a I.2...(a-fl) i

\^)[ ^ /«M , f-^Ha\ ^ /«■»-*[«) F"(«)

A, - - ■ 4- Al '- . - — - -f- A — 7 r^ ?

^ Aa-i- 4- Aa-j -: ; H-...-T-A — ; — - — =z- - ■

Ces relations permettent de calculer successivement A, A|. .. ., Aa i, et les valeurs de ces coefficients seront finies et déterminées, cary* (a) est, par hypothèse, différente de zéro. On peut obtenir par ce procédé les fractions simples qui répondent aux diverses racines de l'équation y(x) = o; quant à la partie entière, on la trouvera, comme nous l'avons déjà dit, en divisant F(j:) par /(a:).

220. Enfin, on peut effectuer la décomposition par un procédé qui n'exige que la division algébrique. En effet si l'on pose, comme nous l'avons fait plus. haut,

/(x) = (.r— «)Vi(^),

et que Ton écrive a -h h au lieu de a:, la formule (i) du numéro précédent, multipliée par A*, deviendra

VT -rr = A-hAtA-hAj//*-4-... tA«i/«*-*-:- -- - - •-,

et l'on voit que le polynôme

A -4- AiA-4- AjA' -+-. . .-^-A«i^«-*

est le quotient que Ton obtient quand on divise Tun par l'autre les polynômes F(rt-f-A) et f\[a-^h] ordonnés par rapport aux puissances croissantes de //, jusqu'à ce qu'on soit pan^enu à un reste du degré « ; on obtiendra donc, parcelle division, les fractions simples ([ui se rapportent à la racine a.

On pourrait déterminer ainsi, indépendamment les unes des autres, les fractions qui se rapportent aux diverses racines, mais il sera plus simple d'appliquer la

F (x) même méthode à la fraction ^; ! qui complète les termes

déjà trouvés ; on obtiendra ainsi les termes qui se rap-

49^ COURS d'âxgèbrb supérieure.

portent à une deuxième racine, et une troisième fraction sur laquelle on continuera l'opération .

221 . La méthode précédente a surtout Favantage de faire connaître l'expression algébrique des numérateurs des diverses fractions simples dans lesquelles se décompose la fraction rationnelle proposée. En effet, la division des polynômes F (an- A) elfi[a-hh), que nous avons effectuée dans le but d'obtenir les coefficients A, A|, Aj, ...,

revient évidemment à développer la fonction -;— — -

en série ordonnée suivant les puissances croissantes de h\ et, comme une fonction n'est développable que d'une seule manière en une série de cette espèce, on obtiendra le même résultat en faisant usage de la formule de Maclaurin. Si donc on pose

Ff.r)

on aura

en désignant par /i*R| le reste de la série; ici Rj est une fonction rationnelle de h qui n'est point infinie pour

h = o, et, par conséquent, celte valeur de -^r-, -| est

identique à celle trouvée précédemment. On aura donc

A = (p a), A, = (p(û), Aï — ——, ..., A«.i=:-— î — - —

d'où résulte ce théorème général.

Théorème. — Si l'on a

que F [x) désigne une fonction entière de x, dont le i/uotient par f{x) soit E (x), et que l'on fasse, pour abréger,

F (x\ on aura la valeur suii^ante de la fractionralionnelle--\—[ :

r — tiY ' {« — «)*"* ' l.Sî{x — a)"-* "' 1.2... (a — l) (jr— a) ^(iA ^'{h) Vib] <i^'-Hh]

\a:^bY ' [x^b)^-^ \.i[x — bf-^ 1.2... [6 — i) (^—^)

ct'/I u'il] rj"{l) c^-W/^

(x — /}■* ' (x— /j^-> 1.2(x-:/)"^-* I.2...1).— iJ(j: — /)

Forme nouv^elle de l'expression d^une fonction rationnelle décomposée en fractions simples.

222. Le résultat qui précède est susceptible d'une autre forme très-simple et très-éléganle que nous allons faire connaître. Désignons par ¥{x) une fonction rationnelle quelconque, par

les racines de Téquation

Y[x) S. — jlfg. srip,, I. 3a

et par

les degrés de multiplicité respectifs de ces racines. Soit aussi, pour abréger,

y (x) désignant une fonction qui a une valeur finie différente de zéro pour x = Xt.

Si Ton imagine que la fonction rationnelle F (x) soit décomposée en fractions simples, la somme des fractions relatives à la racine Xi sera

( X — Xj ) '"i 1 . ( X — X, j*"!-*