CHAPITRE III
DIGRESSION SUR LA DÉCOMPOSITION DES FRACTIONS RATIONNELLES ET SUR LES SÉRIES RÉCURRENTES.
Théorie de la décomposition des fractions rationnelles
en fractions simples.
214. La théorie de la décomposition des fractions /'afio/i/ie//e5est si importante, et ses applicalions dans l'Analyse mathématique sont tellement variées, que je crois utile de la présenter ici avec tous les développemenls qu'elle comporte.
Nous commencerons par établir qu'une fraction ra-
F ( -ï ) tionnelle -— — , dont les deux termes sont des polynômes
quelconques premiers entre eux, est décomposabh; en une partie entière (qui peut être nulle), et en plusieurs fractions simples à numérateurs constants, ayant pour dénominateurs les diverses puissances des facteurs linéaires qui divisent le polynôme y (a:). Nous démontrerons ensuite qu'une fraction rationnelle n'est décomposable ainsi que d'une seule manière, et nous indiquerons enfin le moyen d'effectuer la décomposition.
215. Théorème I. — Si a désigne une racine de Vé- (juation f(^jc)^^o,0L son degré de multiplicité y en sorte que Von ait
/l (x) étant un polynôme non divisible par x — «, la
486 COURS d'algèbre supérieuris.
fraction rationnelle yj — 7^ supposée ir réductible , pourra
toujours être décomposée en deux parties de la maniera suiv^ante :
F(^) A F.i'xl
A étant une constante y et F| (x) un polynôme entier. En effet, on a îdenliquement, quel que soit A,
cl, pour que le deuxième terme du second membre ne contienne à son dénominateur que la puissance « — i du facteur x — a, il faut et il suffit que le numérateur F(x) — Ay'i [x) s'annule pour x = a. Posons donc
F(«)-A/i(a)^o, on aura
/il";
cctle valeur do A sera finie et différente de zéro, puisque yi (a) et F (a) ne sont pas nuls ; si Ton fait alors
on aura
Ff.r] A F,(.r)
ce qu'il fallait dcmontrcr.
ConoLLAïuE. — Si l'on a
f[.r] r= [,r-aY (^ - b)K . .(x- /)\
^z, by ..., l étant des quantités distinctes et a, 6, .... i
des entiers positifs j la fraction rationnelle ~ ■— pourra dire décomposée de la manière suivante :
y ( j:; "" (x— û)« "^ (i — fl)«-» "^ • * • "^ x — «
(or— /)* (j:-/j^-i j^ — / ^ f'
A, A| , . . . , B, B| , . . . , L, L, , ... étant des constantes finies, et E {x) une fonction entière.
En effel, en posant comme précédemment on a, par notre théorème,
(^-«)-/l(^)"(x-a)-"^(^-«>-Vi(.r)' Ft(x) A, F,|.r)
(X— û)-i/,(.r) (.r-«)«-» (x- «)-Vi(^)
A, Ao ... Aa, étant des constantes finies et déterminées, elF|(j:), F2(j:), ..., ¥a{x) des fonctions entières. Il faut remarquer que la conslanle A n'est jamais égale à zéro, mais les quantités A|, A2, ..., A^^j peuvent être nulles, car l'un des polynômes F, (x), F^ [x), ... peut être divisible parx — a; en ajoutant les égalités qui précèdent, il vient
r) FW A A. A,, ¥j.r]
r) (x— û)*/i(-^J (•'^ — ";* ' :.r — ai— * "* x — fl f^[x\
488 COURS d'algebkb supérieuee.
Si ToD pose
et que l'on opère sur la fraction -r^— ^ comme nous vc-
nons de le faire sur — — ^^ on obtiendra une expression de la forme
et, par suite,
. B Bi Bg,, F.^e(^\
B, B|, ... élant des constantes déterminées et F,^.ç (a*) une fonction entière.
Vax continuant ainsi, on obtiendra évidemment la formule qu'il s'agissait d'établir.
21G. Théorème II. — Une fraction rationnelle n est décomposai) le que d'une seule manière en une partie entière et en fractions simples.
Supposons qu'on ait trouve ces deux valeurs d'une môme fraction rationnelle , — r
et
(x— «]•' [.r — ùf
on aura
H- . . . -i- E (x) = ~ -4- . . . + E' ( Jr)
{a — a 1^ ' [or — a y
Cela posé, a et «'étant respectivement les exposants des
plus hautes puissances de x — a, dans les deux membres,
je dis que a = «' et A = A'. Supposons, en effet, que
a et af soient inégaux et que a soit ]>'«'; tirons de
A l'équation précédente la valeur de î et réduisons
tous les autres termes au môme dénominateur; on aura
OU
«^ et (p désignant des polynômes dont le second n'est pas
divisible par x — a. D'ailleurs, A est une constante ; il
faut donc qu'elle soit nulle, car l'équation précédente
donne A= o pour x =a. Si donc A n'est pas nul, on
ne peut supposer a ^ «', et l'on ferait voir de même que,
si A' n'est pas nul, on ne peut supposer non plus «<^ a';
on a donc a = a\
Je dis maintenant que A = A'; en effet, de la for-
F ( t) mule qui exprime légalité des deux valeurs de —7^"
on tirera, a! étant égal à a,
OU
9 ettj/ étant, comme précédemment, des pol}'nômes dont le second n'est pas divisible par x — a\ la différence A — A' est donc nulle, car, pour a:= a, le second membre de la formule précédente se réduit à zéro.
Les termes qui renferment la plus haute puissance de X. — a en dénominateur, dans les deux valeurs de la fraction rationnelle, étant égaux entre eux, on pourra les : upprimeret les deux restes seront égaux. En raisonnant de même sur ces deux restes, on voit que les termes qui contiennent en dénominateur la plus haute puissance du même binôme x — a, ou d'un autre binôme, sont aussi égaux entre eux; et, en continuant ainsi, on reconnaît
que les fractions simples des deux valeurs de —^, — r sont
égales chacune à chacune : il en résulte, par conséquent, l'égalité des parties entières E(jc) et E'(j:).
Corollaire. — La partie entière qui figure dans la
valeur d'une fraction rationnelle -4-, — : décomposée en
fractions simples est égale au quotient entier de la division de F{x) parf(x).
Car, si l'on désigne par E(a:) le quotient et par ç(x) le reste de celte division, on aura
le numérateur de la fraction j^ — • étant de degré inférieur
au dénominateur, cette fraction s'annule pour x = QO , et en conséquence elle ne peut renfermer de partie entière.
Cas d'une fraction rationnelle dont le dénominateur
na que des facteurs simples,
