tt

Maintenant, si les séries (6) et (7) restent convergentes quand on réduit chacun de leurs termes à son module, la série nouvelle que nous venons de former sera aussi convergcnte, par un théorème connu, et elle aura pour somme le produit des sommes des deux premières séries. D'ailleurs elle se déduit de la série (6) ou (7), comme on vienl

(* ) La réduction dont il s'agit ici résulte de la formule qui sert à exprimer la différentielle d'un ordre quelconque du produit de deux fonctions. SvueXv désignent deux fonctions d'une variable indépendante jt, on 1

mais, t étant une fonction quelconque de x, on peut écrire aussi

,„s i ■^j^r-L)--(^-A^-')rf»-.(t>rf«)rf.>-*4^...

d^-\t^du).-

Cette formule se vérifie immédiatement quand /ui = 1 ; pour établir sa généralité, il suffit donc de montrer que, si elle a lieu pour les valeurs 1 , 3, . . ., m de //, elle subsiste pour /i = m + 1 . Dans cette hypothèse, si Ion

fait /A =: m — I et qu'on écrive e au lieu de «, — j au lieu de v, on aura ^ ç m — i V

Cela posé, si Ton différentie la formule (<z ), a)»rè8 y avoir fait ^ =rm, on

SECTIOn II. — CHAPITRE II. 443

de le voir en remplaçant dans celle-ci Y (u) ou n(u) par le produit n(u) Y (m); donc on a

et si Ton pose

n{u)w{u)=^{u), n(ii) = ^J,

on déduira de la formule précédente Posons

Y(«) = --, 0f|,)=:JL, d'où îi^|=ll'»,

n et n — m étant des entiers positifs, on aura, par la formule (5),

et de même

^n—m ' (fn—rn ' ' *

trouveraf en faisaDt usage de la formule (&), que le coefficient de (^■-^-t-' ~ se compose des deux parties suivantes :.

-^d^-'{t^-'dit).f]'

Dans la seconde partie i le facteur entre crochets a pour valeur d^-*(t*du), car ce facteur n'est autre chose que le second membre de la formule (a) quand on remplace /jl par A — i, « par f et t^ par t^~^du, La somme des deux parties dont nous venons de parler est dono

(mH-i)m(m-i)...(m — AH-a) ^j, ^^iju),

d'où l'on conclut que la formule (a) subsiste pour /ui = m-f-i.

X^4 COURS d'algèbre supérieure*

h formule (g) deviendra alors

Supposons que le module de la racine a soit inférieur «u module de chacune des autres racines, et faisons londre nvcrs Tinfini, m restant constant; les rapports

f" tendront vers zéro, et si les quantités e^,

€//-m s'évanouissent aussi pour 71 = 00, on aura

c'est-à-dire

» d ""•) ^, s t du ^■'^"^J

a"" = tt" -t- . -.—'./{u] H

du ^ ' 1.2 au