Soity'(3) une fonction bien déterminée de la v«t
riable •
z = pfcosw -4- /sinw) ^rz. pc^^^
i désignant ici l'imaginaire y — i. Si Ton attribue au module p une valeur déterminée, la fonction y(c) ne dépendra plus que de l'argument w; donnons alors à co les n valeurs
n n • ^ 'fi
et désignons par Zoy Z|, . . ., z„i les valeurs de z qui répondent à ces arguments, la moyenne arithmétique des valeurs correspondantes def(z)f savoir
tendra vers une certaine limite quand le nombre n tendra vers rinfini ; cette limite sera dite la valeur moyenne de f{z) correspondant au module p.
Considérons, par exemple, la fonction
m étant un entier positif ou négatif; la valeur de
«m -"I L 1 --tn
n est
dès que le nombre variable n sera supérieur à ///, le dc-
468 COURS d'algèbre supérikuue.
noininateur de celte expression ne pourra s'annuler, car m est, par hypothèse, différent de zéro; d'ailleurs le numérateur est nul, puisque m est un entier; donc la moyenne arithmétique des n valeurs de z"* considérées est nulle dès que n surpasse m. Il s'ensuit que la valeur moyenne de la fonction z"* est égale %. zéro.
Quand le nombre m est zéro, la fonctiony(z) se réduit à l'unité et dans ce cas sa valeur moyenne est ellemême égale à i .
On peut conclure de ce qui précède la proposition suivante, qui nous sera utile :
Théorème. — Si, pour une valeur déterminée p du module de Invariable z, la fonction f[z) est déi^eloppable en une série convergente ordonnée par rapport aux puissances entières positivées et négatives de z, le coefficient d'une puissance entière quelconque js*, dans le d enveloppement y est égal à la valeur moyenne du
quotient — ^'
if
En effet, supposons que, pour une valeur p du module de c, on ait, quel que soit l'argument w,
ni=. — <x>
on pourra écrire
mz= — X)
ou, si l'on veut,
£ désignant une quantité qui tend vers zéro quand l'en-
lier M tend vers Tinfini. Prenons les valeurs moyennes des deux iriembrcs de cette égalité ; tous les termes compris sous le signe \ donneront des valeurs moyennes
nulles, à l'exception de celui qui répond k m = k et qui aura Afg pour valeur moyenne. Si donc on désigne par
n la valeur moyenne de 6, et qu'on représente par Oïl celle de Ci on aura
mais il est évident que /3 = o, car yj est la limite que prend, pour /i r:^ do , la moyenne arithmétique
des n valeurs de e; le module y? est donc inférieur à la moyenne des modules des quantités e, et, par suite, inférieur au plus^grand des modules de ces quantités. D'ailleurs celui-ci s'annule pour M = oo et, en conséquence, le module de ri se réduit en même temps a zéro. On a donc
206. Lorsqu'on attribue une valeur déterminée au module p de la variable 3, et que l'on donne à Tîirgument w toutes les valeurs comprises entre zéro et 9.7r, le module de la fonction y*(z) prend diverses valeurs. La plus grande de ces valeurs a reçu de Caucliy la dénomination de module niaximnni; le module maximum de f[z) est donc une fonction du module de la variable z.
Par exemple, soit
^yo COURS d'algèbre SUPÉRIEURE.
//^*' désignant une constante et m un nombre entier 5 le module àiif{z) sera la racine carrée de Texpression
P ou
