du 1.2.3 du

série dans laquelle le terme général est

^^^ "" 7.2.3.../ dûi~^ '

et où il fautretenirseulementles termes qui contiennent u en dénominateur. Cherchons à quoi se réduit l'expression (4)-

Conformément à l'usage adopté par plusieurs géomètres, nous conviendrons que le symbole r((ji-f-i) représentera le produit des /jt premiers nombres entiers dans le cas de [l entier positif, et que le même symbole se réduira à l'unité dans le cas de/ix = o ; ainsi Ton aura

r(fx-+- 1) = 1 .2.3. . .pt et r(i)=i. Cela posé, on a

\/^i Px Pi J

et, en élevant à la puissance 1,

UWJ-i ')2.r(X,+,)...r(x„^,)/,x.^-+x„*

le sîgne sommatoire \ s'étend à toutes les valeurs entières positives ou nulles des exposants ?.2> ^3> •••» ^m» assujettis seulement à vérifier Téquatlon de condition

Si Ton multiplie cette valeur de [f{u)Y par -rr^— r— r > et qu'on détermine le nombre X| par la condition

il viendra

r(X,-(-i)...rp.„-i-i) p],* ■■*'

PV-'-P-'T „-a,-v.),

et, comme nous n'avons à tenir compte, dans le second membre, que des termes qui contiennent u en dénominateur, on voit que le nombre X| ne devra recevoir aucune valeur négative. Si Ton prend les dérivées d'ordre i — i , par rapport à u, des deux membres de l'égalité précédente, il viendra, en ayant égard à la condition (5)

i^\ ; 1.2.../ du^" '

//r(>i-t->2-4-. .-f-).,n] p\' . ■ ■ pIt î ^

r ( /j -i- 1 ) . . . r ( >,„ H- 1 ) /7>>t-+-- • .^-Am ,^À.-H...^-Xm

Le second membre de cette égalité (7) exprime la somme des termes du premier membre qui contiennent u en dénominateur^ ces termes sont les seuls qu'il faille retenir; le signe N s'étend à toutes les valeurs entières nulles ou positives des exposants Xi? ^2? •••> ^m suscep-

tibles de vérifier les équations de condition (5) et (6). En faisant successivement

l'équation (7) fera connaître la partie à conserver dans les différents termes du second membre de l'équation (3), il parlir du troisième. Mais je dis, de plus, que le second membre de l'équation (7) exprimera, pour i = i , la partie à conserver dans le deuxième terme de la valeur de j^, et que, pour i = o, ce même second membre se réduira au

premier lerme — de la valeur de 5^. En effet, pour 1 = 1,

les exposants Â2> ^3> •••> '-m sont nuls, à l'exception de l'un d'eux, qui.est égal à i^ si c'est >p qui est égal à i,}i| est égal à n — p d'après la condition (6); le second membre de Téquation (7) se réduit alors à

ou

Il le signe \ s'étend aux valeurs de p depuis p = a jusqu'à p = m si tn est moindre que /î, et jusqu'à û=n si m est plus grand que n. On voit que l'expression précédente représente la somme des termes de — n fW*

qui conliennontw en dénominateur.

Enfin, pour i =1= o, les exposants X2, Xj ,..., X^ sont Ions nuls; }.| se réduit à w à cause de la relation (6'; n, à cause de «r(/z)= r(/î-f-i), le second membre de

Téquation (7) se réduit au terme unique ~r qui est le

premier terme du second membre de l'équation (3).

Le second membre de l'équation (7) ne renferme pas explicitement l'indice i ; donc, d'après ce qui précède, ce second membre exprimera la partie à conserver dans les

dillëreiits tenues qui composent le second membre de Téquation (3), pourvu que Ton fasse abstraction de la condition (5) et qu'on n'ait égard qu'à la condition (6). Ainsi Ton a

ou, en remettant au lieu de u,

Pi

'^^ '""'L r(),+ i)"r(>,-M]...r;),.-Mj ^»*^«'-"^- '

le signe \ s'étendant, nous le répétons, à toutes les valeurs entières nulles et positives des exposants X|, ^2v*") /,„ susceptibles de vérifier la condition

/i -f- 2 }vj -h 3 ^3 -4- . . H- //i >;,j = /î.

La formule (8) fait ainsi connaître immédiatement, en fonction des coefficients, la somme des puissances /i»*°*«* des racines d'une équation \ elle a été donnée par Warîng, dans ses Meditationes algehraicœ (•). Waring ne fait pas connaître la méthode qui l'a conduit à sa formule, et il se borne à en vérifier l'exactitude.

Application à V équation du deuxième degré.