CHAPITRE I

I NTRODUCTION.

FORMES DIVERSES DE LA QUANTITÉ COMPLEXE; PROPRIÉTÉS, VARIABLE IMAGINAIRE; FONCTION d'une VARIABLE IMAGINAIRE; REPRÉSENTATION GÉOMÉTRIQUE.

^9. L'algèbre étudie les propriétés générales des nombres ainsi que les lois qui les régissent. Le nombre provient de la mesure absolue des grandeurs; on le conçoit d'abord entier ou fractionnaire. Pour le calcul algébrique, il est nécessaire d'affecter le? nombres de certains signes afin d'indiquer leur fonction; on emploie le signe -|~ ou le signe — selon qu'ils doivent servir à l'augmentation ou à la diminution. Dans les premières opérations de l'algèbre et dans la résolution des équations du premier degré, on ne considère que des quantités positives ou négatives; mais, par la résolution de l'équation du second degré, on arrive nécessairement à la notion de deux quantités nouvelles : la quantité irrationnelle et la quantité imaginaire. La quantité irrationnelle ou plus généralement la quantité incommensurable est celle qui ne peut être exprimée exactement par un

nombre fractionnaire de Tarithmélique; on peut seulement en avoir une valeur approchée. La quantité imaginaire ou mieux la quantité complexe est une expression de la forme

a ai b étant des nombres réels. Il est impossible d'apprécier une telle quantité et d'en donner une valeur approchée; cependant, comme elle provient d'opérations légitimes de l'algèbre, on doit l'admettre au même titre que la quantité réelle. Au point de vue purement algébrique, il n'y a aucune distinction à établir entre les racines réelles ou imaginaires d'une équation; elles jouissent toutes deux delà propriété d'annuler le premier membre.

Lorsque a = o, la quantité complexe se réduit à 6^ — i qu'on appelle quelquefois i?)iaginaire simple ) si h = o. elle devient la quantité réelle a. Par conséquent, on doit regarder la quantité complexe a -{-b\X — i comme étant l'expression première de la quantité algébrique ; elle renferme, comme cas particulier, la quantité réelle.

Deux quantités complexes de la forme

a-\-b\/ — I, a — byZ—i

s'appellent conjuguées; elles ne diffèrent que par le signe de \/^ — i. Elles jouissent des propriétés suivantes : 1" Leur somme est réelle et égale à 2a ; 2° Leur différence donne l'imaginaire simple 2b y — i ; 3° Leur produit est réel et égal à a^ -|- 6'.

On ne peut mesurer les quantités complexes

il est cependant nécessaire d'indiquer dans quelles conditions on doit les regarder comme égales et nulles. Elles seront égales, si Ton a :

car alors l'équation

a + 6|/37 = ft' -]- b'[Â^

est satisfaite, et elle ne peut l'être autrement; en effet, si l'on n'a pas les relations (a), on pourrait la résoudre par rapport à y — i, et en déduire une valeur réelle pour cette quantité; un tel résultat est impossible à admettre. Tou*e égalité entre quantités complexes se décompose

nécessairement en deux autres entre quantités réelles. De mcme, l'expression a-\-b\/ — I s'annule avec « = o et ^ = o ; l'égalité

fi + &j/~ I :=o équivaut à

Les opérations fondamentales de l'algèbre, l'addition, la multiplication, l'élévation aux puissances s'appliquent aux quantités complexes comme aux quantités réelles. Pour effectuer le développement de {ii-^b[/ — i)»", il est bon de remarquer que les diverses puissances de \X — i sont périodiques. On a :

(l/-i)>=l/-i, {[/-iy=-i, (i/-i)3=(|/i)2j/,.^:

(i/^- 0* = (k^- OMi/- ir = + 1,

(l/Cr7y' = (^-i)V-i= + l/-i, etc.

A partir de la cinquième puissance, tous les résultats se reproduisent dans le même ordre. Il n'y a que quatre valeurs différentes, savoir :

+ [/—iy —I, — |/— I, +1.

30. Les calculs sur les quantités imaginaires se simplifient beaucoup au moyen d'une expression trigonométrique de la quantité complexe que nous allons définir. Désignons par r un nombre positif et par a un certain angle. Il est toujours possible de déterminer r et a de manière à avoir

a-\-b \/ — I = ?'(cos a -f- \^ — i sin a).

En effet, d'après ce qui précède, cette égalité se décompose en deux autres

a = r cos a, 6 = r sin a.

On en tire

r = [/a^ -\- b^ , cosa= — > sin a =

La quantité r est toujours réelle, et comme les fractions qui donnent cos a, sin a sont plus petites que l'unité, il existera toujours un angle

a <r— correspondant à ces valeurs. Il en résulte qu'il est toujours permis

de remplacer a-\-b[X — i par r{cosa-[-[/ — i sin a). La quantité

positive r=\Xa'-\-b^ s'appelle module, et l'angle a argument de la quantité complexe. Le nombre r est unique, mais a peut avoir une infinité

de valeurs.

Si ^ = o, on a : r = ^/a' = -f « ; le module d'une quantité réelle est la valeur absolue de cette quantité; son argument est o ou 2A;jr, si elle est positive, et tt ou (2A' + 1)7:, si elle est négative. On a, en effet, identiquement

a = a [cos 2A;Tr + V^ — ^ sin 2A-7T]

— a = a[cos(2A;4- i)^4~l^ — ^ sin(2/»: + i)?:],

k étant un nombre entier.

L'égalité de deux quantités complexes a-\-l)[/ — î,a'-\-b'[/ — i entraîne les relations

a = a\ h = h' \ par suite,

^a^j^'b^ = \/a'^-\-b'\ ou r = r\ et il y a donc aussi égalité entre les modules.

De même, si a-{-b\/ — 1=0, on a : a = o,b =0 et, par conséquent, r = o.

Deux quantités imaginaires conjuguées a-[-b \/ — i et a — b y/ — i admettent le même module et leurs arguments forment une somme égale à 27: ou à un nombre quelconque de circonférences. Ainsi, on peut écrire

a -\- bi/ — I = r(cos a -\- y^ — i sin a),

a — b\/ — I =r [cos (271 — a)-]- \/ — i sin (271 — a)].

3t. Somme de quantités i7naginaires . Proposons-nous de trouver le module R de la somme de deux quantités imaginaires. Posons :

R{cosi2-|-[/' — isinl2) = r(cosa-|-^ — i sina)+r'(cosa'-j-|/ — i sina').

On en déduit

R cos 12 = r cos a -|- r' cos a%

R sin O = r sin a -j- r' sin a.' .

En élevant au carré et en ajoutant, on trouve

R' = r* -j- r'^ -j- 2rr' cos (a — a') ;

R = |/r- -|- r'2 -\- 2rr' cos (a — a.').

Le maximum de R correspond à cos (a — a') =: i, et il a pour valeur r -j- r' ; le minimum correspond à cos (a — ^') = — i» et sa valeur est r — r' . Si on étend ce résultat à trois, quatre etc. quantités de cette espèce, on a cette propriété : Le module d'une somme de plusieurs quantités imaginaires ne peut pas surpasser la somme des modales de ces quantités.

3®. Produit de quantités imaginaires. En effectuant la multiplication suivante :

r(cos a -\- [/ — I sin a) r'(cos af + [/ — i sin o.'), on trouve pour résultat

rr'[cos (a -{- «') -|- y^ — i sin (a -{- et.' j\. Si on multiplie de nouveau par le facteur r" (cosa"-)-p/ — i sin a"),

il vient encore

rr'r" [cos {oL-\-a.' -\- a") + (/— i sin (a + cfJ + a")],

et, ainsi de suite. Donc, le module du produit de plusieurs quantités imaginaires est égal au produit des modules, et l'argument à la somme des arguments.

Il résulte de là que le produit de plusieurs quantités imaginaires reste le même, si on change Tordre des facteurs, et si un tel produit s'annule, l'un des facteurs doit être égal à zéro, afin que l'une des quantités r soit nulle. Par l'application de la règle précédente au produit

r'(cos a' -\- |/— I sin a') X ;, [cos (a — o(.')-{-[/— i sin (a — a')],

on obtient l'expression

r(cos a -|- \/ — I sin a); par conséquent, il vient la relation

r(cosa-j-|/ — I sin a) r . / . ,.-,

— ^^ ' ^ ^- = - [cos (a — a') + K — I sin (a — a )J ,

r'(cos a' + \/ — I sin a') ^ c'est-à-dire, que le module du quotient de deux quantités imagi fia ires est le quotient des modules et l'argwnent la différence des arguments.

3^ Élévation aux puissances. D'après la règle de multiplication, le produit ri(cosai-|-|/— isinai)?'2(cosa2-l-|/— isinaL.)...r,„(cosam-f-p^ — isinam)

a pour valeur

rir2 ... rm[cos(a, + a2-| h^-»") + P'^ — i sin (a, + «2 + ••• + ^"»)1-

Par conséquent, en supposant les facteurs égaux, il viendra

[ri(cos «1 + |/ — I sin a,)]"» = r'^(cos moix + [^ — i sin moLx),

Ainsi, ;90wr élever une quantité imaginaire a une puissance entière m, il faut élever le module à cette puissance et ?nultiplier l'argument par m. De l'égalité précédente, on tire

(cos ai -{-]/' — I sin «i)"' = cos 9)ixi -\-\/ — i sin mx\.

Cette relation trigonométrique porte le nom de formule de Moivre; elle a lieu pour toutes les valeurs commensurables de l'exposant m. En effet, si on extrait la racine m*^"*^ des deux membres, il vient :

(cos mcci -{- l/ — I sin mai)*" = cos a« -j- |/ — i sin «i ,

ce.

et, en remplaçant maintenent ai par — » on a :

(cos at -{- \/ — I sin ai)"» = cos \-\/ — i sin —

En élevant les deux membres à la puissance ?i, on a encore

fcos cf.K -\-\/ — I sin ai)*"= cos — «< + l/ — i sin — a,.

Enfin, si on remarque que

(cosai-j-^ — isinai)"' = =cos «i — \/ — i sin a,,

cos «i -}- V^ — ï sin «1 ou bien

(cos «1 -j- \/ — I sin «i)-* = cos ( — «i) -|- \/ — i sin ( — «i), on obtient aussi, en élevant les deux membres à la puissance m

(cos cf^i -^ \/ — I sin «i)"*" = cos ( — mai) + |/ — i sin ( — wai).

Nous ne parlerons pas ici de la racine m*'^"»* d'une quantité imaginaire et de ses diverses valeurs. Cette question se présentera naturellement dans la théorie des équations binômes que nous étudierons plus loin.

34. Variable imaginaire et fonction entière d'une variable imaginaire.

Le mot fonction est celui qui est admis dans la langue mathématique pour exprimer une dépendance quelconque entre plusieurs grandeurs.

Ainsi, on dit qu'une quantité y est fonction d'une autre quantité x, lorsque sa valeur dépend de celle qu'on attribue à x. Afin d'exprimer d'une manière générale cette relation sans préciser sa nature, on emploie les notations

y = ¥(x), y = f(x), y = Q^[x), etc.

La grandeur x à laquelle on attribue à volonté différentes valeurs se nomme variable indépendante, tandis que y est la fonction. Puisque rien ne limite les manières de faire dépendre une grandeur d'une autre, on doit regarder le nombre des fonctions comme indéfini. Dans la théorie des équations, nous aurons surtout à considérer la fonction algébrique entière qui est représentée par un polynôme ordinaire du degré m tn x tel que

où m est un nombre entier, et Ao, Ai ... des quantités constantes. Lorsque ces constantes sont réelles, et que l'on considère spécialement les valeurs réelles que peut prendre la variable indépendante entre — oo et -{- oo , on dit que la fonction entière est réelle ainsi que la variable x. Mais, dans le cas général, on doit admettre que les coefficients Ao, Ai ... sont réels ou imaginaires, et que la variable indépendante peut prendre une valeur réelle ou imaginaire quelconque. Pour distinguer ce cas du précédent, nous écrirons

F(2r) = Ao;3- + A,^"— -| \- km

où z représente une variable imaginaire, c'est-à-dire, une expression de la forme

X ti y étant deux variables réelles. Afin de mieux saisir les variations de ;?, supposons que x Qi y soient les coordonnées d'un point rapporté à deux axes rectangulaires xx\ yy\ Pour chaque valeur de z, c'est-à-dire, pour chaque système de valeurs de x et de y, nous obtiendrons un point m dans le plan des axes, et on dit que m est le point représentatif ou Vaffîxe de la variable z. Réciproquement, à chaque point du plan , correspond une valeur unique de z. Conformément à cette représentation, une (i valeur particulière z^ de z s'appelle point Zo . S'il s'agit d'une variable réelle j?. 'i la valeur x = x^ donne un point de l'axe des x et on peut dire le point x^ au lieu de valeur c^ = â?o . Une variable imaginaire est la somme de l'abscisse

et de Tordontiée d'un point m, cette dernière étant multipliée par y/ — j. L'ordonnée étant perpendiculaire h. l'abscisse, on a été amené à regarder le facteur [/ — i comme l'équivalent de la perpendicularité en géométrie. Le module de la variable imaginaire est

il est représenté par le vecteur ow, tandis que l'argument a. est l'inclinaison de ce vecteur sur Taxe des x ; car on a :

X y cos a == > sin a = •

Le module r de ;3r est positif et ne peut varier qu'entre o et -f- oo ; mais l'argument qui se compte à partir de ox vers oy peut prendre une valeur quelconque entre — oo et -|- oo . Si ?/ == o, a = 2kn ; la variable z est réelle et le rayon vecteur coïncide avec ox\ si £i? = o, on a :

0L = - OU a = — \- 2kn ;

le rayon om se trouve sur l'axe des y, et la valeur de z se réduit alors à yy — I. Ainsi, lorsque l'on considère les diverses valeurs d'une variable imaginaire, on doit regarder la droite xx' comme étant l'axe des quantités réelles; la droite yy' comme étant l'axe des imaginaires simples; toutes les autres valeurs de z se rapportent aux rayons intermédiaires que l'on peut mener autour du point o. Il résulte aussi de ce mode de représentation que la variable complexe est plus générale que la variable réelle; elle renferme celle-ci comme cas particulier.

Soit, maintenant,

F [z) = Aoz^ + Aa"^-' -1 h Am

la fonction entière de z, où les coefficients Ao, Ai, etc. sont des nombres constants réels ou imaginaires. En remplaçant z i^aiV x -\- y [/ — i, elle prendra la forme

P et Q étant des polynômes réels en x et y. Pour chaque valeur de z, P et Q prendront des valeurs déterminées, et on pourra construire dans le plan un point M ayant pour coordonnées ces valeurs ; ce sera le point

représentatif de la fonction. Si x ci y ou bien r et a varient d'une manière continue, le point ?n, qui représente la variable z, décrira une certaine courbe continue; mais, en même temps, le point M, qui représente la fonction, décrira une autre courbe correspondante et qui, en général, sera aussi continue. Il se présente des cas où, pour une valeur de z, une fonction d'une variable imaginaire prend des valeurs multiples ou devient indéterminée; nous verrons bientôt que cette circonstance ne peut pas arriver pour la fonction entière qui est la seule à considérer dans la théorie des équations algébriques.

Une fonction complexe F (x-^-yy/ — i) renferme comme cas particulier la fonction réelle F {x) qui correspond à y =:= o, et il arrivera quelquefois que les propriétés de F (x) s'appliqueront à la fonction plus générale ¥{x-\-y [/ — I ) . Cependant, il ne faut pas croire que toute formule algébrique qui est exacte pour une fonction réelle le sera aussi pour la fonction imaginaire. On a commis de grossières erreurs en passant ainsi sans attention du réel à l'imaginaire.