Considérons Téquation trinôme

Pour que cette équation ait deux racines égales, il faut qu'elle ait une racine commune avec sa dérivée

(2) i = /wrw"»-*.

L'élimination de t entre ces deux équations donne

et l'équation (2) donne, pour /, la valeur correspondante

(m — iV"->

Donc, pour toutes les valeurs de t dont le module est

inférieur au module de — ôt— „,—,— ' celle des racines de

j'équation (i) qui a le plus petit module est développable en série convergente ordonnée par rapport aux puissances entières de t. Le développement sera, d'après

(*) Dans son Mémoire sur la série de La{;range, M. Rouché a établi aussi une autre formule plus générale, et de laquelle il a tiré une démonstration très-simple de la formule par laquelle Waring a exprimé la somme des puissances semblables des racines d'une équation algébrique. Je renverrai pour ces développements au Mémoire de l'auteur.

S. ^ Alg. sup,f 1. 3 1

48a COURS d'algèbre supérieure.

la formule de Lagrange,

Le terme général Un de cette série a pour valeur nminm — i). . .[nm — tï -h 2) ^^ »»,.

et Ton en déduit

i/„ w -h I ( /î/w — 72 -h 2 ) ... ( nm — n ->f m)

I^a limite de ce rapport, pour /i = oo , est

et Ton vérifie de cette manière que la série est convergente, si le module de t est inférieur au module de

212. L'emploi de la formule de Lagrange est souvent avantageux pour obtenir le développement en série des fonctions explicites; j'en présenterai ici deux exemples.

Supposons d'abord qu'on demande de développer en série ordonnée suivant les puissances entières de t la fonction

dans laquelle x désigne une quantité réelle donnée dont le module est inférieur à l'unité.

Je considérerai à cet effet Téquation du deuxième degré

u^ — 1 (i) u=jr-^t 7

dont les racines sont données par les formules

Pour que l'équation (i) ait deux racines égales, il faut que l'on ait

d'où Ton lire

jc étant réelle et comprise entre — i et -f- i , le module de ces deux valeurs de t est égal à Tunité; donc, pour toutes les valeurs de t dont le module est inférieur à i , celle des racines de Téquation (i) qui a le plus petit module est développable en série convergente ordonnée suivant les puissances entières et positives de t. Si nous supposons que la quantité t soit réelle et comprise entre — I et -4- I, on aura, d'après la formule de Lagrange,

I— i/l— 2^r H- ^* .T^~lt \ 1 I t^

1 =zx-ir - --f--— , -!-...

t 2 I (Lr l . 2

lui . . . . ,

et, si Ton différenlie par rapport à x les deux membres de cette formule, il viendra

en posant, pour abréger,

** i.a.../i2'» dx'^ '

on voit que cetlc fonclion X^ est précisément celle dont nous nous sommes occupés aux n°* 124 et 134.