V -p =v„ V, - p, = v„ Vî - p, = v

chacune des quantités P, P|, ..., P^ est le produit d'une constante par diverses puissances des coefficients y^i, P^y ' ' ' y Prit' E^ outre, si l'on imagine une fonction entière U formée des premiers termes des fonctions V, V< , . . . , V^ et ordonnée de la même manière que ces fonctions, il est évident, d'après le procédé que nous avons suivi, que le pi:jBmier terme de l'une quelconque des fonctions V< , V2 , . . . , V^ occupera, dans U, un rang supérieur au rang du premier terme de la fonction précédente. Or le nombre des termes susceptibles d'occuper, dans U, un rang supérieur à celui d'un terme donné est nécessairement limité ; donc, dans la recherche des fonctions V| , Va, . . . , on finira toujours par arriver à une constante, et alors l'opération sera terminée. Supposons, d'après cela, que Vj^ se réduise à une constante; il viendra, en ajoutant les égalités précédentes,

V = P -H Pi 4- P,-f-. . . H- P^i-f- Vp,, formule qui fera connaître l'expression de la fonction

SECTIOZr II. — CHAPITRE I. SSp

symétrique proposée V en fonction des coeffîeients /;,,

On peut conclure de là que toute fonction entière et symétrique V des racines d'une équation est exprimable l'ationnellcment par les coefficients de l'équation, proposition que nous avons déjà établie (n** 173) ; mais on voit, en outre, que si les coefficients de l'équation sont des nombres entiers, ainsi que ceux qui multiplient les différents termes de V. la valeur de cette fonction V sera également un nombre entier.

17S. Exemple I. — Etant donnée l'équation

or"' -f- Px x"»-» -+- p^ .7 "-Î -f- . . . -♦- /7^», or -+-/7^ = G,

dont a, A, c, rf, e,y*, . . . , A:, / sont les racines^ on rfetnande la valeur de la fonction symétrique

Posons, conformément à la théorie précédente, P^PiPiPz =ya. \ab.\abc

\ a* bcde -*- 6o \ abcdef^

on aura

V — P = Vt=— Sy^i'ôcrf— aVû^ô^c»— sVa^ô^crf

— 22 \ a* bcde — 6o \ abcdef\

Spo couns d'algèbbe supébieoeb.

faisons, en second lieu,

p, = — 3/?î/?4 =— 3 [y «]' Sabcd

= — 3 \ à^bcd — 6^ a^b^cd — 27 \ à^bcde — 90 \ ab^def^

on aura

Vi — P, = V2 = — sV /i*ô«c«— aV fl«^*c^£

-f- 5 \ «* bcde -♦- 3o \ abcdef\ faisons, en troisième lieu,

= — 3 y^'è^c» '-^(î^b^cd—i^^a^bcde'--eii^abcdef.

on aura

4 y à^b^cd-\-7.Z \ a' 6cÉfe -♦- 90 \ abcdef\

faisons, en quatrième lieu,

6crf

= 4 ^ ^'^b^cd -f- 16 \ à^ bcde -f- 60 \ abcdefx

on aura

Va — P, = V4 = 7 y rt« ^c^tf -\- 3o Va^c^/c/";

SECTION II. — CHÀPITEE I. Spi

faisons, en cinquième lieu,

P4 = 'JPiPi =']\ a\ abcde = 7 \ a* bcele 4- 4^ \ ahcdcf^

on aura

V4 — P4 = V, = — 12 Va^crfc/"; si enfin on fait

P, = — 1277, = — '* X ^^^C/\ on aura

Ici l'opération est terminée et Ton a cette valeur de V,

^ —P^P^P^'-'^P\Pk — ^P\ "H 4/^1 A H" IPiPi—l^P*- 176. Exemple II. — Étant donnée l'équation

jr"» -4-/^1 .r'^-» -4-/7, x'"-« H- . . . H-^,„-i x ^p^ = O,

dont ttj bj Cj , . . y A, / sont les racines, on demanda la valeur de la fonction sjmétriqae

an*. ,Pg,,.h;

H est le nombre des racines qui entrent au carré dans chaque terme, et v le nombre de celles qui entrent à la première puissance.

Désignons la fonction proposée parla notation F (fA, v), et, plus généralement, représentons par F (|x — /i, v-f-a/ï) la fonction symétrique de même genre que la proposée et dans Jaquclle chaque terme contient (i — n racines au carré et v H- sn racines à la première puissance.

Sga COURS d'algèbre supérieure.

Cela posé, on doit former, d'après notre théorie, les (x-f- I égalités suivantes :

^S. — ^n ^ F a — 2, v-h4-^-••• ^ (v+2»)(,^-itn-,)...(v-^»H-0 p ^ ^ ^ ^^^^

(v -f- 2ix). . .(v -f- U -•- l) .

^ — i ^FlO, y-t-.2tt ;