Considérons les deux formes simultanées
f = al=bl, cp ^ «J = ^1 = yl = (51, prises séparément, on a les formations
B==iab)\
Q = Ql= (aH)a»H. = (a;3)' {y^)ylx:,,
R=(HH')*=(a^)M7^)M^7)(P^).
II faut combiner ces diverses formes entre elles pour en déduire les invariants et covariants simultanés du système. Il vient d'abord pour les composés de / avec cp
Si on forme les polaires de H
on en déduit immédiatement les composés de /avec H,
J = (aH)(ixHx = (<x3y (a3)axax, E = [aUf = (a|3)* (ax) (af ).
On sait que la formation Q est le déderminant fonctionnel de (p et de H; son premier composé avec /"peut s'exprimer au moyen de ces formes; le second composé de / avec Q est le covariant linéaire
Nous avons vu que la seconde polaire de Q a pour valeur
QJQ. = (aH)ajH^.
Remplaçons les y par les a; il vient
q = [aQy()a. = (aH) (aa)»Hx.
Pour l'exprimer par les symboles de / et de (p, remarquons que («^)' (y?>) yU, = A [(a3)» (y(5) -/!«.] + i (xy) (a|3)= (yP) («y) y..
Or, la forme du dernier terme est nulle et celle qui accompagne la caractéristique A est Q; il vient donc pour la première polaire de Q
Q5Q. = («P)'(y(^)yl^v;
par suite, le second polaire sera
QxQS=(a(3)M7P)7a.7v«y.
On en déduit pour ia forme q
q = {cL^y (y(s) iay) (fla) y,,
La forme k étant le déterminant fonctionnel de /"et de 9, il est inutile de considérer ses premiers composés avec f ou (p.
On trouve encore deux covariants linéaires par les composés de /"avec p et g ; ce sont :
r = {axf {hx) &x, 5 = (aQ)« (6Q) ba: = (ayf (aH) M) K
ou encore
D'après les valeurs de/) et de q. on peut remplacer les coefficients des variables (aa)*ai, (aa)*a2 par pi, 7)2 ainsi que iaQ)*Qi, (aQ)^Q2 par q,, (/s; il vient ainsi plus simplement
r = (hp)h^ = {ap)ax, s = {bq)hx == (aq)ax. Les covariants linéaires p, g, r donnent lieu à des invariants que l'on obtient en formant les déterminants de ces formes prises deux à deux Posons
Px = (axyûLx = (c?yp>xy
Tx = {(ip CLx = {OLXy {bx)bxf
qx=={ai^yQx.
On aura
F = (rp) = {Vipi — riPi) = (ap)aip2 — [ap)aipx =(apy.
— bi4 —
On pourrait prendre aussi pour F, le déterminant
F = {axy {bx)b, (ax)* {bx)bt j = {axy (c^)* ybx) (b?).
Ensuite,
M = {rq^ = l'iqt — r^ç, = (op)a,çi — («pWjç, = {ap) {aq).
Si on écrit
<ix = (?7)'07)(c^)(c?)^, il vient encore
c'est-à-dire
{axy{bx)bi {axy[bx)bt
(Py)» {dy) (c^) (C|3) ^. {^yy (dy) (c3) (c^) i,
M = {axy y^yY vtîy) (^^) (c^) ic;î) (6^).
En réunissant tous ces résultats, on trouve que le système d^one quadratique et d'une cubique donne lieu à quinze formes différentes, savoir : 1* Cinq invariants :
D = ah)\ R = (a;5)» iy^)* (xy) {£^). E = (a^)» {aa) (ii(3), F = (aa)* xcpf {bx) (b% M = (aa)« vfo')* (^7) l?»^) («'^) {c?) (c^). 2* Quatre covarianls linéaires :
P = (a^)' ^x- Ç = .^i^)* (73) (»7) (««)y*. r = (a a)* ,6a) 6„ .^ = ^a^)* r/ft («7) («^) (^7)^- 3« Trois covariants quadratiques :
f=al, H = {xpy a.p„ J = f ap)' (o^) a^.. -i° Trois covariants cubiques :
cp = al, Q = (a;5)^ (7?)7l^-, ^- = aa)a,al.
Afin de démontrer que ce système est complet, il faudrait de trop grands développements pour trouver place dans ce cours. >'ous allons seulement signaler quelques relations remarquables entre les fonctions de ce tableau. En premier lieu, J étant le déterminant fonctionnel de /"et de H. on a :
J'- = ~ i[(H, H)--/» - 2(/, uy-fR + (/,/)*fl«]
c'est-à-dire,
• J» = — ï[R/* — 2E/*H-f DH'].
Posons, dans cette relation, Xi =p2f X2 = — /)i, et cherchons ce que deviennent les différents termes par cette substitution. On aura
f= [apY = F, H = (a(3)' («p) {Ç.p) = [pWy ;
mais, on a vu que
q = (aH)(aa)='H. = (j3H)H^.
Substituons dans
q, = (pH)H,
aux X les quantités ;?; il viendra
(pg) = (pll)».
Donc, si on désigne par L le déterminant des covariants/? et g, la fonction H se change en L par la substitution proposée. La forme J elle-même se transforme en
(«H) {ap) (%).
Or, si on remplace les x par les a dans l'égalité
on trouve
{aq) = (pn)(aR).
Donc,
(aH) {ap) (^p) = - (ap) (aq) = - M.
En substituant ces diverses valeurs, la première relation devient :
M^ = — i(RF^ — 2EFL -f- DL*).
