LJ.).J

^ ' dz dz z — Zj z — z,n *

Donnons maintenant à la variable z le module r; le

module de -^ étant alors moindre que Tunité,

par hypothèse, on a

d'ailleurs la fonction cf(x-+-z) est développable, ainsi que chacune de ses puissances, en une série convergente ordonnée suivant les puissances entières et positives de z\ donc la fonction

iogr,'?ifjt.^']

peut être développée suivant les puissances entières positives et négatives de z, La même chose aura lieu aussi, par un théorème connu, à l'égard de la fonction

r ^©(.r-f-zH

dz

et il est évident que, dans le développement de celte dernière fonction, il n*y aura pas de terme en -• D'un autre côté, la fonction

est évidemment développable par la formule de Mçiclaurin, suivant les puissances entières et positives de r, puisque le module r de z est inférieur à R ; donc il n y a

aucun terme en - dans le développement du premier

membre de la formule (?.).

Passons au second membre ; comme on a

il est évident que le coefficient de -» dans ce second

membre, est égal à m — i ; ce coefficient doit être nul, et Ton a en conséquence

m =rz i, •

208. La démonstration de la formule de La^range est contenue dans le théorème suivant, qui fait connaître en même temps quelle est celle des racines dont la formule fournit le développement.

Théorème II. — Les mêmes choses étant posées que dans le théorème 1, si Von désigne par Z\ la racine de l'équation

dont le module est inférieur à /*, et par F (x -h z) une

4/4 COURS d'algèbre supéhieurk.

fonction bien détenninée et continue pour les valeurs de z dont le module n'est pas supérieur à r, In quantité ¥ [x -h Zt) sera dêveloppable en série con\fergente par la formule