OD
X[ X'i Xî o
«Il «12 «15 «14 Xi
= «33 I «Il «12 «21 a-il
«;.«,, — rt^3«,, + 2«,,«,,«,3
^?(«l .«22 — ^^2) + 2ar,^2(«^l2^33 — «,3^*2-,) 2a;|a73 («|2«25 «2-2«13)
4- 2X2X^{a[iaic, — «i2«i3)- = -(B, y, + K,xl + V.,,x\ + B..a;) — 28,2^1X2 — 2Bj3a;iâ73 — 2^i^XiXx
2B2ôt02Xi 2Bj4a;2iP4 2^ZuXsX,.
i .:2;i â72 Xs Xi o
Les coefficients B représentent les premiers mineurs du déterminant des coefficients «; ce sont des déterminants du 3« ordre que l'on doit calculer séparément.
Enfin, on trouve encore par la même formule,
— 10- [x^ — vj^} :r' {x^ — z'-) — ^' ix^ — y-) -j- 2WZ (xy — zw)
— 2wy(yio — xz) -{-^yz (ivx — yz.).
X y z IV y X w z z IV X y IV z y X \ /86. Reprenons le déterminant symétrique («^s =^ ««/)
«11 «12 «13 Xi
«31 «3 2 «5 3 Xi
Xi X2 Xj O
et supposons que l'on ait :
ail
(l2i (lis
sa valeur se présentera sous la forme
A= - B,,x\ -B^^xl - B-.a;: — 2B^,a;,a;, — 2B^,a:^^3- 2B,,a:,^..
Mais, en vertu de la condition (a), il existe entre les mineurs de B les relations
B^i B^2 Bn Bn B^B,5 B2, B21 B22 B25 B3, B32 B53 B51 D'où l'on tire, en remarquant que B,s = B^r,
(a'') B,o = i/iBnB22, B,3=|/BnB35, B25 = ^/B^^,
par suite, l'expression de A devient :
^ = - (B, ,^? + B,,^^ + B.^,xl+2[/B,^B,, . ^,^.,+ 2l/B, .B
ou bien
-)- 21/B22B53 . iZ^sa^s), A = -. {xtl/BTi -\- X2\/b7^. -\- Xii/B^y.
Ainsi, lorsque B est nul, le déterminant symétrique se réduit à un carré négatif, si les mineurs Bii, B22» B53 sont positifs, et à un carré positif, si ces mineurs sont négatifs. Cette conclusion est encore vraie, lorsque le dernier élément de A n'est pas égal à zéro, parce que B étant nul, la formule du développement perd encore son premier terme.
D'après les relations (a"), il sufïit pour déterminer les mineurs d'un déterminant symétrique de calculer, par la méthode ordinaire, les mineurs relatifs aux éléments de la diagonale; la valeur absolue des autres s'obtient ensuite par l'extraction d'une racine carrée. Les radicaux qui entrent dans les formules précédentes doivent être affectés des signes dr. Le choix de l'un des signes doit se faire conformément aux relations (a'); en vertu de celles-ci, les signes seront fixés dès que l'on connaît les signes des mineurs relatifs aux éléments d'une ligne, par exemple, les signes de Bu, B^, B15.
L'expression de A doit donc s'écrire
A = — (± iPij/Bn ± iz;2l/B2« ± Xi[/Bss)\
en remarquant que, pour extraire la racine carrée, il faut prendre les valeurs absolues de Bu, Bj». B33, et choisir ensuite les signes comme on vient de le dire.
Comme exemple, considérons le déterminant
Xs
Xs
D'après sa forme, il convient de le développer suivant les éléments de la première ligne horizontale et verticale. On trouve ici
Le calcul direct donne
Bii = — I, B22 = — 9, B35 = — 9, 64^ = — I Bi2 = -l-3, B<3 = — 3» B,4=— I.
Par l'extraction de la racine carrée et la règle des signes, il vient ensuite :
B23= + 9, B2, = + 3, 63* = — '3; par suite, on a
A = -)- (— ^2 + 3a?5 — 3^»?', — xsY. Il est nécessaire d'insister sur les résultats qui précèdent, et d'en faire ressortir une conséquence importante. Désignons par A un déterminant symétrique de l'ordre n; par Di le premier mineur provenant de la suppression de la dernière ligne et de la dernière colonne ; par Dj, D3, ... D„i les mineurs des classes plus élevées en supprimant toujours les dernières lignes horizontales et verticales. Nous venons de voir que, si Di = o, le déterminant A et le second mineur D* sont de signe contraire. Or, là suite
représentent des déterminants de différents ordres, mais tous symétriques, et la propriété précédente aura lieu entre trois déterminants consécutifs
de cette suite; si l'on a D, = o, les mineurs adjacents D,i et Dj^j doivent être de signe différent. Cette remarque nous sera utile dans la suite.
^'9. Dater minants symétriques gauches. On appelle déterminant symétrique gauche un déterminant dans lequel les éléments conjugués sont égaux et de signes contraires; en vertu de cette définition, les éléments de la diagonale qui se correspondent à eux-mêmes doivent être nuls. Ainsi les déterminants
= {af— he-\-cd)'-
sont symétriques gauches.
En multipliant chaque ligne du premier par — i, on trouve
C'est le même déterminant; les lignes verticales sont devenues horizontales, mais sa valeur reste la même; d'un autre côté, comme on a multiplié par ( — i)^, il doit changer de signe; par conséquent, ce déterminant est nécessairement égal à zéro, et. en général, tout déterminant symétrique gauche d'ordre impair est nul.
Formons, dans le second^ les premiers mineurs de -\- a et de — a; ce sont :
Ils ne peuvent différer que par le signe, car en multipliant chaque ligne du second par — i, il devient identique au premier. On a donc la^ relation
Gi —
Si le déterminant symétrique gauche est d'ordre impair, il faut prendre et s'il est d'ordre pair
J\ri) = Air.
Dans le premier cas, le déterminant adjoint est simplement symétrique et, dans le second, il est symétrique gauche.
Considérons un déterminant symétrique gauche de l'ordre n
«In
Nous venons de voir que, si n est impair, A =o; nous allons maintenant démontrer que tout déterminant symétrique gauche d'ordre pair est un carré positif. Posons :
«In— I «2n l
C'est le premier mineur qui correspond au dernier élément de A; il a pour valeur zéro, comme étant un déterminant symétrique gauche d'ordre impair, et par suite, on aura :
B,2 = B2,=i/B,,B2î. B,5 = B.3, =j/BnB55 etc. En développant A suivant les éléments de la dernière ligne horizontale et verticale, on trouve, par la méthode employée dans la tiiéorie d'un déterminant symétrique, que le développement est un carré dont les
premiers termes
«?,» Bi, -\- ail 1)22 -h ••
sont positifs avec Bi i , B22; car le terme d'un déterminant symétrique devient ici
( dnpdpt) Bpp = -[- «np Bpp.
Or Bu, B22 sont des seconds mineurs de A et de Tordre n — 2 ; l'expression précédente sera donc un carré positif, si un déterminant symétrique gauche de l'ordre n — 2 est positif; mais on peut développer Bu, B22 ... comme A suivant une formule ne renfermant que des déterminants de Tordre n — 4, et ainsi de suite. On arrivera finalement à des déterminants du second ordre tels que
qui sont positifs. En remontant de proche en proche, on en conclut que le déterminant symétrique gauche proposé est nécessairement un carré positif. On considère encore des déterminants symétriques gauches où les zéros de la diagonale sont remplacés par une même quantité; on les appelle déterminants symétriques gauches à diagonale pleine. Un tel déterminant est donc de la forme («„ = ««r)
«Il .
.. (lin
— «Il
.. «En
«ni ««2 «n:
Afin de le calculer, on prend la formule
A = C« + lCn 2A; -f 2Cn 5AJ -\ h 2C,A«-' + Ao;
on substitue aux combinaisons C les diverses puissances de x, et en remarquant que les mineurs d'ordre impair de Ao sont nuls, il reste
On trouve ainsi pour «r« = «,r
«lî
«lî
ft,2 «15 «U I =^*+a?^«Î2 + «;3 + «î*+^î3+^Î4 + ^^)
— «21 X att «14
