MULTIPLICATION DES DÉTERMINANTS

tu . Le produit de deux déterminants de l'ordre n est lui-même un déterminant du même ordre, -dont les éléments sont les sommes des produits des éléments de chaque ligne ou colonne du premier par les éléments de chaque ligne ou colonne du seco7id.

Considérons les deux déterminants du troisième ordre

Ctl ^1

tti 6»

as ht

Appelons P leur produit; nous avons vu précédemment que l'on a

bi Cl o o o

o — I yi y^ y*

mais ce déterminant peut s'abaisser au troisi('mc ordre, comme nous allons r indiquer. Ajoutons à la première ligne la somme des produits des trois dernières respectivement par a^,l)^^c^•, à la deuxième, la somme des produits des trois dernières par a^^ h^, e^ ; à la troisième, la somme des produits des trois dernières par a^, b^, c^; il viendra :

p=: o o o aiai-{-hiP)i-{-Giyi aiCii-\-biP>i-\-Gty> aiCf.:i-{'bi^i-\-Ci'/z \, o o o a2CCi-\-bi(^i-]-C2'/i «2^2 "1-/^2,32 -J-C2-/2 a2az-\-bt^i-\-Cfys o o o a5CCi-\-b5^i-\rC5yi cosc^-2-\~b5^2~{-csy2 (h^s~[-bs&s-\-Csys — 100 ûCi «2 as

o — I o j3, jSo ,65

o o — I yi yi yi

Or, ce déterminant est égal à — le produit des déterminants du troisième ordre adjacents à celui où les éléments sont nuls; en remarquant que l'un d'eux est égal à — i, on obtient :

p = a, ai -]- /)i(3i -|- cr/i ftia. -\- bi^2 + cr/-2 (ticcr. -\- bif^-, -\- cr/s

(a') a2<x.i -j- b2^i -{- C271 0,20^2 -H ^^■2^)2 -f- C2/2 c^-a^ + b2(^s -{- C2yi

ftscxi -j- b-J^x -\- c,r/t Oj~,cl2 -f- bi(î); -\- C3/2 «5^3 ■\- bs^s + Csys

Les éléments de ce déterminant résultent, comme on le voit, de la multiplication des éléments de chaque ligne de A par les éléments de toutes les lignes de B.

Le produit des deux déterminants peut encore être représenté par

ûCt

Cf.2

ût-ô

En effectuant les mêmes multiplications et les mêmes additions que toutà-l'heure, on trouve cette seconde forme du produit

a2aii-\-b20Ci -{-Caccs a2^\ -\-b2^2 -\- c^^s cn/i + ^^y» + «27»

Ici, les éléments de P s'obtiennent en multipliant les éléments de chaque ligne de A par les éléments de toutes les colonnes de B.

Enfin, écrivons verticalement les lignes horizontales de A et appliquons ensuite les deux règles précédentes; on arrive encore à deux autres manières pour former le déterminant produit : \° En multipliant les éléments de chaque colonne de A par les élémeiits de toutes les lignes de B ; ^'* En multipliant les éléments de chaque colomie de A par les éléme?its de toutes les coloîines de B.

On voit donc que le déterminant produit est susceptible de prendre quatre formes en général différentes.

lorsqu'on peut faire le produit de deux déterminants d'ordre différent, on doit préalablement transformer celui qui est d'ordre moins élevé de manière qu'il soit de même ordre que l'autre. Par exemple, on a

fto

at biai-]-CiPi 6ia2-l-C||32

«2 &2ai4-C2|Sl b2CK2-{-C2^2

as &3ai + CsjSi bscc2-{-Cs^2

18. On démontre également la règle de multiplication par la décomposition du déterminant (a') en une somme de déterminants à éléments monômes. En opérant d'abord sur la première colonne sans toucher aux deux autres, il viendra trois déterminants où les éléments de la première colonne seront monômes; dans ces derniers, en faisant la décomposition sur la deuxième colonne, on arrivera à 'neuf déterminants dans lesquels les éléments des deux premières colonnes seront monômes; enfin, en opérant sur la dernière colonne dans chacun de ceux ci, on trouve finalement vingt-sept déterminants à éléments simples. Parmi ces déterminants, ceux qui correspondent à une permutation avec répétition des lettres a, 6, c tels que

aiUi

aicf.2

Ciys

atai

bi^2

bip>s

a2(Xi

a2Cf.{

azdi

asa.2

Csys

asCf.K

bs^2

bs^s

— ôî)

sont tous nuls; il ne reste à conserver que les six déterminants renfermant les permutations sans répétition de «, h, c, tels que

»!«! bifÔ2 ctys ^2»! bi^2 csys asoii hiÇt2 c^yi

(hcct cr/i hif:)5 (hy.i c>yi ^2(3$ chy-i c-.y-i hi^u

etc.

Ils renferment en facteur le déterminant A, et l'on peut écrire

P = AXK, K étant un facteur qui ne dépend que des éléments du déterminant B. Cette relation doit être vraie quels que soient les éléments de A; supposons, dans A, les éléments de la diagonale égaux à l'unité et tous les autres nuls; on aura A= i, tandis que le déterminant P se réduit à B; donc K = B; par suite, il vient

Remarque I. Si l'on multiplie P par un troisième déterminant

C = ^1 ui V|

on trouve encore un déterminant du troisième ordre. En général, le produit d'un nombre quelconque de déterminants, dont le plus élevé des ordres est n, est un déterminant de l'ordre n dans lequel les éléments sont des expressions rationnelles et entières des éléments des déterminants facteurs.

Remarque II. Afin de former le carré d'un déterminant, on applique la règle démultiplication aux deux déterminants identiques

a 2 as

h, bs

a% Cl:,

bi bs

et il vient

»i bi Ci

as bs Cs

aia2-\-bib2-\-CiC2

aiai-\-bibi-\-CiCi aias-]-bibs-\-CiCt

al-\-bl-]-c\ a,as-\-btbs-{-CtCs

ftift6 + &i&3+c>cs a2as-\-bibs-{-C2C5 ^!+^14-<^î Donc, le carré d'un déterminant de l'ordre 71 est un déterminant symétrique du même ordre.

19. Comme application de la règle de mulliplicalion, nous donnerons les exemples suivants :

A^ + By + c kx' + B?/' + c

k'x + B'y + C' k'x' + Wi/ 4- C k''x -f B"y 4- C" A' V + W'y' -\- (V k"x" -f- B'V ' + C/'

Aip" + By' + C AV + By-f C

— a-\-b-\-c-\-d a — b-\-c-{-d a-\-h — c-f rf a-\-b-\-c — d b—a-]-d-\-c — h-\-a-]-d-\-c — h — a~d-\-c — b — a-\-d — c c-\-d — a-{-b — c - d— a-]-b — c-\-d-\-a'-\-b — c-]-d — a — b d-\-c-\-b - a ' — d — c-\-b — a — d-\-c — b— a —d-\-c-\-b-{-a

^{b-\-c-Yd—a){c-\-d-\-a—h) {d-\-a-\-b — c){a-\-b-\-c— d)

par suite, on a la relation

= —x^-\-x'{L'^ 1/ -|- I/'j ~ x^ {VL" — M* + hV — W -f LL' — M"^) + K

où l'on a

V = A'2 -f B"* 4- B\ M' = BB'^ -î- B'(A + A").

V = A"2 ]- B'2 4- B2; M" = BB' -f- B" ( A + A'):

Par ces valeurs, on voit que les coefficients K et L -[- ^^' -\- L" du polynôme en a? sont positifs; il en est de même du coefficient de x'^. Si l'on pose : x=h\/ — I, le polynôme est toujours positif; il ne peut donc s'annuler pour une valeur imaginaire de œ.

Î80. Considérons maintenant les deux systèmes de coefficients

a\ ht Cl Ui hi Ci

kl II

Cf.1 (3| 71 ... H| ^.1

«2 (32 72 ... Xi Aj

entre deux traits verticaux pour les distinguer des déterminants. En leur appliquant la règle de multiplication qui précède, il vient le déterminant du second ordre

«la, -]- ^i|3i + cqi -]- 1- lOi ttxa^ -\- bi^2 -\- cr/i-] \- /i>j

flîai -1-^2|3| + C271 -|- \- l2^\ CL2C/.1 -\- /?2/32+ C272+ •••4- ^2^-2

qui jouit de la propriété de se décomposer en une somme de produits de déterminants du second ordre. En effet, nous avons vu qu'un tel déterminant se ramène à une somme de déterminants du second ordre à éléments monômes. Si une même lettre se répète dans l'un d'eux, le déterminant est nul; en réunissant les autres renfermant respectivement les lettres c^ et &, a et c, a et rf, etc., tels que

etc.

chaque groupe renferme respectivement en facteur les déterminants («1^2), («102), (ftirfa), ..., accompagnés de coeffiicients qui ne dépendent que des éléments du second système. Nous avons donc la relation

Q = i\aM J^m{aiC2) H 1- r[hiC2) -] j- /(A-./n).

Afin de déterminer l^ m, ..., supposons les coefficients «1, Ih du premier système égaux à l'unité et tous les autres nuls ; les ditVérenls termes

aiûLi

hi^.

ttiOCi

Ciyi

Û2ai

du second membre s'annulent excepté le premier qui se réduit à /, car (a^b2) = I ; d'un autre côté le déterminant Q se réduit lui même à

donc, / == (atp2). L'hypothèse ai = c^ = i et tous les autres coefficients égaux à zéro donnerait m = (a,^^), et ainsi de suite. Il en résulte que le déterminant Q a pour valeur

ou, d'une manière abrégée,

Q = liab){ari)',

cette somme s'étend à toutes les combinaisons deux à deux et sans répétition des éléments donnés.

En second lieu, prenons les deux systèmes suivants t

ai bi Cl

as &2 C2

«5 Ih Cs

«1 j3i yi ..

«2 (32 ya

Yl;

Par la règle de multiplication, on arrive au déterminant du troisième ordre

R= aiai-l-&,|3,4- "-}-lili aia2-{-lhf^2-{ \-lih aia5-\-bt^5-\-' -l-lih

a2(Xl-\-b2P>i-{- ••-J-/2/1 ^2a2-|-&2jS2-l- ■• -\-l2^2a2Û'.Z'-\-b2^$-\-- --1-/2^3

a5Cii~\-b5^i-\ j-/3>i a-oCf.2-\-bôÇ!)2-\ [-Ish asas-^-bs^s-] \-hh

qui est égal à une somme de produits de déterminants du troisième ordre. En effet, en le décomposant en déterminants à éléments monômes, il arrivera qu'une même lettre se répète et, dans ce cas, le déterminant correspondant sera égal à zéro; ensuite les déterminants renfermant des lettres différentes abc, abdy ..., auront en facteur respectivement

les déterminants {a^b^c.^[a^ b^d^) , multipliés par des coefficients

qui ne dépendent que des éléments du second système. Nous pouvons donc écrire

R = l' (aib2Cs) + m' (aib2ds) -^ \- r' {byC2d,) -{ [- t'{hMs).

Posons maintenant

ai = b2 = C5 = i

et admettons que tous les autres coefïîcicnts du premier système soient nuls; le second membre a pour valeur /'tandis que le déterminant R se réduit à

Pi ft Ps

avec les valeurs

di = ho = ds == i et tous les autres coefficients nuls, on trouverait

ainsi de suite. On a donc la relation

R = {aibiCs) («1(3273) + {a^hids) («,^2(^5) H r l^iCarfs) ((3i72'Î5)

-1 (/tiA;2/5) ("/îixs^s),

ou simplement

R = 2 (rt&c) (a(3y),

cette somme se ccmposant de toutes les combinaisons trois à trois et sans

répétition des éléments donnés.

En continuant ainsi, on arrive à cette proposition générale :

Etant donnés deux systèmes de coefficients de m lignes horizontales et n

lignes verticales, m étant plus petit que n,

at bi Ci

a-y ho Cl

et m ''m Cm • • • 'r

a, |3, 7, ... Ix

'par la règle de multiplication, on forme un déterminant S de l'ordre m ayant pour valeur

S = l(al)C. ...)(a(37. ..•).

cette som?ne s'étendant à toutes les combinaisons m à m sans répétition des éléments donnés.

Gomme cas particulier, avec les systèmes

ax bi Cl a^ ^2 C2

on aurait l'égalité

a^ai ~\- 1)2^)1 + C^yi aia2 -\- IhÇ>2 + C272 De même, les deux systèmes

= {aih2) (a,,62)4-(«iC:.)(a,y2)

ai bt Cl dt Ui />2 Ci di «3 hs C5 ds

«3 (Bs 75 ^:-

conduisent à la relation

ai(Xi-]-hi^i-\-c,yt-\-didi aia2-{-hi^2-\-Ciy2-\-did2 a^as^blp)3-\-Ctys-\-d^^s

a2y.\-\-b2^\-\-Ciyi-{-d2^i aia2-\-b2^^-{-Ciy2-\-d2^2 ^2a3+&2[33-|-C273-l-ot2^3

aia,i-\-b5^i-\-C:,y,-}-d5Ôi fl3a2-l-?;532+C372+^3^)2 a-oCx.3-\-bs^',-{-C5ys-{-dsÔ5

= {aib2Ci){<xi^2y-.)-{-{aib2d5)(a.t^2^s)-\-{aiC2ds){a,y2^5) + {biC2d5){^iy2^s).

91. Supposons que les deux systèmes d'éléments soient identiques; les formules précédentes donneront pour Q, R, S des déterminants symétriques décomposables en une somme de carrés. Ainsi, avec des systèmes à deux lignes composées des mêmes éléments, l'on a :

«.«. + ^K + ••• + l'ii, 0,1 + K + ••• + Il

Cette relation exprime cette propriété : Etant données deux suites de quantités en même nombre Ui, bi ... /i ; «2, &2 ... /o, l'expression

(a]J^b\ + - +l\)(al+hl-\- ■■■ -^ l\) - {a,a, + h,b, -[-... + /,/,)'

est toujours décomposable en une somme de carrés

obtenus en combinant deux à deux ces quantités. Les systèmes

ai bt Cl dx

{kJ.~Kh)'

a-, bs Cs ds

ai bi Ci di a2 b2 C2 do ai bs Cs ds

conduisent également à la relation

aia2-\-}hh2^GxC-i-\'did^ al -\- Ul -^ c\ ^ d\ a-.az -\- hzU^ -\- c^Cz -\- didi

aiCi^ -\-hJ)i -\- CiCs-\-did-, a2ai -\- 1)2^5 -\- c-zCi -\' d-,(l-^ al -\- h\ -\- cl -\- dl = {aMctf + (^162^»)' + (a,c-d,y + (6.Cof/s)^

Enfin, pour terminer, nous ferons encore remarquer que la règle de multiplication appliquée à des systèmes où le nombre de lignes est plus grand que celui des colonnes conduit à des déterminants qui sont nuls. Par exemple, étant donnés les systèmes

ft,

en leur appliquant la règle de multiplication, on trouve le déterminant du troisième ordre

CtôûCi -h &3(3i a3a2+&5|S3 «.-.as -f- 6:,j33 qui est égal à zéro ; car il représente le produit suivant :

ftl 61 o

ai 62 o «3 ht o

DÉTERMINANT ADJOINT ; DÉTERMINANT AU PRODUIT DES DIFFÉRENCES , DÉTERMINANTS SYMÉTRIQUES.

î5». On sait qu'un déterminant de l'ordre n

fta

Cs ..

. Is

Cn ..

possède autant de mineurs de la première classe qu'il renferme d'éléments, et l'on peut former avec ces mineurs le déterminant de l'ordre n

A-n Dn Kjn

Lan

que l'on appelle déterminant adjoint ou réciproque du déterminant donné. Nous allons étudier les relations remarquables qui existent entre un déterminant et son réciproque. Nous commencerons par établir la relation

Si l'on forme le produit de A par A', on trouve