JI «32 «35 + X
a'ii-\-x «81
«Jl «12 «13 +^
«SI ass-\-x
«Il «15 «3 1 «35
+ «HiC*
+ ^22^?* + assX^ 4- X\
En ordonnant par rapport à x, il vient finalement
Donc, le coefficient de x^ est l'unité; le terme indépendant de a? est la
valeur de A pour .T = o ; le cooflicicnt de .r est la somme des premiers mineurs du terme indépendant obtenus en groupant deux à deux les éléments de la diagonale, tandis que le coenicicnt de x"^ est la somme des seconds mineurs correspondants aux combinaisons une à une de ces mêmes éléments.
L'analogie conduit à la règle suivante pour le développement du déterminant A de Tordre n. Posons
Ao =
«Il Cl\2
Ont a ni
il'nn
J.c déterminant A est un polynôme du degré n en x dans lequel : 1° Le coefficient de x"" est Vunité; 2" le terme indépendant de x est Ao", 3" le coefficient de x'' est la somme des p'""^' mineurs que Von peut former en mettant diagonalement les éléments de la diagonale de Ao groupés n — p à n — p
La même loi s'applique au développement du déterminant {cirs = as,)
«in «2n
«ni
«un X
en tenant compte du signe — qui se présentera dans les termes renfernant les puissances impaires de x. , ï^
Ainsi, l'on aura, par exemple z-,
(AA^— B"'+AA"-B'«+A'A"— B*jS
-f (A-f A' + A"}S2 - SK
Revenons maintenant au déterminant primitif et désignons par Ai, A,. Aï ... A„, les mineurs successifs résultant de la suppression des dernières lignes et colonnes. La suite
représentera des fonctions de x dont les degrés seront respectivement ?^, n — I, n — 2, .... 3, 2, i ; elles jouiront de cette propriété que, si l'une d'elles s'annule pour une certaine valeur attribuée à x, les fonctions adjacentes seront de signe différent. Nous verrons plus tard l'usage que Ton fait de cette remarque pour déterminer la nature des racines de l'équation A = o.
Nous terminerons ici l'exposé des principes de la théorie des déterminants; nous aurons l'occasion d'en rencontrer dans la suite de nombreuses applications. Nous pouvons maintenant aborder l'étude des équations et résoudre les diverses questions qui s'y rattachent.
