FORME DU QUATRIÈME DEGRÉ

tQ56. Une forme du quatrième degré étant définie symboliquement par

f= a^ = b^ = ci, elle admet comme second et quatrième composés les formations

tt = {abyalbl, i --=--■ {ab)'.

La première est le Hessien de f et la deuxième représente un invariant du second degré. Pour s'élever aux covariants du troisième degré par rapport aux coefficients, on doit chercher les composés de /avec H. Dans ce but, calculons les diverses polaires de

H = Hl = (a6)-aît*.

Il vient, pour la première,

II »H,, = ^-^ {2albsby + 2a.aybl),

et comme les symboles a et 6 sont équivalents, on a simplement

(i) HiHy = (tt6)»alMy.

La seconde polaire s'obtient plus facilement par la formule de Clebsch- Gordan que par la méthode ordinaire. On a

(abyalbl = A'[{abyalbl] + {xy) A [ab)'a.b.-] + \{xyr (aby.

Le terme du milieu au second membre est nul, et celte égalité se réduit à

d'où (2)

(a6)»ai6j = A»H 4--(xy)^

mUl^^abyalbl ixy)\

La troisième polaire se déduit de la première en échangeant les variables; il vient ainsi

(3) HxH* = {abyalbyb^.

Enfin, la quatrième sera :

(4) ai = (abralbl.

Cela étant, remplaçons dans la première polaire les y par — C2, c, et multiplions par cl on trouve

(5) t = if, Uy = (cH)dH^ = {aby (cb)alb:^l ;

c'est le covariant du sixième degré de la quartique.

La formule (2) donne pour le second composé de /"avec H

(/, ny = (cH)^clHl = (aby (bcyald-^-d . cl. Or l'identité

(aby {acyblcl -j- {bay {bcYald + (cay [cbyalbl

= ilbcyaj, + {acybi + {abyc',-] se réduit à

{aby{bcyalcl = \{bcya*

si les symboles sont identiques; par suite il vient

(/•. H)«==i(6c)*a*— -cl,

c'est4-dire,

Le second composé n'est donc pas une forme distincle de /*. Cette formule permet de calculer immédiatement le quatrième composé de H avec lui-même. On peut écrire

si on remplace les a? par les b, on trouve

l(a6)'=^ = (aH)M«6)'(6H)»; mais, si on pose xt = H^ et x^ = — Hi, dans l'expression

il vient

(HH')* = (a&)*(aH)«(&H)2;

donc, en comparant, on aura