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— [«*-4- 2/7pcos(o» — a)-;- p']"S

et il est évident que le maximum de cette expression répond à w = a ; il s'ensuit que le module maximum de la fonction y(z) a ici pour valeur

Cela posé, on a la proposition suivante :

Théorème. — Le module de la valeur moyenne d'une fonction f{z) est inférieur au module maximum de cette fonction.

En cITet, la valeur moyenne ^JïLfi^z) de la fonclion f[z) est la limite vers laquelle tend l'expression

quand n tend vers Tinfini; le module de la somme qui figure au numérateur est inférieur à la somme des modules dos parties, et en conséquence il est inférieur, quel que soit w, à n fois le module maximum. Donc le module de ^K>f[z) est moindre que le module maximum.

Corollaire. — Lorsque, pour une valeur donnée du module p delà variable imaginaire 3, une fonction f{z) est daweloppable en une série convergente ordonnée 5//Ji^ant les puissances entières positii^es et négatis^es de z^

le module du coefficient de -> dans le développement,

est inférieur au module maximum du produit zj(^z).

En effet, d'après le théorème du n° 20o, le coefficient

de - dans le développement def[z) est égal à la valeur

moyenne du produit ^y(z), et, d'après Je précédent théorème, le module de ce coefficient est inférieur au module maximum de zf[z).

207. Ces notions préliminaires étant établies, considérons une équation de la forme

z = r<j,(xH- z),

dans laquelle t et x désignent deux constantes quelconques réelles ou imaginaires, et où (f représente une fonction bien déterminée qui reste continue pour toutes les valeurs de z dont le module est inférieur à une certaine limite R. Nous établirons d'abord, d'après M. Rouché, le théorème* suivant :

Théouème I. — *SÏ la Jonction (f[x-hz) est bien rfeterminée et continue pour toutes les valeurs de z dont la module est inférieur à R, et si la constante est telle, ijue le module maximum de la fonction

tff (.r -f- z] z

soit moindre que V unité pour une ^valeur r du module p de z inférieur à ïl, l'équation

aura une racine unique de module inférieur à r.

En effet, soit m le nombre des racines 2:1, Zj, . . . , Zm de cette équation, dont les modules sont inférieurs àr;

4^3 couns d'algèbue supérieurs.

on aura

(i) z — tff{x -^ z.) = [z — Zi) {z ^ z^) . . ,[z — z^)'^[z)^

en désignant par ^{z) une fonction bien déterminée, qui reste continue et qui ne s'annule pour aucune valeur de z dont le module est inférieur à r; on tire de là

r=rIog(3 — Zi)4-. • • "4- log(3 — «;„) — logS,

et, en différentiant,