-^ p„^^rz-.y abc. . ,^,

(^—iy»p^=:abc. . .Al.

Si Ton clcve ces égalités aux puissances

respectivement, qu'on en fasse ensuite le produit et qu'on multiplie enfin de part et d'autre par A, le premier membre de l'égalité résultante sera

Nous le représenterons, pour abréger, par P; quant au second membre, il sera une fonction symétrique des Icllrcs /i, b, c, ..., /, /, et, si nous l'ordonnons de la même manière que V, il est évident que son premier terme sera Aa'i^c^.../"/^; on aura ainsi

Eu retranchant la seconde des fonctions symétriques V et P de la première, on obtient une nouvelle fonction symétrique V^, telle que

Si l'on opère sur Vj comme on a opéré sur V, on obtiendra une troisième fonction symétrique V2, telle que

Pi désigne une quantité analogue à P, et qui est, comme celle-ci, le produit d'une constante par diverses puissances des coefficients /?«, p^» . . . , /?m-

En poursuivant ces opérations, on voit qu'on obtiendra une suite de fonctions symétriques

telles que

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