I— ^ LL
(— OV^l/^v+îj^l-- F(l,v -f.2fl — 2)4- "^ F(q, V -+- 2fA;,
(— )7^v^2Ft— F(0,V-+-2fx),
OÙ la quantité /?,• doit être regardée comme nulle si Tindice i est supérieur à m.
Ajoutons toutes ces égalités après les avoir multipliées respectivement par les facteurs
If A|, A^f • • • » A|,, > • «f ^}ii
et supposons ces facteurs choisis de manière que les
SECTION II. — CHAPITRE 1. SpS
quantités
F(fi — I, v-f-î), F(fi— 2, v4-4), ..., F(o,v-*-2fA) soient éliminées du résultat; il viendra
Nous allons maintenant chercher les valeurs des facteurs X|, Xa, . . . , ly,. Les équations qui déterminent ces facteurs s^obtienncnt en donnant k nies [jl valeurs i, a 3, ... y IJL dans la suivante :
(v-l-2/î)(v -f-2/2 — i)...(vH- 2/2 — r-f-i)
(v-f-2/zl. , .{y -h n -4-1) -l i : L L CTO;
mais cette équation peut s'écrire d'une autre manière. Posons, pour abréger,
et
/l — p (v-l- 2/1) (v-f- 2/î — l)...fv -f 2/1 — p)
On aura
et généralement
(v -h ?. //; .'v -f- 2/1 — i)...(vH-2/ï — r-4-î) .
D'après cela, notre équation devient, en remarquant que An est nul,
( >« -+- On >n-l ) -+- A 1 ( >;,», -f- 0;,, >„.j ) -4- A, ( >„, -4- 0„rA„., ) -^ . . .
En donnant successivement à n les valeurs i, 2,3,...,/i, on obtient n équations, d'où l'on tire immédiatement
>,-l-Oi = o, >,+ 0,>i = o, >, 4-0,>,= o, ..., >»4-0„^«i =
ou
En multipliant ces égalités membre à membre, il vient
'* ' I .2. . . (// — ij n
ce qui permet d'écrire immédiatement la valeur de la fonction symétrique cherchée F([Ji,v).
Il faut remarquer que notre procédé est en défaut dans le cas de V = o, mais la formule qui fait connaître A« , ne cesse pas toutefois d'être exacte. Dans le cas dont il s'agit, les valeurs de Op et.de A^ deviennent
. ôp— I, Ap=:^ ^j
on voit que A„ n'est pas nul, comme dans le cas gêné-
SECTION II. CHAPITRE I, SgS
rai, et qu'il est ici égal à An^i. L'équation entre X^, ^w-o • • •> X| peut alors s'écrire ainsi :
en remplaçant successivement n par i, 2, . . . , ti, on obtient 71 équations, d'où l'on tire
ÎLj -f- 2 rz= O, >j -f- >.| = O, Xj -4- Xj r= O, . . . , X|j -f- Xfl,-^ = G,
et, par suite,
on a donc cette valeur de F(|!x, o),
F ( u, o ) — 77^ — 2/?^ip^i -4- ^p^tPif^i ~ . . .
Méthode de Cauchy.
m, Cauchy a publié, dans ses anciens -E'xercicej de Alathémaliques (4* année, p. io3), une méthode nouvelle et fort élégante pour obtenir la valeur d'une fonction symétrique et entière des racines d'une équation. Celte méthode consiste à éliminer successivement de l'expression de la fonction symétrique qu'on veut évaluer chacune des racines de l'équation proposée ; elle repose sur la proposition suivcute :
Soit V une fonction symétrique et entière des racines Uj bj c, . . . , i, A", / d'une équation
que nous représenterons aussi, pour abréger, par
et supposons qu'ayant éliminé de l'expression de V, par on moyen quelconque, toutes les racines excepté a, on
ait mis la valeur de cette fonction sous la forme d'un polynôme entier et rationnel ordonné par i*apport aux puissances de a, que Ton ait, par exemple,
V = Aoa»*-hAia»*^*-+-.. . -H A,^i a + A,^,
Ao, Aj, ... étant des quantités composées rationnellement avec les coefficients de Téquation proposée ; je dis que, si Ton divise cette expression de V par le polynôme
obtenu en remplaçant x par a dans X, le reste de la division ne contiendra pas a, et sera précisément la valeur de la fonction V.
En effet, si Q et R désignent le quotient et le reste de la division V par A, on aura V = AQ -f- R et, comme
A est nul,
D'ailleurs, ce reste R est au plus du degré m — i en «; nous le représenterons par
et l'on aura
Mais, V étant une fonction symétrique, on peut changer les lettres a et i l'une en l'autre, ainsi que a et c, . . .: et comme, par ces changements, ^o» ?«> - • • conservent leurs valeurs, il s'ensuit que l'équation
sera satisfaite en remplaçant x par l'une quelconque des m racines a, /^, . . , , A", /; ce qui est impossible, à moins que les coefficients ne soient tous nuls, car cette équa-
tîon n'est que du degré m — i ; on aura donc, en particulier,
comme nous l'avions annoncé.
La démonstration précédente suppose que les m racines a, by c, , , . y k, l sont inégales ; mais les conclusions précédentes ne subsistent pas moins, si quelques-unes de ces racines sont égales entre elles. Nous emploierons, pour justifier cette assertion, un raisonnement dont on fait un fréquent usage en Analyse.
Si l'équation X = o a des racines égales, on considérera d'abord à sa place une équation X| = o, dont toutes les racines seront inégales, et qu'on obtiendra en faisant subir des modifications insensibles aux coefficients de X; par exemple, si Téquation X = o a trois racines égales à Uy et qne les autres racines soient difi'érentes, on prendra
X ( X — a — hU .r — a — /i' )
Le polynôme X| ne diflere de X qu'en ce que deux des trois racines égales à a sont remplacées par a -h A et a-^h' : on voit aisément, sans qu'il soit nécessaire d'insister davantage, comment on devrait choisir le polynôme Xf, si, outre les trois racines égales à a, Téquation proposée avait plusieurs racines égales à &, à c, . . . . Cela posé, substituant l'équation Xj = o à X = o et conservant d'ailleurs les notations précédentes, on arrivera à l'équation
et cette équation aura lieu, quelque petites que soient les quantités /i, A', ... ; elle aura donc lieu aussi à la limite, quand on fera A =1^ o, /i'= o, . . . .
398 COURS d'ALGEBHE SUrÉRIELUJË.
178. Voici maintenant la méthode donnée par Cauchy, pour calculer la valeur d'une fonction symétrique et entière V des racines a, i, c, ..., i, /t, / de Féquation
Divisons X par x — a, et désignons par X| le quotient; divisons de même Xi par or — b, et désignons par X2 le quotient, puis X2 par x — c, et soit X3 le quotient, et continuons ainsi d'enlever de X tous les facteurs linéaires jusqu'à or — A" inclusivement^ en sorte que X,„i ne contiendra plus que le seul facteur x — /. Cela posé, considérons les m équations
X = o, Xi rrr: G, Xj = O, . . . , ^m^l — - O.
La première n'est autre que la proposée, et elle a pour racines a, i, c, ..., A", /; la seconde a pour racines 6, c, ...» ky /, et ses coefficients sont exprimés sous forme entière en fonction de a et des coefficients de la proposée ; la troisième a pour racines c, . . . , A, /, et ses coefficients sont exprimés sous forme entière en fonction de h et des coefficienls de la précédente, c'est-à-dire en fonction de «, fi et des coefficients de la proposée ; et, en général, les coelficicnts de Tune quelconque de ces équations sont exprimés sous forme entière en fonction des coefficients de la proposée et des racines qui n'appartiennent pas àTéquation que Ton considère. Désignons enfin par A la valeur de X pour x = a,- par B la valeur de X^ pour ^r' =. i, par C celle de X2 pour x = c, et ainsi de suite, en sorte que I sera la valeur de X;n-3 pour x = i, K celle de X«.j pour X = ky et h celle de H^m^t pour x = /; on aura
Cela posé, V est une fonction symétrique, non-seulement des racines de Féquation X = o, mais aussi des
racines de l'une quelconque des équations
X=0, X| = O, ..., X,„8 = 0, X;„j=rO, X;n— 1 = 0*
Nous allons faire voir comment, en s'appuyant sur cette remarque, on peut, à Taide du théorème fondamental démontré plus haut, éliminer successivement chaque racine de l'expression de V.
D'abord l'équation L = o, où / entre au premier degré, permet de chasser immédiatement /de l'expression de V. Considérant alors V comme fonction symétrique des deux racines k et / de l'équation ^m^2 =- o, dont l'une / est déjà éliminée, on l'ordonnera par rapport à k, et on la divisera par K, conformément à ce qui a été dit plus haut; le reste de la division ne contiendra pas k et sera la valeur de V débarrassée des racines k et /. On considérera alors V comme fonction symétrique des trois racines i, k, /de l'équation X;;i 3 = o, dont les deux dernières n'entrent plus dans son expression, et, l'ayant ordonnée par rapport à i, on la divisera par I à TefTet d'éliminer i; le reste de la division ne contiendra pas i et sera la valeur de V débarrassée des trois racines i, A*, /. On continuera de la même manière, jusqu'à ce qu'on ait éliminé de V chacune des racines n, i, c, . . ., /, /:, /; on aura alors la valeur de cette fonction exprimée par les coefficients de l'équation proposée.
Il importe de remarquer que l'expression définitive de V s'obtient par de simples divisions, et que les premiers termes des polynômes A, B, G, . . . , I, K, L, qui servent successivement de diviseurs, ont tous Tunité pour coefficient : par conséquent, ces divisions n'introduiront aucun dénominateur : en sorte que, si l'expression primitive de V est entière, non-seulement par rapport aux racines a, i, c, -•.,/, A, /, qui y entrent symétriquement, mais encore par rapport aux coefficients pt,
400 COUKS D^ÀLGilBRE SUPÉRIEURE.
p^j . . . , qui peuvent eux-mêmes y figurer, l'expression définitive de V sera aussi entière par rapport à ces coefficients ; enfin, si ces mêmes coefficients sont des nombres entiers, V sera pareillement un nombre entier. Ce résultat important, que nous n'avions pas établi complètement par notre première méthode, mais qui résulte immédiatement delà méthode de Waring, se déduitaussi, comme on voit, de la méthode de Cauchy.
Application de la méthode de Cauchy à un exemple,
179. Nous allons appliquer la méthode de Cauchy à la détermination du produit des carrés de toutes les différences des racines d'une équation donnée, prises deux à deux. Cet exemple suffira pour montrer cbmment on peut, par des artifices convenables, simplifier dans certains cas l'emploi de la méthode.
Soient toujours a, J, c, . . . , A, / les tn racines de Féqualion
soient aussi
