C-. o o Ci A o
et. pour un déterminant de l'ordre n,
M3 = (a,/;oc,)A"-*.
Nous pouvons maintenant énoncer cette j)roposilion générale : Tout mineur de la classe n — p ou de l'ordre p du déterminant adjoint est égal au mineur compté ?ne7itaire correspondant pris sur le déterminant primitif multiplié par la {p — i)^^^ puissance de ce dernier.
En réunissant les résultats précédents, on a le tableau suivant qui résume les belles relations entre un déterminant et son réciproque :
(AiBoCs ...K„,L„)--A"-S
(B2C3 ...Kn lLn) = a,A"-S
(C5D4 ... K„,U) = (a,?;o)A«-% (D, . .K„,U)=--(fl^,/>2C5)A''-*.
(lv„..iL„) «= {o,ih2C-, ... ?„2)A, L„ = (a,&2C5 ... /t„j),
A = [aih-C; ... kn-\ln).
Remarque I. Dans la démonstration nous avons considéré les mineurs correspondants à la suppression des premières lignes horizontales et verticales; dans ce cas, les signes sonf, positifs au second membre. Lorsqu'il s'agit de mineurs quelconques du réciproque, les relations précédentes ont toujours lieu et le second membre aura le signe -\- ou le signe — suivant le signe du déterminant qui s'y trouve, considéré comme complémentaire du déterminant du premier membre où les grandes lettres sont remplacées par les petites.
Ainsi, pour le déterminant du cinquième ordre qui précède on aura .
Co
et
Cs
Le déterminant du second membre est le complémentaire de
ai c-z d2
Cl^ C4 (tti
ffi„ c. d^
En ramenant dans A par des échanges de lignes et de colonnes ces éléments à occuper les premières places, on trouve que le complémentaire doit avoir le signe négatif.
On vérifie de la même manière que l'on doit écrire
Ih
ex
ds
et
Remarque II. Lorsque A = i, le réciproque A' est aussi égal à l'unité.
Si A = o, le déterminant réciproque ainsi que ses mineurs des différentes classes sont nuls. En particulier, les mineurs du second ordre donnent les relations
AiB2 — AjBi = o, A1C2 — A2C, =0, A1D2 — A2D|=^o, etc. A1B3 — A«Bi = o, A1C5 — A8Ci=o, AiDs — A3D|=o, etc.
d'où l'on tire
A, B,Ci__D, A2 Ba C2 Dj Ai B,__C,__Di^ Â's'^Br^C^"©^
De même des relations
A.Ba — AaB, =0, A|Bs — AjB| = o, A1B4 — A4B« = o, etc. A1C2 — A2C1 = o, A1G5 — A5Gi = o, AiC4 — A4Ci=o, etc.
— bi-
donnent
As
Bs
Donc, lorsqu'un déterminant s'annule, les mineurs de la première classe relatifs aux éléments de deux lignes ou de deux colonnes quelcofiques sont proportionnels.
^4. Déterminant au produit des différences. Soient n quantités quelconques a, by c, ... A:, /; formons un déterminant renfermant comme lignes les puissances de ces quantités depuis o jusqu'à 71 — i ; ce sera
Jjn-l
Il jouit de la propriété de s'annuler lorsque deux quelconques des n quantités sont égales, par exemple, si l'on pose :
a = bf a = c..., a = l, b = c, b = d, etc.,
puisque deux colonnes deviennent identiques. 11 en résulte que A doit renfermer en facteur toutes les différences que l'on peut former avec la suite
a, b, c, ... ky l
en retranchant de chaque lettre toutes les lettres suivantes. Le produit P de ces différences sera
Le déterminant A est égal à P en valeur absolue. En effet, le degré de
A par rapport h a, b, c, ...l est égal à
comme on le voit d'après son terme principal; c'est aussi le degré du
produit P qui renferme — ^ différences; donc P et A ne peuvent
différer l'un de l'autre que par un facteur numérique. Afin de déterminer ce facteur, remarquons que le terme principal de A a pour expression
Le terme correspondant du produit P s'obtient en considérant les colonnes, et l'on trouve
( x)/, .^ D'^c' ,{-if(P . .. (-i)-=yc"-=^.(- 1)"-'/-'. Il a pour coefficient
Par conséquent, l'on aura
n (?i — i) suivant que -^ sera pair ou impair.
Cela étant, le carré de A représentera le produit des carrés de toutes les différences des n quantités données. En formant ce carré, par la règle connue, on trouve
A2==| i + H-.... « + &+.., ^2 + /)^- + .. ft"-' +&'»-• + ... «.!- &!..., a'-i-b'-^---, ft-' + ??^+... a'^l-&'^ + ...
Posons, pour abréger,
il viendra :
■fo
Si
Sj
Si
Si
Si
Sn - 1 Sn S„i\
Lo^mneurs de A- s'expriment aussi au moyen de: carrés des dilTcrences. Considérons, en premier lieu, les deux systèmes identiques
Par l'application de la règle de multiplication, il vient :
par conséquent, l'on a, pour le mineur du second ordre,
Sa S\
S\ Si
a c lad
Sq Si Si 52
= (a — hf -f [a — cy + {a -' d)^ -\ --=1(1 — b/'
ou la somme des carrés de toutes les différences. En second lieu, les systèmes
rr-
conduisent également au déterminant du troisième ordre
So Si Si
^2 Sj S;
-{- etc.
= {a -&)« (a^-c)* {b — cY -f- {a — by {a — rf)« ,b — d^ + .. = l{a — by {a — cy {b — c)«.
5o S\ 52 Si Si Ss S2 Ss Si
Ce mineur du troisième ordre représente donc la somme de tous les produits trois à trois des carrés des différences. En continuant ainsi, on exprimera les mineurs des différents ordres de A' en fonction des carrés des différences des 7i quantités données. Toutes ces relations nous seront utiles dans la théorie des équations.
Avant de terminer ce sujets considérons encore le déterminant
OÙ nous supposerons r compris entre n — i et 2n. Il s'annule dans les mêmes conditions que A, et il doit renfermer en facteur le produit P, c'est-à-dire que Ai est toujours divisible par A. Pour le calculer, on le développe suivant les éléments de la dernière ligne. On a :
A, = a'Ar + b'Br + C'Cr -{ \- l'Lr
Ar, Br etc. étant les premiers mineurs correspondants à a\ b"" etc. ; ce sont des déterminants de l'ordre n — i et de la forme de A ; on sait écrire immédiatement leurs valeurs.
Il existe une autre méthode de calcul que nous allons indiquer. Soit la relation connue
(x—a) {x — b) (x — c).., {sc—l)=x^-{- Pic«-' + Qx^'-'^ R^''-^ -1 ^- S
où p représente la somme des quantités a, &, ... l^ Q la somme des produits deux à deux, R la somme des produits trois à trois, etc. Comme le premier membre s'annule pour x = a, l'on doit avoir
ou bien
a" = — Pft"-' — Oa'»-^ Rri»-5 .
et on peut écrire une relation analogue avec h. c, ... /. Si on multiplie les deux membres par a'"", on trouve
a*- = — Pa'"-' — Q(i'-2 L(t«-* — Mrt"-' Sa^-".
Cela étant, dans la dernière ligne de Ai, on remplace a*" par celte valeur, et b^, C etc. par des expressions analogues en laissant les parties :
— la""-* Sa'--", — IM-^ S/;'--» etc.
car elles contiennent des éléments de A t multipliés par des constantes, et leur suppression ne change pas la valeur du déterminant.
Par ce procédé, on obtient successivement avec un déterminant du quatrième ordre,
De même
Yaz p^3 pc3 —Vd^
abc a' b^ c«
__P(j*Qft^ p/,*0/,3 Pc*(^)c''
ft«
rf»
En remplaçant P et Q par leurs valeurs ainsi que le déterminant par le produit des différences, on obtiendrait la valeur algébrique des déterminants
proposes.
«5. Déterminants symétriques. Dans la théorie des détermidants symé-
triques, il est nécessaire d'employer îa notation à double indice. Soit donc un déterminant de l'ordre n sous la forme
«Il
chs
«in
azi
(lui (ln2 ««5 ... «;m
Nous savons que la symétrie est exprimée par la relation
dra (Isr-
Une relation analogue existe entre les premiers mineurs; car en développant A suivant la m''""' ligne et la 771''"*' colonne, on a :
«mlAjHi -\- «m2A,n2 -|-«m3'»m5 -\- "' -\- Cimn^mn == A «ImAj,,, -p «imA2m -f- «3 mA 5m -|- ••• -{- «wniAnm = A.
Si on retranche ces égalités membre à membre en tenant compte de la condition ars = asr, il vient
«mi (A,nl A|w) -|- «,„2(A,n2 Ajm) -|- •••-!- «mn(Amn Anm) = O ;
cette relation devant avoir lieu quels que soient les coefficients «, on en conclut que
Ami = A|,n, Am2 == A2m> CtC.
et, en général,
A-rs A«r.
Il en résulte que le déterminant adjoint d'un déterminant symétrique est lui-même symétrique.
Le développement d'un déterminant symétrique s'opère avec avantage par la formule
A = «rsArs -< «js«rABjfc.
Posons : r = s = nf et appelons B le mineur correspondant au dernier élément «,»„ ; on aura
A == «nnB ^ Q'inCtnk^ikf
et, dans cette formule, on devra donner à i et k toutes les valeurs I, 2, 3 ... ?t — I. Pour des valeurs égales de i et de A:, par exemple, pour i = k = p, on obtient un terme de la forme apndnp^pp = a^npBpp. Si Ton prend des valeurs différentes, par exemple, i =^ p, k=^ a, on trouve le
terme ^^«^«(76^0.; on obtient encore le même terme en échan^f.'ant ces valeurs, c'est-à-dire, en posant : 2 = a, le = p. H en résulte que la formule précédente, pour un déterminant symétrique, peut s'écrire
Appliquons cette formule à quelques exemples. Avec la condition
ars = cisr, on aura :
au (Jbvi ai3
0/2 i f^-2 2 Ct>ii
ftsi Clî2 Clii
C^H tti2 «^13 OOi
