AA
a,A,4-6,Bi-| j-/,L, a,A2-|-&iB2H [-/iL2-"aiA„-{-6,B„-j |-/iLn
flîA, + MlH I-/2T., a2A2 + /),.B2-| \-l2W-'a2kn + h2^n'\ h^aU
a„A,-(-)?>nB,-| {-/«Li a„A2 + 6nB2-|-' • -|-^« ^2 • • • a„An + 6nB„ + • • • +/nL»
Or, nous avons vu que les sommes appartenant à la diagonale, et où les indices sont les mêmes aux petites et aux grandes lettres, ont pour valeur A, tandis que toutes les autres sont nulles. Le déterminant qui précède est donc égal à A", produit des éléments de la diagonale ; par suite, l'on a :
A.A' = A% ou A' = A"~'.
Ainsi, le déterminant adjoint du déterminant de l'ordre n est égal à la {n — if ^^^ puissance de ce déterminant ,
!33. Les mineurs du déterminant réciproque s'expriment aussi au moyen de A, comme nous allons le démontrer sur un déterminant du cinquième ordre seulement, afin de simplifier l'écriture; la démonstration s'étendra d'elle-même à un déterminant de l'ordre n. Soient donc
ai 6, Cl d\
iH
ds
ft4
e-, ei
Ci D.
C5 Ds
E2 Es E.
On a la relation
Appelons Mi le premier mineur de A' correspondant à l'i-lrment A|. On aura
Cs
Es
B2 C2 1)2 Eo
As B3 C5 D-, E:
A3 B5 Cs Ds Es En multipliant M, par A, on trouve
XM, = «1, a,A2+6iB2+--., fl,A3+&iB3+---, â;,A.,+/j,B,-f...
«3, a3A2-^55B2^ — , a-,k',-\-hi^-,^ — , azk!,-\A^',^-,-\---
«5, ûgAsH-^sBa-l , «sAs-j-^sBs-l , fl5A-.+&5B-,H
«lAs+^iBs-J—
«sA, + 63B,+fliAs+^iBs-f-
ou bien
fls o A o o
par suite
et, pour un déterminand de l'ordre de n
En second lieu, désignons par M2 le second mineur de A' obtenu par la suppression des deux premières lignes et des deux premières colonnes; on peut écrire
Cs
Ds
Es
As B3 C3 D3 E5
As Bs Cs Ds Es
La multiplication de M2 par A donne :
