La théorie que nous venons d'exposer s^applique

à toutes les fractions rationnelles -— — 75 et les coefficients

peuvent avoir des valeurs quelconques réelles ou îmaginaires. Mais^ lorsque ces coefficients sont réels et que parmi les racines de réquationy(x) = oil s'en trouve quelques-unes qui sont imaginaires, l'expression de la

fonction réelle -77 — { est elle-même compliquée d'imagi-

naires. On a cherché à modifier, dans ce cas, la manière d'effectuer la décomposition, et l'on y est parvenu comme nous allons l'indiquer.

224. La possibilité du nouveau mode de décomposition que nous avons en vue résulte du théorème suivant:

Théorème I . — Si x^ -h px -h q est le produit de deux facteurs imaginaires conjugués du poljnôme réelf[x)y n la plus haute puissance de ce trinôme qui dii^isef[x), en sorte qu'on ait

^ SECTION II. CHAPITRE III. 5o3

la fraction réelle et rationnelle -->■— r pourra être décomposée en deux parties, de la manière suix^ante :

F{.r) Px + Q Fï(.r)

P e/ Q étant des constantes réelles, etFi[x) un polj'" nôme réel.

En cÛct on a identiquement

F(x) ^ Ffx)

f[x) [x^^pjn^qY/;[,r)

et Ton peut déterminer P et Q de manière que le numérateur de la deuxième partie du second membre soit divisible par x^-^ px-{- q, c'est-à-dire de manière que ce numérateur s'annule en remplaçant x par chacune des racines de l'équation

Soient h-i-h\j — i et h — h yj — 1 ces deux racines, et posons

F(//±XV-T)-[p(AziiXV^j-hQ]/i(;izh^V^:=7j = o; on tirera de là

P(A ± / s'—.) + Q = ^;'-^4-f3| = (M db N ^37).

M et N élant des quantités réelles dont les valeurs sont finies et déterminées, puisque, par hypothèse,^! [x) n'est pas divisible par x^-{-px-^q. L'équation précédente se décompose dans les deux suivantes :

5o4 COURS d'algèbre supérieure. »

lesquelles donnent pour P et Q ces deux valeurs réelles

et finies,

^ N ^ MX-NA

Les valeurs de P et Q étant ainsi déterminées, nous poserons

Ff.r)~(P.r>|-Q)/,(.r)___

F| (x) désignant un polynôme réel, et, par suite, on aura

Ff.r] Pjt-^-Q F,(.r)

ce qu'il fallait démontrer.

Corollaire. — La fraction rationnelle —'—- pourra se décomposer de la manière suivante :

Ffr) Pr-t-O PiJ?-^Qi

J[j:) [jn^^ -\- p .r -Jf q y'' [x* -h p X -h q y' P„,.r-hQ„, . F„(.r)

P, Q, Pi, Q,, ... désignant des constantes réelles, et F„(x) un polynôme réel aussi.

225. En combinant le théorème précédent avec le théorème analogue démontré aun°2lo, on obtient celui-ci :

Théorème II. — Si l'on décompose le poljnôme f [x] en facteurs réels du premier et du deuxième degré, en sorte qu'on ait

on pourra décomposer la fraction rationnelle .,' \de

SECTION !!• — CHAPITRE III. 5o5

la manière suivante :

'^) *,/ \ A. Al Aa««

P:^^-Q j ^^1±3.^ ^ i!.?!'-if±9^»

(.r* 4- rjf -+- .vj"* ( x^ -i- ro: 4- jyj'"-* ^ * " x^ -{- rx -h f

E(j:) désignant une partie entière qui peut être nulle, et A, A|, ..., L, Li| , .. ., 1 , C^, r| , v^j, ..., 1\, o, 1\|, ^1, ..., des constantes réelles.

226. Théouème III. — Une fraction 7'ationnelle n'est décomposable que d'une seule manière en fractions simples de la forme qu'on vient de considérer.

Soient deux valeurs d'une même fraction rationnelle

'-^: — -' On démontrera, comme au n° 216, récralité des

fractions simples qui correspondent aux facteurs du premier degré du dénominateur, et quant à celle des fractions simples qui correspondent aux facteurs du second degré, elle peut se démontrer d'une manière analogue,

Px -*- Q comme nous allons voir. Soient 7—— le terme

dont le dénominateur contient la plus haute puissance

F(x) de x^-h px + q dans la première valeur de 7-—' et

.— , — '- — ,- le terme analogue dans la seconde valeur.

Je dis d'abord que n'-.-n. Supposons, en effet, que

5o6 COURS D* ALGÈBRE SUPÉRIBURB.

pela ne soit. pas, et que Ton ait n^n' : de Tégalîté qui a lieu entre les deux valeurs de ,,", tirons la valeur de

/ , — — , — yfi ', cette valeur sera exprimée par une somme

de quantités dont aucune n'a en dénominateur une puissance de x^ -i-px -nç supérieure à la [n — i)**"*. En réduisant donc toutes ces quantités au même dénominateur, on aura une égalité de la forme

P.r-f-O fl>'/r^

(x*-f-/;x-T-<7)'» (ar*-f-/?x-T-^)'*-*4'('=*^) OU

<f{x) et ^{x) désignant des polynômes, dont le second ^{x) n'est pas divisible par x^-^px -^ q. Or l'égalité précédente est impossible; car, autrement, l'équation Px -+- Q = o devrait admettre les deux racines de l'équation x^ -H px -i- (/ =^ o, ce qui ne peut arriver, à moins que P et Q ne soient nuls en même temps, contrairement à l'hypothèse. On ne peut donc supposer n ^ n!m n'^^^n, pour une raison semblable; par conséquent, on a n''= n.

Je dis maintenant que Ton a aussi P'= P, Q' = Q. Reprenons, en efl'ct, l'égalité qui a lieu par hypothèse entre

les deux valeurs de -7- — ,5 mettons dans un même membre

les deux termes 7—:; ^ — r- et -r—^ ^ — :- 1 et dans

le second membre tous les autres termes dont les dénominateurs ne contiendront aucune puissance de x^-^px-^r^ supérieure à la (/i — ijiènie. réduisant tous ces derniers termes au même dénominateur, on aura une égalité de

SECTION II. CHAPITRE III. Soj

îtle forme

(P- P')'+ (Q- Q') = (^'-'-/'' + «7) Jt^'

(a:)etij>(x) désignant, comme précédemment, des poly- 5mes dont le second n'est pas divisible parx* -f- px-f- y, : Ton fera voir aussi, comme plus haut, que cette égalité uge

P=:P', Q rQ'.

suit de là que, dans les deux valeurs de .., i les termes

ui contiennent en dénominateur la plus haute puissance 'un facteur du second degré sont égaux; en supprilant ces deux termes, les deux restes auront encore, our la même raison, deux termes égaux; et, en contiuant ainsi, on voit que les deux valeurs de la fraction Dnsidérée ne sont formées que de fractions simples orales chacune à chacune : il en résulte en même temps égalité des parties entières, s'il y en a.