PROPRIÉTÉS DE LA FONCTION ENTIÈRE, THÉORÈME FONDAMENTAL DE LA
THÉORIE DES ÉQUATIONS
35* Après avoir fait disparaître les dénominateurs et les radicaux, une équation algébrique à une inconnue peut se ramener à la forme
Ao;2r'" + Ai^r'"-' -1 ^Am = o;
Z désigne Tinconnue et l'entier m indique le degré de l'équation; les coefficients Ao, Ai. . . sont des constantes connues, réelles ou imaginaires. Le premier membre est le type de la fonction entière en regardant z comme une variable. Posons :
F(2:) = Ao;2"» + kxZ^'-' -\ 1- A^.
Il est nécessaire d'étudier cette fonction et d'en démontrer diverses propriétés qui nous seront utiles dans la théorie des équations.
Considérons d'abord la fonction entière privée de son dernier terme
F(;:r) = Ao;3:- + Ai^"'"' -[ Y A,„,^
qui s'annule pour ^ = o. Nous allons démontrer qu'il est toujours possible
de trouver une valeur de z de module r différent de zéro, de manière à avoir la relation
mod. F(;2r)< R,
R étant une quantité positive donnée. En effet, soit a le plus grand des modules des coefficients; le module d'une somme étant au plus égal a la somme des modules, on a
mod. F iz) < aiv^ -A- r"^-' -\ 1- r)< ar < »
r représente le module de la variable z ; en le supposant plus petit que l'unité, on peut écrire
ar
mod. F(;3r)<-
I — r Posons :
ar I — r on en déduit
ft + R
Par conséquent, en prenant pour z une valeur ayant pour module celte fraction, l'on aura
mod. F(;2r) < R,
et cette relation aura également lieu pour toutes les valeurs de z dont
les modules seront compris entre o et •
ft + R
On en déduit immédiatement une propriété de la fonction complète
F{z) = Am + Am-a-\ [- AiZ»*-^ + AoZ'^
écrite en commençant par le dernier terme. Si nous posons :
R = mod. Am, l'inégalité
mod. {Am-iZ -[- Am^iZ- -\ -f- Ao^:"*) < mod. Am
sera toujours possible. Donc, lorsqu'une fonction entière est ordonnée
suivant les puissa?ices croissantes de la variable, on peut toujours trouver
I pour z une valeur de module r suffisamment petit pour que le module du
A' premier terme soit plus grand que le module de la somme de tous les autres.
Soit encore la fonction entière complète sous la forme F(^) = AoC- + A,c — '-f...A„,;
cherchons une valeur de z de module r sulfisammcnt grand pour satisfaire à l'inégalité
mod. koz"^ > mod. (A,;:r'»-' -|- Az;^'»-* -] -\- A,n).
Désignons par «o le module de Ao, et par a le plus grand des modules des coefficients Ai, A2 ... Am; la relation précédente aura lieu, si
r — î -^ r — I r — I ou bien, en supposant ?' > i, si
aov"' =
r — I De cette égalité, on tire
fto
CL I (tn
Ainsi la valeur de z ayant pour module > ou encore un module plus
ao
grand, répond au but proposé. Donc, lorsqu'une fonction entière est ordonnée
suivant les puissances décroissantes de la variable, on peut toujours trouver
une valeur de z de module r suffisamment grand pour que lé module du *V
premier terme soit plus grand que le module de la somme de tous les autres. \^
Dans le cas d'une fonction réelle F (x), la première propriété signifie que,
si elle est ordonnée suivant les puissances croissantes de x, il sera possible
de trouver un nombre k tel que, pour x = o\i < k, le premier terme sera
plus grand en valeur absolue que la somme de tous les autres; lorsque F {x)
est ordonnée suivant les puissances décroisantes de x, il existera un nombre
l tel que, pour ic == ou > /, le premier terme sera plus grand en valeur
absolue que la somme de tous les autres ; par conséquent, dans l'intervalle
de x=^l à a? = 00 , la fonction conservera le même signe, celui de son
premier terme. Enfin, pour la fonction réelle
privée du dernier terme, on pourra déterminer une valeur de x sulîlsamment petite pour que le résultat correspondant de la fonction soit, en valeur absolue, inférieur à une quantité donnée, quelle que petite qu'elle soit.
36. Continuité de la fonction entière. D'après sa nature, la fonclion entière réelle
se réduit à un nombre fini cl déterminé pour une valeur réelle et finie de la variable x = Xii\ pour une valeur voisine x = Xo -\- h, h étant une quantité très petite positive ou négative, la fonction devient :F(^o-i-^), et la différence
représentera, en valeur absolue, l'accroissement de la fonction. Il faut démontrer que cette accroissement est très petit, si h est très petit, et que, si h diminue de plus en plus pour arriver à zéro, cet accroissement tend aussi vers zéro en même temps que h. Cherchons d'abord la valeur de
I<{xo-\-h). On a
F(iCo + h) = Ao(^o + h)^ + A,(x'o + /O"*"' H h A„.2(^o + h)^
En développant par la formule du binôme et en ordonnant par rapport à h, le second membre se présentera sous la forme
A + B/i + C hD 1 |-L
A représente la somme des premiers termes des développements et sa valeur est
F(^o) = Ao<+ A,<- -\ h Am.
Le coefficient B est la somme des seconds termes des développements, c'est-à-dire^ l'expression
mA^ic^-i -{-{m — i) A,ii?^-2 j 2A^2a?o + A^-i.
Ce second polynôme se déduit de F(d?o) efi multipliant chaque terme far V exposant de Xo et en diminuant ensuite cet exposant d'une unité ^ on l'appelle dérivée de F(a?o) et on le représente parF'(iCo).
Le polynôme C a pour valeur
m{m— i) A^ic^-2 -]- (m — i) (m — 2) kj^x^^-^ -\ [-2A,n 2;
il se déduit de F'(a?o) par la même règle; c'est la dérivée de la dérivée ou la dérivée seconde du polynôme primitif; elle se désigne par W {jxa).
Les coefficients qui suivent sont soumis à la même loi, et en les représentant respeclivement par F"' (iCo), F'^ (xo) .., F""' {xo), on aura finalement
Y(xo + h) = ¥{xo) + hr{xo) + -— r'{xo) -I 1 ~ P^){xo).
Dans la formation des dérivées, il est bon de remarquer que l'application successive de la règle diminue chaque fois le degré d'une unilé, et que chaque fonction renferme un terme de moins que la précédente. Par conséquent la dérivée de l'ordre m ne renfermera plus Xo; sa valeur est ce que devient le premier terme de F (xo) après les w opérations, c'est-à-dire,
F("*)(a?o) = Aom{m — i) {m — 2) ... 3 . 2 . i.
De la formule précédente, on tire
F(^o + h) - F(^o) = hr(xo) + — ^F''(^o) H
Le second membre est une fonction entière de h renfermant h en facteur et, d'après une propriété démontrée, pour une valeur convenable de /«, il deviendra inférieur à une quantité donnée A:, quelle que petite qu'elle soit. On doit donc regarder les accroissements de la fonction et de la variable comme des quantités de même ordre de grandeur, et qui tendent simultanément vers zéro. Lorsqu'il en est ainsi, on dit que la fonction est continue pour la valeur x = Xoy et si cette propriété se vérifie pour toutes les valeurs de x comprises entre x = a et x ^= h, on dit que la fonction est continue dans cet intervalle. La valeur choisie Xo est quelconque, mais Unie: il en résulte que la fonction entière est continue pour toutes les valeurs finies de la variable.
Le développement de ¥{xo'\-h) s'appuie uniquement sur la formule du binôme ; un développement semblable existera pour la fonction complexe YfzJ; h étant l'accroissement de la variable imaginaire, le même raisonnement prouve que le module de la différence
F(;2ro + /0 — F(;îo)
ainsi que celui de h tendent simultanément vers zéro. En se reportant à la représentation géométrique d'une fonction imaginaire, on en conclut que la fonction entière F(^) est continue dans toute rétendue du plan. Si la variable complexe part; d'un point m et décrit un chemin continu
pour revenir ensuite au point de départ, la fonction F(z) décrira aussi un chemin continu, et elle reprendra, à la fin, sa valeur initiale; donc, lorsque la courbe décrite par z est fermée, il en est de même de la courbe décrite par la fonction.
37. Nous avons vu que la dérivée est le polynôme qui multiplie h dans le développement de F(a?-j-/i)en remplaçant Xq par a?. De ce développement, on tire
et, en supposant que h tende vers zéro, il vient, à la limite, lim. ^ ^-^ l^ = r(x).
De là, cette définition qui s'applique à une fonction quelconque : La dérivée est la limite du rapport de l'accroissement de la fonctio?i à VaccroiS" sèment de la variable, lorsque ce dernier tend vers zéro.
On peut trouver la dérivée en partant de cette définition. Ainsi, pour la fonction
F(a?) = ax"^,
la règle donnée fournit l'expression
W{x) = max'^'K
Conformément à la définition précédente, cherchons d'abord F(iP-|-/i). On a :
F(a? -}- h) = a{x -f- h)"* = ax"** -}- max'^-^h -\ ax'^-Vi^ -) ;
par suite,
Tous les termes du second membre, excepté le premier, s'annulent à limite pour h = o; on a donc
lim . = max"^- ' .
C'est précisément le résultat obtenu par la règle que nous avons d'abord donnée pour la formation de la dérivée d'une fonction entière.
Comme second exemple, soit
¥{x)=r{(ix-\-hy\
En remplaçant x par x -\- Jt, on a
et, à la limite, pour h = o, il vient
F' (x) = ma (aj? -f- ?))♦"- ' .
En troisième lieu, soit
On aura
c'est-à-dire,
On en déduit
Enfin, en posant h = o, on trouve
Ainsi, la dérivée du produit proposé est la somme des quotients successifs de ce produit par chaque facteur; par exemple, pour le produit
F(ic) = {x — a){x — b) {x — c), ce serait :
Si ft = ^, deux facteurs deviennent égaux, et l'on a dans ce cas
Observons cette particularité importante que, si F (r) renferme un facteur au carré, F'(^) renferme ce facteur à la première puissance et les deux fonctions s'annulent pour x = a.
