UL

On déduit imnftîdiatemcnt de ce résultat la valeur du polynôme que nous avons désigné par V;, au n^ 109. En effet, V„ est une fonction entière de x définie par les deux équations

V„ n:-- S« H , 3 -+--:= wT.

Il s'ensuit que V^ est la somme des puissances /i' "" des racines de l'équation

\t — z) { i ) =0, ou t^ — Xt-hi =z O;

par conséquent la valeur de V« se déduira de celle dois écrite plus haut, en faisant /7= x et 9= i; il vient ainsi

ni n — 3) .

V^ = x" — nx''-^ H x«-* — . . .

^ 1 . '2 . . . fX

formule qui coïncide avec celle que nous avons obtenue au n" 109 par une analyse différente.

Sur l'expression d* une fonction symétrique d'ordre quelconque des racines d'une équation, en fonction des sommes de puissances semblables des racines,

108. Waring a donné, dans ses Meditationes algehraicœ[*), une formule qui fait connaître l'expression d'une fonction symétrique d'ordre quelconque des racines d'une équation, en fonction des sommes de puissances semblables des racines. Nous allons établir ici cette formule remarquable.

Soient

"^li ^t» "^3» • • •» "^Wt

les m racines d'une équation de degré m, et

des entiers positifs ou négatifs.

Nous conserverons les notations dont nous avons fait usage dans le Chapitre précédent, eu sorte que 5^ représentera la somme des puissances de degré «i de toutes les racines et que le symbolr

j-f' xj» . . . x*/

désignera la fonction symétrique d'ordre i, dont tous les termes se déduisent de j:*' x,». . . jtJ^S ^^ faisant toutes les permutations possibles des racines. Nous supposerons d'abord que les exposants ce soient inégaux, et alors on

(•) Edicio errtia, p. 8. 29.

aura

Vr«.^?«....r?'

Cette formule permet de calculer les fonctions symétriques d'ordre 1 quand on sait former celles de Tordre i — I ; on en déduit

= *a,^a,*a, — (*a,^a,4-a,-+- *a,^a,4-at,-T- ^aj^a.-t-o,)"*- 2*a,->-«r»-3t»

/ -^aj^aj-HOt, Ka4~^- ^a,^a,-f-a,-»-a4\

"+~ v%, f-aj^a,4-a4~l~ ^a,4-a,^a,-i-a4~^ •*a,-»-a4^a,-4-a,) 2 . d f o[j^a,-f-a, f-a4

On peut écrire ces formules d'une manière plus abrégée cl découvrir la loi de leur formation en faisant usage de la notation suivante : partageons les i indices

en divers groupes. Soient X^ le nombre des groupes qui contiennent un seul indice, 1^ le nombre des groupes qui

contiennent deux indices, ..., A,- le nombre des groupes qui contiennent i indices^ on aura

)ii -t- aXj -h 3).3 -4- . . . -r /^i = /;

on voit que X/ doit être égal à zéro ou à l'unité, et si ^/ == i , tous les autres X sont nuls. Cela posé, ajoutons entre eux les indices « de chaque groupe et désignons par

Oj, Oj, ...» 0||,

les sommes obtenues ] enfin considérons le produit

faisons toutes les permutations des indices a,, â?,,. .., a«qui font acquérir à ce produit toutes les valeurs distinctes dont il est susceptible, ajoutons tous les résultats et désignons par

T[ Aj, Ajt • • • f A/]

la somme obtenue qui sera une fonction symétrique des indices a.

D'après celte notation, les formules écrites plus haut deviennent

( ^xî..r««=T(2,o)-T(o, i),

yj:?.xï«x«. = T(3,o,o)-T(i, i,o)-+-'JtT(o, o, 1),

Vrjf«^««jra»x** = T(4,o, o, o)--T(2, 1, 0,0) (2) ( H-2T(i,o, î,o)— 2.3T(o, 0,0, 1)

\.Tf*x1*xl»xl*xf=T[5y o, 0, o, o) — T(3, I, o, 0,0)

-f- 2T(2,0, I,0,0JH-T(l,2,0,0,0)

et il est aisé de vérifier qu'on a généralemeut

le signe ^ du second membre s'étendant à toutes les valeurs de ).| , X2, . . .7 ^1 qui satisfont à la condition

et le symbole T[ix) désignant, comme au n** 196, le produit des fj. — I premiers nombres entiers.

Au moyen des formules (2) on vérifie Texactitude de la formule (3) pour i = 2,3,45^î donc, pour établir la généralité de celle-ci, il suflit de prouver que, si elle a lieu pour i = k, elle a lieu aussi pour i=:A"-f-i. Admettons que Ton ait

le signe \ du second membre s'étendant à toutes les valeurs des entiers /, pour lesquelles on a

A j -t - 2 A2 -f- ô A3 H— . . . — r- A Aj^ :^z h •

Il est évident que Texpression de

sera formée de termes tels que

T ( Aj , Aj, . . . , Ax-, Ax-^-i ),

OÙ Ton aura

>.i-f- 2>2-h 3>j-i-. ..-f- /■>A-f-(X--T- i)Xx-i-i = it -4-1;

nous allons chercher à déterminer les coeflîcients qui inulliplient ces dilTérents termes.

Supposons d'abord que X| ne soit pas nul, ce qui exige que y^/(+t le soit; on aura

Cela posé, le terme en

que nous considérons, proviendra en partie [formule ( i ) ]

de la multiplication de s^^^^^ par \ x^' x^* . . . xj*; et,

comme les termes de ce produit ne peuvent évidemment se réduire avec ceux qui proviennent du changement de «I en «i-haA+i ou de «, en «j-f-aA+i, ou, etc., il est clair que le coefficient de

T(>,, Xj, . . . , >^, o) dans \ jc*' x^* . . . .xjf*;^/ sera égal au coefficient de

T[ A| — I , Aj, .... A/fj

dans \ x*« x^k . . j:J!*, c'est-à-dire égal à

ce résultat est conforme à celui qu'on déduit de la formule ( 3 ) quand on y fait i = k-r'i.

Considérons maintenant le terme en

A ^O, f»2, • • •» A^, A^^|, . • ., Aj^., O],

dans \ j:*' x^* . . . x** x'^'!^(. Ce terme provient tout entier [formule (i)] des résultats que Ton obtient en changeant, dans — \ x*> j:^' . . . xj*, ai en t| + a)i^.|, ou

a, en a,-4-aA+î, ou, clc. Les termes de l'expression de — > x^* x^' . . . o'J*, quî concourent ainsi à former le terme que nous considérons, sont évidemment de la forme

OÙ g peut avoir toutes les valeurs telles, que ^g+i ne soit pas nul, et le coefficient correspondant sera, d'après la formule (4) ^

Or chacun des termes de

contient, d'après sa définition même, un ou plusieurs facteurs de la forme

OÙ le nombre des indices a est égal kg] si, dans les facteurs de ce f^enre, on remplace successivement «t par «i-f-aA+iî puis «a par «j-f- a)t^.i, puis, etc., ot quon réunisse ensuite tous les résultats, chaque terme sera répété g fois dans la somme. Il s'ensuit que le terme en

donnera, dans \ x^' xj* ... x^^xjî^^/, une partie des termes contenus dans l'expression

1 ( O, Aj, ...» A^, ^/r+i» • ■ • 1 ^A-» ^ J»

et qu(; ceux-ci auront pour coefficient on

( ,)A-hi-x,-x, — >ir{2)>,... r(g')^ffr(g'4-i)V»...r(itj\

a cause de gT{g) =r(gr-f-i). Les termes qui peuvent naître des diverses valeurs dont g est susceptible ne pouvant se réduire entre eux^ le coefficient dé

dansN x*' xl* . . . xj* j:^^; sera

Ce résultat est conforme à celui qu*on déduit de la formule (3), en y faisant i = A-f-i.

Considérons enfin le terme en

dansN x*' x^' . . . xj* xj^/. Il se forme au moyen du seul

terme

de — > x^' x'^ . . . xjf*. Il faut effectivement, pour cela,

ajouter successivement a^+i à chacun des indices qui entrent dans ce terme, et réunir tous les Ar résultats qui sont évidemment égaux entre eux. On voit alors, à cause de Arr(A")= r(A-4-i), que le terme considéré a pour valeur

ce qui achève de démontrer Texactitude de la formule (3).

199. Il est aisé de trouver le nombre N des termes contenus dans la fonction que nous avons désignée par

Effectivement chacun de ces termes correspond à une certaine distribution des indices

458 ' COURS D^ ALGÈBRE SUPÉRIEDUB.

en Ài -f- Aa -r- • • • -H ^i groupes, et ^^ désigne généralement le nombre des groupes quî renferment k indices. Ecrivons, sur une même ligne, tous les indices a, de manière que ceux qui appartiennent à un même groupe se trouvent placés à côté les uns des autres, en commençant parles groupes d'une seule lettre, mettant ensuite les groupc^s de deux lettres, et ainsi de suite. On pourra former, de cette manière, N permutations ou arrangements des i indices qui correspondront respectivement aux N termes de T. Si maintenant on fait dans chacun de ces N arrangements toutes les permutations piossibles des indices qui . composent chaque groupe, sans altérer l'ordre des groupes

et sans faire passer aucun indice d'un groupe à un autre, le nombre total des arrangements qu'on obtiendra sera égal à

Jvr(2)\r(3)^....r(/)^-«r(/-+-i)\-.

Enfin, si, dans chacun des arrangements ainsi formés, on permute entre eux, de toutes les manières possibles, d'abord les X| groupes qui contiennent chacun un indice, puis les Jj groupes qui contiennent deux indices, puis, etc., sans altérer Tordre des indices qui composent un racine groupe, le nombre de tous les arrangements ainsi obtenus sera

Nr(2)\r{3)>'»..,r(/-+-i)^.r()^, H- i)r(>,-f-i)...r (>/-+- 1).

Or il est évident qu'en opérant ainsi on a formé toutes les r(t-f-i) permutations des i indices sans en omettre ou en répéter aucune. Le nombre précédent est donc égal à r(i-hi), et, par suite, on a

r(2)^r(3)>->. . .r(/-f-i)^.T(>i-4-i)r{)^i-H i). . .riX/-f-ij 200. La formule (3) suppose que les i indices

aj, (x.2t • • • , «/

Il est aisé de vérifier ces résultats au moyen des formules de Newton.

Méthode nouvelle pour former le dernier terme de l'équation aux carrés des différences.

202. Le produit des carrés des différences des racines d'une équation prises deux à deux, ou, ce qui revient au môme, le dernier terme de V équation aux carrés des différences, est une fonction entière des coefficients de l'équation proposée, qui possède plusieurs propriétés remarquables et qu'on a occasion de considérer dans diverses questions d'Analyse supérieure. Nous avons fait connaître au n** 179 le procédé de Cauchy, par lequel on peut calculer la fonction dont il s'agit, pour une équation de degré m, lorsqu'on connaît la valeur de cette même fonction pour une équation de degré m — i. Je me propose ici d'indiquer un procédé nouveau et d'une grande simplicité pour résoudre la même question.

Soit l'équation de degré m

et désignons par V^ le dernier terme de l'équation aux carrés des différences des racines. Il résulte de la théorie des fonctions symétriques que V^ est une fonction entière des coefficients p\y p^j . . . , pnn et que chacun des termes de cette fonction renfermera ///(/;/ — i) dimensions, si l'on considère chaque coefficient p comme ayant autant de dimensions que son indice contient d'unités. D'après cela, la valeur de Y m ordonnée par rapport aux puissances décroissantes de pm aura la forme

A|, Ao, . . . . A;,, étant des fonctions entières de pi^p^, . ..^ Pm-if dont la première est une simple constante.

Désignons par Vm-< le dernier terme de l'équalion aux carrés des différences des racines de réquation

Lorsque ;?;„ est nul, la fonction Vm se réduit à A,»; d'un autre côté, l'équation (i) se déduit alors de réquation(3) en multipliant celle-ci par x, c'est-à-dire en y introduisant une racine nulle. I] s'ensuit évidemment que l'on a

Cela posé, il est évident que la fonction Vm ne changera pas, si l'on augmente chaque racine de l'équation (i) d'une même quantité h ; or, par ce changement, les coefficients pi, p2y • • • y pm prennent des accroissements

^Pu ^Pt> •••* ^Pm-u ^Pm

qui s'évanouissent avec A, et dont les termes qui contiennent h à la première puissance sont respectivement

L'accroissement correspondant ^Ym de V^, savoir : dp\ opi dpm

est nul, quel que soit A, et, par conséquent, le coeflCcienl de la première puissance de h est identiquement nul; on a donc

On peut obtenir, d'une autre manière» cette équation qui va nous conduire à la valeur de V;,,. Si, en effet, on fait disparaître le second terme de l'équation (i) et qu'on exprime, par le moyen des différentielles partielles, que V/» est une fonction des coefficients de l'équation transfor-

mée, on retrouvera Téquation que nous venons de former. Nous écrirons, pour abréger, cette équation de la manière suivante :

dX,

en feignant que ;7| yp2y - • - yPm soient des fonctions d'une variable ^, qui aient respectivement pour dérivées

En différentiant l'équation (2) par rapport à la variable iîctive ^, se rappelant que A| est une constante dont la dérivée est nulle, il vient

Pm -^-"-^ —7r-Pn.-^

dV Or -"TT^ est identiquement nul; on a donc, en égalant à

zéro les coefficients des puissances de p^y

Pm-i Afn-l -t- -^- - = O,

A aA,„,

^Pm-lAm-i H -.y- = O,

3/>m-lA;n-8 H ^^ =0,

(/7l — 3)77,„«, A3 -f- -^Y =0, (m — 2)p^jA,-4--^ ==0, (—.W-. A. -4-^=0.

Si Ton connaît V;„i, la valeur de Am s'en déduit immédiatement, comme on Ta vu plus haut, et les équations précédentes donneront ensuite successivement A,n i> A;„o, ... ; en sorte que la valeur de V,» se déduit de Ym-t par de simples diOerentiations. *

203. Exemple. — On a supposons qu'on veuille avoir V3 . On posera et si Ton fait

on aura

^* "dç" ~^' ^'^ * "*" ~dF ^^'

On a d'abord cette valeur de A3, savoir :

^z = p\ [P\ — ^Pi) ==P\P\ — ^P\\ on en déduit

et, par suite.

on trouve enfin

Aj = i8/^i/?j — 4/;»; ^A,

Al = —27.

et, par suite.

On a donc

V3 = - 9.TPI -f- (18/?,/?, - 4/7Î)/?3 ^/^î/?; — 4p\.

Supposons encore qu'on veuille avoir V4. On posera V4 = Ai/>; -\- Aip] -h A3/?4 -+- A- ,

puis

JA^ dK^ ()A.

/^sAa-i- -j - = o, 2/73 A, -i- ~ m o, 3773A1 -h -^^^ r= c.

On a d'abord

A, — - 2:7>; -+- ^^p\PiP\ — 4y^?/^a ^-p\p\p\ — ^P\p\y

r)Ai

~^ — ^^\ptp\ -+- 6/^Î7?J -^ ^^Pvp\p\ — iSp'.PiPl

-^^P'iPIPh— ^^P\Pz^ et, par suite,

A3 ■■^-- ^\^PtP\ — ^P]p\ — Qop^p\p^ 4- i^p\PiP%

-'^P\P\'-^^P\^ d'où

"As on/ 9 . i^/- * 00 •» ^/ 4

riPi "^ ^^vjpiPz — -iuu/y , [Jt pj -t

'-'^rxi

et, par suite,

d'où

et, par suite.

ce qui achève de déterminer la valeur de V4.

Dans le cas particulier du quatrième de^ré, on peut mettre sous une forme commode pour le calcul arithmétique l'expression du produit des carrés des difl'érences des racines. Prenons l'équation proposée sous la forme

S. — Alg. sujj., 1. 3o

466 COURS d'algèbre SUPÉRIEUnE.

et soient

J z=: ace -:- 2 bcd — ad^ — eh- — c'. On aura, en désignant les quatre racines par a, 6, 7, c?,

C'est M. Cayley qui, le premier, a trouvé cette formule.

Démonstration nouv^elle de Informulé de Lagrange.

204. La formule de Lagrange a fait l'objet des recherches d'un grand nombre de géomètres; Cauchy, en particulier, est revenu à plusieurs reprises sur cette formule, et il en a donné diverses démonstrations. Mais, dans ces derniers temps, M. Rouché a fait une étude nouvelle et plus complète de la question, et il 9i publié, dans le XXXIX* Cahier du Journal de l'Ecole Polytechnif/ue, une démonstration qui ne laisse rien à désirer sous le double rapport de la rigueur et de la simplicité; nous croyons utile d'exposer ici Tanalyse de M. Rouché.

Les développements qui vont suivre ne se rapportent pas seulement aux équations algébriques : ils s'appliquent également aux équations transcendantes. Rappelons à ce sujet que, si /(c) désigne une fonction quelconque i/e/z déterminée de la variable z, qui s'annule pour z =^ Zi^ et si, ^x étant un entier positif, la fonction

a une valeur finie différente de zéro pour z = z^j la racine Z| de l'équation f [z) = o a le degré de multiplicité (x; les règles du Calcul différentiel montrent que dans

ce cas les /x — i premières dérivées de la fonction^ (:;) s'annulent pour 3 = rr,, tandis que la dérivée suivante prend une valeur différente de zéro.