Soit

f[x) rr: (jr — a) (j?— 6). . .(j: — /),

fl, 5, . . . , / étant des quantités différentes ; si F [x) désigne un polynôme quelconque, on aura, par ce qui précède,

A, B, . . . , L étant des constantes déterminées et E(x) une fonction entiiTe.

Ainsi que nous Tavons déjà dit, le polynôme E(x) peut être obtenu en effectuant la division de F (a:) par f[x)\ il reste à déterminer les constantes A, B, ..., L. L'équation (i) devient, en multipliant pary(j:),

F (x) -:__^^ -f- --^--4-. ..+ ---• + E(x, /(or).

Celte égalité a lieu identiquement; si Ton y fait x = a, lous les termes du second membre s'évanouirontà l'exception du premier qui se réduira à A/'(rt), ainsi qu'on le reconnaît sur la formule

On a, en conséquence,

F(a) -A/'(a), d'où A = J,|-^;

d'ailleurs a est Tune quelconque des racines de l'équation y ( x) = o ; donc

et la formule (i) devient

Si le degré de F (x) est inférieur au degré ntàef (x), '' partie entière E (x) se réduit à zéro, et l'on a simplement

Ff*) F(a) F(6) . F(/l

::=Po,

Soit

Si Ton multiplie la formule (4) par f{x) et qu'on ordonne le second membre par rapport aux puissances décroissantes de x, le coefficient de x'""* sera évidenuncDt

F(a) ^ nb] 1(1]

et cette somme sera égale à P© ; on a donc

<') • im

le signe \ indiquant qu'il faut remplacer j: par chacune

des m racines de l'équation f[x) = o, et faire la somme des résultats. Si la fonction Y (x) est au plus du degré m — 2, la quantité Po est nulle et Ton a dans ce cas

formule qui est utile dans plusieurs circonstances.

Méthode pour effectuer la décomposition d^une fraction rationnellcy dans le cas général,

218. Le théorème I du n**215, par lequel on démontre la possibilité de la décomposition, donne aussi le moyen

8KCTI0N lî. CHAPITRE IIU 49^

de rcffcctuer. En effet, si Ton fait nous avons vu que Ton a

Ffx) A Fj.r)

en posant

A=-^] et F.(x) = y'l'iL__.:

on a ainsi Tune des fractions simples demandées, et, pour trouver les autres, il suffira d'appliquer le même théorème à la fraction complémentaire

Fjx\ [x^~a]-^f,[.r)'

Dans le cas où l'équation f{x) = o n*a que des racines simples, on retrouve facilement de cette manière la formule établie au numéro précédent, mais, ce cas excepté, l'emploi du procédé dont il vient d'être question exige des calculs assez pénibles.

219. On peut aussi employer la méthode des coef- Gcicnts indéterminés dont nous avons déjà fait usage au n" 217. Soit la fraction rationnelle

que nous supposons irréductible et dont le dénominateur est divisible par la puissance a**"* du binôme x — a, mais ne l'est pas par une puissance supérieure. Pour trouver les fractions simples qui répondent à la racine a, on posera

F f^ __ A Ajj , A.t f^r-rtl^FjJ*)

conformément au théorème I. Si Ton multiplie cette formule pary(x) cl qu'on remplace x par a-\-hy on aura

or on a

/(.+A)=;i./:if)-4-A--^'i"-l

et, en portant ces valeurs dans la formule précédente, on obtient

Ll .2. . . a 1.2... (a-hl) J

^JhJ-'^^' ^/,/!^:i|fl^...-|

Cette formule a lieu quel que soit A, et si Ton égale de part et d'autre les coefficients des mêmes puissances de A, jusqu'à celles de degré a — i, on aura

A.--^'-i'il=F(a).