I.2...{/Wi — i — l) [x — Xi)^"*"* 1.2. ..(/»! l)(x — Xj

ainsi qu'on Ta vu plus haut. Par suite, cette somme s'obtiendra en faisant ^ = o dans l'expression

mj— l

l.?....(/?ii — I — i,(j: — Xj — Ç)'"*"* '" 1.2... (/Wi— i) i^j: — 'i — Ç|

Or ç'(x, H- ^), (p''(X| -!-?;[), ... peuvent être considérées comme les dérivées de ç («^i -i- 0 P^^ rapport à la variable ^, et alors il est aisé de voir que l'expression précédente se réduit à

r(p) désigne, comme au n** 196, le produit des p — i premiers nombres si p est plus grand que i, et il doit se réduire à l'unité pour p = i .

Comme on a

la somme des fractions simples relatives à la racine x^ sera égale à la valeur que prend, pour ^ = o, l'expression suivante :

Si donc la fonction rationnelle F (x) ne contient pas de partie entière, on aura

Dans cette formule, il faut faire ^= o, après les diffé-

rentiations; le signe sommatoire \ s'étend à toutes les

racines x^, X2, ..., x^. Il est presque superflu d'ajouler que, si le degré de multiplicité d'une racine, de Xf par

exemple, est égal à i , la dérivée ,T:zr^ — ^ doit

être réduite a

j: — .rj — Ç

Si la fonction F(x) contient une partie entière E (.r), on a

il est aisé de trouver la valeur de E{x), Désignons par n l'excès du degré du numérateur de F (x) sur celui du dénominateur; n sera le degré de E (j:). Cela posé, si l'on

change j: en - dans l'équation précédente et qu'on mul-

OOO COUBS D^LGÈBEE SUPÉRIEURB.

tîplic ensuite, de part et d'autre, par z^y on aura

Il s'ensuit que, si l'on développe z^Fj-j en série ordonnée suivant les puissances croissantes de z, la somme des termes dont le degré ne surpasse pas n sera z"E ( - i*

Or, ^ désignant toujours un infiniment petit, on a, par la iormule de Maclaurin,

donc on a

.■ '^'■Kl,

et, par suite,

\Ç/ "Ç 1.2 c/îT*

r-ç-pf-;)

On pont trouver une autre expression plus simple du polynôme E(a:). En effet, le coefficient de Ç"""' dans le

développement de ^"F( -J , suivant les puissances croissantes de ^, est égal au coefficient de ^^ dans le développement de ^''"*"'F( - j; d'ailleurs ces coefïicients sont les

SECTION II. CHAPITRE III. 5o F

valeurs que prennent, pour Ç = o, les deux quantités

q/ï — /-+-!) ^/j;"-' r(/n-i) Jç'*

donc on a, pour Ç = o,

et il faut remarquer que le premier membre doit être réduit à y''' F( - 1 dans le cas de i = n.

D'après cela, la valeur précédente de E(x) devient

cf" Ç" F( -|;] ( I -V- Ç.^ -H Ç*.^- + . . . -f-Ç'^r") E(.rl= î ^^.-. •

enfin, comme on a évidemment, pour Ç = o, et pour

on peut aussi écrire

ou

On a donc la formule suivante qui donne la valeur d\ine fonction rationnelle quelconque F(x) décomposée en

6'o2 COURS d'algI:biib supérieuee.

une partie entière et en fractions simples , savoir :

la quantité Ç devant être égalée à zéro après les dîfférentiations.

Mode particulier de décomposition pour les fractions rationnelles et réelles dont le dénominateur a des facteurs linéaires imaginaires.